2.2.2反证法 (6)

1、岷县第二中学 (选修1-2)第2章 推理与证明李维兴2.2.2 反证法2.2直接证明与间接证明 前面我们学习了直接证明的两种最基本的方法：综合法和分析法，其基本特点如下：综合法分析法特点由因索果执果索因条件充分条件必要条件格式PQ1Q2.QnQQP1P2.PnP实际证题过程，分析与综合是统一运用的PQ1Q2.Qn QPn. P2 P1P复习回顾 古时候有个人叫王戎，7岁那年的某一天和小伙伴在路边玩，看见一棵李子树上的果实多得把树枝都快压断了，小伙伴们都跑去摘，只有王戎站着没动。他说：“李子是苦的,我不吃。”小伙伴摘来一尝，李子果然苦的没法吃。路边苦李 反证法引例 古时候有个人叫王戎，7岁那年的

2、某一天和小伙伴在路边玩，看见一棵李子树上的果实多得把树枝都快压断了，小伙伴们都跑去摘，只有王戎站着没动。他说：“李子是苦的,我不吃。”小伙伴摘来一尝，李子果然苦的没法吃。路边苦李 反证法引例1 小伙伴问王戎:“这就怪了!你又没有吃,怎么知道李子是苦的啊?” 王戎说:“如果李子是甜的,树长在路边,那么李子早就没了！李子现在还那么多,所以啊,肯定李子是苦的!” 古时候有个人叫王戎，7岁那年的某一天和小伙伴在路边玩，看见一棵李子树上的果实多得把树枝都快压断了，小伙伴们都跑去摘，只有王戎站着没动。他说：“李子是苦的,我不吃。”小伙伴摘来一尝，李子果然苦的没法吃。路边苦李 反证法引例1王戎的推理方法是:

3、假设李子不苦,即李子是甜的，则因树在“道路”边,李子早就被别人采摘,这与“李子多”产生矛盾.所以假设不成立,李子必为苦李.t与条件矛盾，或与某个真命题矛盾，证明 :“设p为正整数，如果p2是偶数, 则p也是偶数”.假设p不是偶数，可令p=2k+1，k为整数。可得 p2=4k2+4k+1，具体证明步骤如下：此式表明，p2是奇数，这与条件矛盾，因此假设p不是偶数不成立，从而证明p为偶数.反证法引例2这种证明问题的方法是：由证明pq转向证明：推出q为真的方法，叫做反证法。 从而判定 为假，1.定义： 从命题的反面出发，引出矛盾，从而证明原命题成立，这样的证明方法叫做反证法.反证法2.反证法证题的基本

4、步骤:假设命题的结论不成立,即假设结论的反面成立；从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾； (3) 由矛盾判定假设不正确， 从而肯定命题的结论正确。 例1 已知 ,证明 的方程 有且只有一个根。证明：由于 ，因此方程至少有一个根 .假设方程不只一个根，不妨设 是它的两个不同的根，即因为 ，所以 ，所以应有 ，这与已知矛盾，故假设错误。所以，当 时，方程 有且只有一个根.-,得反证法4.归谬矛盾：（1）与已知条件矛盾；（2）与已有公理、定理、定义矛盾； （3）可能与临时设定矛盾；（4）自相矛盾。5.反证法的一般适用情形：（1）结论为否定性命题；（2）结论为“至少”、“至多”类命题； （3）结论为

5、 “唯一”类命题；（4）结论为 “有无穷多个”类命题。反设：反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大(小)于/不大(小)于；都是/不都是；至少有一个/一个也没有；至少有n个/至多有(n一1)个；至多有一个/至少有两个；唯一/至少有两个。 归谬： 归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木。推理必须严谨。导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾；与已知的公理、定义、定理、公式矛盾；与反设矛盾；自相矛盾。结论：由前两

6、步，得到正确的结论，一定要在前面的基础上肯定结论的真实性。 例2证明 不是有理数.证明：假设 是有理数，则可设 ,其中p，q为互质的正整数，把 两边平方得到，2q2=p2， 式表明p2是偶数，所以p也是偶数，得 q2=2k2， 式表明q2是偶数，所以q也是偶数，因此 是有理数不成立，于是 不是有理数.反证法示例于是令p=2k，k是正整数，代入式，这样p，q都有公因数2，这与p，q互质矛盾，分析 如果直接证明，我们基本上是不知道从哪里着手，虽然我们有方法计算它的值，但不可能将它无止境的计算下去，这样做比较麻烦或根本就不可能，那么我们就采用反证法来证明。引例2的结论证明 假设_或_, 由于当_时,

7、_, 与 (x-a)(x-b)0矛盾, 又当_时,_, 与(x-a)(x-b)0矛盾, 所以_.x=a x=bx=a (x-a)(x-b)=0 x=b(x-a)(x-b)=0 x a且x b求证：若(x-a)(x-b)0,则x a且x b.反证法练习已知：如图，在平面中有直线a、b， ab，c与a相交于点P .求证： 直线c与b相交.证明：假设cb，因为ab，所以ca,这与已知c与a相交于点P 相矛盾。所以假设不成立，从而c与b相交。反证法练习1.反证法是怎样的一种证明方法3.什么情况下使用反证法反证法是通过证明原命题的反面错误，从而证明原命题成立的一种证明方法2.反证法解决问题的一般步骤是什么（1）先假设原命题不成立（2）经过正确的推理得出矛盾（3）由矛盾知假设错误，即原命题成立正难则