2.5.2向量在物理中的应用举例 (8)

1、授课教师：六安市木厂中学 陈汉友 2019年4月 2.5.2 向量在物理中的应用举例高中数学必修4（人教A版）第二章第五节 平面向量应用举例一、课题引出 问：上节课我们通过几个例子探讨了向量在平面几何中的应用，这节我们将在探讨向量在物理中的应用。还记得物理中力的合成与分解吗？当时我们是怎么合成与分解的？为什么那么做？ 总结：力的合成我们用的是“平行四边形”法则。力是矢量，它的合成正如同向量的加法。下面我们通过例子来说明 。（引导学生思考回答） 二、新课探索例3 在日常生活中，你是否有这样的经验：两个人共提一个旅行包，夹角越大越费力；在单杠上做引体向上运动，两臂的夹角越小越省力。你能从数学的角度

2、解释这种现象吗？分析：上面的问题可以抽象为如图所示的数学模型。只要分析清楚F、G、三者之间的关系（其中F为F1、F2的合力），就得到了问题的数学解释。 GF2F1F解：不妨设F1F2，由于向量的平行四边形法则，力的平衡以及直角三角形的知识，可以知道 我们通过上面的式子，我们发现：当由0180逐渐变大时，由090逐渐变大，cos 的值由大逐渐变小。因此，F1由小逐渐变大，即F1、F2之间的夹角越大越费力，夹角越小越省力。探究 （1）为何值时，F1最小，最小值是多少？（2）F1能等于G吗？为什么？（3）假设G、F2已知，你能求作出F1吗？GF2F1G+F2（4）当F1F2时，假设它们与铅垂线的夹角

3、分别是1、2，那么F1、F2的大小与1、2有什么关系？ （1）当0时，cos 的值最大，从而F1最小为 。 分析 （3）我们知道：F1+F2G， 所以， F1GF2（G+F2）如图，用平行四边形法则作出G+F2那么F1是它的相反向量（如图）。 （4）用平行四边形法则作出图，按内错角相等及在三角形中大边对大角的原则可知，F1、F2的大小与1、2的大小正好相反。也就是说：与铅垂线夹角越大的力越小，夹角越小的力越大。 （2）当120时，2cos 1，从而F1G。 GF2F1G+F2GF2F1212在物理学中，力是矢量，速度也是矢量，下面我们再看一例。 例4 如图，一条河的两岸平行，河的宽度d=500

4、m，一般船从A处出发到河的对岸。已知船的速度v110km/h，水流速度v22km/h，问行驶航程最短时，所用的时间是多少（精确到0.1min）？ 分析：如果水是静止的，则船只要取垂直于河岸的方向行驶，就能使行驶航程最短。由于水是流动的，因此，要使航程最短，就必须使船速度和水流速度的合速度v垂直于河岸。 ABDCv1v2作图：先作v2，再作v2的垂线，然后以v2终点为圆心，以v1为半径画弧交垂线于一点，得直角三角形的斜边，从而得出v1的方向。答：行驶航程最短时，所用的时间是3.1min。v2v1探究（1）当船速和水速的大小都定了以后，我们怎样确定船速的方向，才能使船的航程最短？（2）假设船速与水

5、流速大小相等，我们的航线有可能垂直于河岸吗？为什么？三、课堂练习（1）所谓“最短航程”实际上就是垂直于河岸的航程。要在这个方向上航行，合速度必须垂直于河岸。 （2）正如上面所述，当v1v2时，sin1，从而90，这不可能（一个三角形中不可能有两个直角）。所以，当v1v2时，航线是不可能垂直于河岸的。分析因此如图，sinv2|/|v1|可求出的大小，这就是船速的方向与航线之间的夹角。v2v1113、OxySA（4，3）SB（2，10）S（1）SSBSA(2,10)(4,3)(2,7)（2）按照投影的定义，S在SA上的投影为3、分析：如图，探索：一个向量在另一个向量上的投影的本质是什么？ 按照定义

6、，b在a（a、b夹角为）上的投影就是bcos。而ab的几何意义说：ab等于a与b在a上的投影之积。因此，b在a上的投影实际上就是a、b数量积a长度之商。即 b在a上的投影，它的本质就是b线段在a线段上的投影的长度（为锐角时）或长度的相反数（为钝角时）。 4、设F1、F2的合力为F，F与F1的夹角为，则 F2F3F1F（1）F由余弦定理可算得：F3与F大小相等，方向相反，因此，F3大小为 。（2）所以 30，从而F1、F3夹角为150。 反思：当然也可以用解三角形的办法求出值，但此处我们宁愿用向量运算的方法去求，过程更简洁。 四、课堂小结本节课，我们主要运用向量知识去解释和处理了物理中的矢量运算问题。原