2022年函数的单调性参考教案学生版

1、函数的单调性高考要求函数的性质单调性要求层次重点难点C 概念和图象特征函数单调性的证明和判断熟知函数的性质简单函数单调区和图象间的求法知识内容（一） 主要知识：1.函数单调性的定义：如果函数 f x 对区间 D 内的任意 x x ，当 x 1 x 时都有 f x 1 f x 2，则称 f x 在D 内是增函数；当 x 1 x 时都有 f x 1 f x 2，则 f x 在 D 内时减函数设函数 y f x 在某区间 D 内可导，若 f x 0，则 y f x 为 x D 的增函数；若f x 0，则 y f x 为 x D 的减函数2. 单调性的定义的等价形式：设x x2a b ，那么fx 1f

2、x 20fx在a b 是增函数；x 1x2fx 1f2x 20fx在a b 是减函数；x 1xx 1x 2fx 1fx20f x 在a b 是减函数3. 复合函数单调性的判断：“同增异减 ”4. 函数单调性的应用利用定义都是充要性命题即若f x 在区间 D 上递增（递减）且f x 1)f x 2)x 1x （1x, x2D ）；若f x 在区间 D 上递递减且f x 1)f x2)x 1x （x 1,x2D ）比较函数值的大小可用来解不等式求函数的值域或最值等（二）主要方法1讨论函数单调性必须在其定义域内进行，因此要研究函数单调性必须先求函数的定义域，函数的单调区间是定义域的子集；2判断函数的

3、单调性的方法有：用定义；用定义法证明函数单调性的一般步骤：取值：即设1x，2x是该区间内的任意两个值，且x 1x2作差变形：通过因式分解、配方，有理化等方法，向有利于判断差的符号的方向变形定号：确定差f x 1)f x2)（或f x 2)f x 1 )）的符号，若符号不确定，可以进行分类讨论下结论：即根据定义得出结论，注意下结论时不要忘记说明区间用已知函数的单调性；利用函数的导数；如果f x 在区间 D 上是增（减）函数，那么f x 在 D 的任一非空子区间上也是增（减）函数；图象法；复合函数的单调性结论：“同增异减 ” ；复合函数的概念：如果 y 是 u 的函数，记作 y f u ， u 是

4、 x 的函数，记为 u g x ，且 g x 的值域与 f u ( )的定义域的交集非空，则通过 u 确定了 y是 x 的函数 y f g x ，这时 y 叫做 x 的复合函数，其中 u 叫做中间变量，u f u 叫做外层函数，u g x 叫做内层函数注意：只有当外层函数 f u 的定义域与内层函数 g x 的值域的交集非空时才能构成复合函数 f g x ( )奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性，单调性互为反函数的两个函数具有相同的单调性偶函数在对称的单调区间内具有相反的在公共定义域内，增函数f x ( )增函数g x 是增函数；减函数f x ( )减函数g x 是减函数；增函数f x (

5、 )减函数g x 是增函数；减函数f x ( )增函数g x 是减函数函数yaxb(a0,b0)在,b或b,上单调递增； 在b,0或0，bxaaaa上是单调递减典例分析 板块一 .函数的单调性题型一：求函数的单调区间，常用以下四种方法。1.定义法【例 1】 试用函数单调性的定义判断函数f x ( )2x在区间 (0, 1)上的单调性x1【例 2】 证明函数y3 x 在定义域上是增函数【例 3】 证明函数f x ( )x 在定义域上是减函数【例 4】 （2001 春季北京、安徽，12）设函数 f（x）xa（ab0），求 f（x）的xb单调区间，并证明f（x）在其单调区间上的单调性。【题 1】用列

6、举法表示下列集合方程2x2x60的根；不大于 8 且大于 3的所有整数； 函数y3x2与y1的交点组成的集合x【例 5】 已知 f(x)是定义在 R 上的增函数，对xR 有 f(x)0，且 f(5)=1，设 F(x)=f(x)+f1)，讨论 F(x)的单调性，并证明你的结论。(x2.图象法【例 6】 如图是定义在区间 5, 5 上的函数yf x ，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？y-5-4-3-2-1O31y=f (x)45x2123-1-2【例 7】 求函数y12x2x 的单调减区间【例 8】 求下列函数的单调区间：y|x1|；yx1（x0）x【例 9

7、】 作出函数y|x2x 的图象，并结合图象写出它的单调区间【例 10】画出下列函数图象并写出函数的单调区间（1）yx22|x| 1（2）y|x22x3|3.求复合函数的单调区间【例 11】函数yx2）x 12或x 21（ xR ，x 1）的递增区间是（xAx 2Bx 0或x2Cx 0D【例 12】已知 yfx 是偶数，且在0，上是减函数，求f1x2单调增区间。【例 13】求函数yx212的单调区间x题型二：利用单调性求函数中参数的取值范围【例 14】设函数f x ( )(2a1)xb 是 R 上的减函数，则a 的范围为 ( a) 11a1Ca1DAaB2222【例 15】函数yx2bxc x0

8、,)是单调函数的充要条件是( ) Ab0Bb0Cb0Db02【例 16】已知 f（x）是奇函数，在实数集R 上又是单调递减函数且0 时,f(1sin23tsin)f(1)0,求 t 的取值范围 . 222题型三：函数的单调性与方程、不等式【例 17】已知f x 在区间 (,) 上是减函数，a,bR 且ab0，则下列表达正确的是（）f a ( )f b ( )Bf a ( )f b ( )f(a)f(b)Af a ( )f b ( )Cf a ( )f b ( )f a ( )f b ( )Df a ( )f b ( )f(a)f(b)【例 18】解方程3 x695 x2x. 【例 19】已知f

9、 x 是定义在 R 上的增函数，且f(x)f x ( )f y ( )y求证：f(1)0，f xy)f x ( )f(f y ；2若f(2)1，解不等式f x ( )x1) 3题型四：函数的最值【例 20】求函数yx1x1的最值【例 21】（2002 全国理， 21）设 a 为实数，函数f（ x）=x 2+|x a|+1，xR。（1）讨论 f（x）的奇偶性；（2）求 f（x）的最小值。课后作业习题 1.试用函数单调性的定义判断函数f x ( )2x在区间 (0, 1)上的单调性x1习题 2.求证 :函数f x ( )xa(a0)在 (a,上是增函数 . x习题 3.已知给定函数f x 对于任意正数x ， y 都有f xy f x f y ，且f x 0，习题 4.当x1时，f( )1试判断f( ) x 在 (0,) 上的单调性，并说明理由求下列函数的单调区间：习题 5.y|x1|；yx1（x0）A (0，3)和点B(3，1)，则不等x讨论函数y2 x2 x3的单调性习题 6.若f x 是 R 上的减函数，且f x 的图象经过点式 |f x1)1|2的解集为（）C (0，3)D ( 1，2)A (，3)B (，2)月测题【测 1】 讨论函数f x ( )