2022年函数的最值知识点总结与经典题型归纳

1、名师推荐精心整理学习必备函数的最值知识梳理1. 函数最大值一般地，设函数 y f x 的定义域为 I . 如果存在实数 M 满足：对于任意 x 都有 f x ( ) M .存在 0 x I，使得 f x 0 ) M .那么，称 M 是函数 y f x 的最大值 . 2. 函数最小值一般地，设函数 y f x 的定义域为 I . 如果存在实数 M 满足：对于任意 x 都有 f x ( ) M .存在 0 x I ，使得 f x 0 ) M .那么，称 M 是函数 y f x 的最小值 . 注意： 对于一个函数来说，不一定有最值，若有最值，则最值一定是值域中的一个元素3. 函数的最值与其单调性的关

2、系（1）若函数在闭区间 , a b 上是减函数，则f x 在 , a b 上的最大值为f(a)，最小值为f(b)；（2）若函数在闭区间 , a b 上是增函数，则f x 在 , a b 上的最大值为f(b)，最小值为f(a)4二次函数在闭区间上的最值探求二次函数在给定区间上的最值问题，一般要先作出 y f x 的草图，然后根据图象的增减性进行研究特别要注意二次函数的 对称轴与所给区间的位置关系，它是求解二次函数在已知区间上最值问题的主要依据，并且最大 例题精讲( 小) 值不一定在顶点处取得【例 1】求函数 f x ( ) 3 x在0,3 上的最大值和最小值解：因为函数 f ( ) 3 x在0,

3、3 上单调递增所以 f x ( ) 3 x 在0,3 上的最大值为 f (3) 3 3 9；f x ( ) 3 x 在0,3 上的最小值为 f (0) 3 0 0；【例 2】求函数 y 2在区间 2 ，6 上的最大值和最小值x 1解：函数 y 2的图象如下图所示，所以 y 2在区间 2 ，6 上单调递减；x 1 x 1所以 yx 21 在区间 2 ，6 上的最大值为2 21 2；最小值为 2 2 .6 1 5名师推荐精心整理学习必备题型一利用图象求最值x 1. 【例 3】求下列函数的最大值和最小值. （1）y32xx2,x5 3 ,2 2（ 2）y|x1|x2 |解：（ 1）二次函数y32 x

4、x 的对称轴为 2画出函数的图象，由下图，可知：（2）当x1时，y max4；当x3时，ymin9. 9. 24所以函数y32xx2,x5 3 , 2 2最大值为 4，最小值为43,x2y|x1|x2 |2x1,1x2题型二3,x1作出函数图象，如下图，可知：y 3,3所以函数的最大值为3, 最小值为 3. 利用函数单调性求最值【例 4】求函数f x ( )x9 x在x1,3分析：先判断函数的单调性，再求最值解：因为1x 1x 23上的最大值和最小值 . . 所以f x 1)f x2)x 19(x29)x 1x2(9 x 19)18x 1x 29(x22x 1)1910. x 1x 2x2x

5、x(1)(x 1x 2)(192)x x 1f x 2)因为1x 1x 23所以x 1x 20，x x 29所以1920，所以f x 1)f x 2)0,f x 1)，最大值为fx x所以f x ( )x9 x在区间 1,3 上单调递减；93所以求函数f x 在x1,3上的最小值为f(3)331题型三函数最值的应用名师推荐精心整理学习必备【例 5】已知函数f x ( )x22xa，x1,)x（1）当a1时，求函数f x 的最小值 . 2（2）若对任意的x1,)，f x ( )0恒成立，试求 a 的取值范围 . 解：（ 1）当a1时，f x ( )x 22x122x设1x 1x 2则f x 1)

6、f x2)(x 112)(x 212)2x 12x 2(x 1x 2)x 2x 1(x 1x 2)2x x2212x x22x x因为x 1x 20，所以2 x x 1 21，2x x 1 210所以f x 1)f x 2)0，f x 1)f x 2)所以f( ) x 在区间 1,) 上单调递增所以的最小值为f(1)1127. 22（2）f x ( )0对x1,)恒成立 ?x22xa0对x1,)恒成立 ?ax22x 对x1,)恒成立令u2 x2x(x2 1)1，其在 1,) 上是减函数，当x1时，u max3. 因此a3. 故实数 a 的取值范围是 ( 3,) 课堂练习仔细读题，一定要选择最佳

7、答案哟！1函数 f(x)2x6x1，2，则 f(x)的最大值、最小值分别为() x7 x1，1A10,6 B10,8 C8,6 D以上都不对2已知 f(x)在 R 上是增函数，对实数a、b 若 ab0，则有 () Af(a)f(b)f(a)f(b) Bf(a)f(b)f(a)f(b) 名师推荐精心整理学习必备Cf(a)f(b)f(a)f(b) Df(a)f(b)f(a)f(b) 3.若 f(x)x 22ax 与 g(x)a x1在区间 1,2 上都是减函数，则a 的取值范围是 () A(1,0)(0,1) B(1,0)(0,1 C(0,1) D(0,1 4函数 y|x3|x1|有() A最大值 4，最小值 0 C最大值 4，最小值 4 B最大值 0，最小值 4 D最大值、最小值都不存在5函数 yx 210 x11 在区间 1,2上的最小值是 _6如果函数 f(x) x 22x 的定义域为 m，n，值域为 3,1，则 |mn|的最小值为 _7. 已知函数f x ( )x22 x3，若x , t t2时，求函数f x 的最值 . 8. 求函数f x (