数学分析三11.5-11.8参考答案

1、习题11.51.（1）定理11 .7 设有函数 f : I ? R3, 则H1L lim f HtL = p ?f HtL 的每一分量, 当 t ? t0 时, 收敛于 p0 的相应分量;0t?t02 f 在 t0 处连续的? f的每一分量在t0 连续.证明:H1LHx HtL - x0L2 + Hy HtL - y0L2 + Hz HtL - z0L2 ? ?x HtL - x0? + ?y HtL - y0? + ?z HtL - z0?Max 8?x HtL - x0?, ?y HtL - y0?, ?z HtL - z0? ?Hx HtL - x0L2 + Hy HtL - y0L2

2、+ Hz HtL - z0L2lim f HtL = p0t?t0? Pf HtL - p T =Hx HtL - x L + Hy HtL - y L + Hz HtL - z L? 0 as t ? t02220000? Maxx t - x0 , y t - y0 , z t - z0? 0 as t ? t02 令 x0 = x t0 ; y0 = y t0 ; z0 = z t0 ; 由 11.（2）定理11 .8 f 在 t0 可导? f 的每一个分量在 t0 可导，且.f t0 = x t0 , y t0 , z t0证明:f Ht + DtL - f Ht L00f 在 t 可

3、导? lim=0Dt? 0Dtx Ht + DtL - x Ht Ly Ht + DtL - y Ht Lz Ht + DtL - z Ht L= lim g HDtL 存在000000limDt? 0,DtDtDtDt? 0 x Ht + DtL - x Ht Ly Ht + DtL - y Ht L定理11 .7 lim0000; limDt? 0;Dt? 0DtDtz Ht + DtL - z Ht L存在, 且对应为x Ht L, y Ht L, z Ht L.00limDt? 0000Dt2.证明: 利用 定理 11.8 全部转化为分量的关系或插项利用定义.3.（1）x - az -

4、 1b22切线方程为:=且 y =.a- 1a 221z -= 0.2法平面方程为 : a x -3.（2）x - ayz切线方程为:=.abb法平面方程为 : a x - a + by + bz = 0.习题11.61.（1）211 5-11 7nb切平面方程为 : x - Ln 2 + y - Ln 2- 2 Ln 2z - 1 = 0;z - 1x - Ln H2Ly - Ln H2L法线方程为:=.22- 4 Ln 21.（2）切平面方程为 : a x Hx - x L + b y Hy - y L + c z Hz - z L = 0;000000 x - x0y - y0z - z

5、0法线方程为:=.a x0b y0c z02.214切平面方程:x -y + 2z -=2222222140 或x +-y -+ 2z += 02222223.grad F = - 3, - 1, 3.4.x - x0y - y0z - z0切平面方程为 :+= 0y0 x0z0 xyz?+=x0 +y0 +z0 ? 截距之和为 a.x0y0z0习题11.71.grad F = 82 x - y, - x + 2 y; grad F1, 1D = 81, 1; 1 1 22方向导数最小的方向 :-, -; 1 1 22方向导数为零的方向 :, -; :-,; 1 1 1 1 22223.gra

6、d F 0, 0, 0 = 3, - 2, - 6 ;grad F 1, 1, 1 = 6, 3, 05.7.（1）11 5-11 7nb3? u? l1? u? l2? u? l3= grad u ? l1;= grad u ? l2;= grad u ? l3;? u? l1? u? u? grad u =l1 +l2 +l3;? 结论成立.? l2? l37.（2）l1 = a1, a2, a3 ; l2 = b1, b2, b3 ; l3 = c1, c2, c3 ;? u= a1 ux + a2 uy + a3 uz;? l1?2 u= a Ia u + a u + a u M +

7、a Ia u + a u + a uM + a Ia u + a u + a u M11 xx2xy3 xz21 yx2 yy3 yz31 zx2 zy3zz2? l1= a12 uxx + a22 uyy + a32 uzz + 2 a1 a2 uxy + 2 a1 a3 uxz + 2 a2 a3 uyz;?2 u?2 u?2 u= Ia + b + c M u+ Ia + b + c M u+ Ia + b + c M u222222222+111xx222yy333zz? l12? l22? l32+ 2 a1 a2 + b1 b2 + c1 c2 uxy + 2 a1 a3 + b1 b3 + c1 c3 uxz + 2 a2 a3 + b2 b3 + c2 c3uyz习题11.8 1.?p f?pp= Sr=0Cr hr kp-rh+k;p? xr ? yp-r? x? y?p f?p+1 f?Cr hr kp-r ? Cr hr+1 kp-r +h+kpp? xr ? yp-r? xr+1 ? yp-r? x? y?p+1 fI找第r + 1 项与前一项合并M;Cr hr kp-r+1 ? xr ? yp-r+1p?p+1 f?p fCr hr+1 kp-r + Cr+1 hr+1 kp-r pp