研究生入学考试同济第五版线性代数线性代数复习3学分课件

1、线性代数复习计算行列式. 定义. 定理. 性质1. (上三角行列式)(下三角行列式)性质2. 性质3. 性质4. 性质5 性质6 行列式中有两行（列）的元素对应成比例，则此行列式为零. 性质7 . |AT|A| 性质8. |A|n|A|其中n为矩阵A的阶数 性质9. 设A, B都是n 阶矩阵, 则|AB|A|B|性质10.例1: 计算解:例2. 解: 例3. 解: 例4: 计算解:伴随矩阵的性质.1. 设A为n阶方阵， 其中Aij是|A|的(i,j)元的代数余子式.则AA*A*A|A|E 称为矩阵A的伴随矩阵例6. 解: 例5. 解 性质. 例8. 解. 例9. 解: 性质.例9. 解: 把矩

2、阵A通过若干次初等行变换化简成阶梯形矩阵和最简形矩阵. 二. 求解方程组. (重点) 定义. 若在矩阵A中有一个r阶子式D非零 且所有r1阶子式(如果存在的话)都为零 则称D为矩阵A的一个最高阶非零子式 称数r为矩阵A的秩 记作R(A) 规定零矩阵的秩等于0 求矩阵的秩.矩阵秩的基本性质0R(Amn)minm n R(AT)R(A) 3. 若AB 则R(A)R(B) 4.若P, Q可逆 则R(PAQ)R(A)6. maxR(A) R(B)R(A B)R(A)R(B) 特别地 当B 为列向量时 有 R(A)R(A )R(A)1(一). 线性方程组AmnXn1=m1的求解.定理. 1.不含参数的线

3、性方程组的求解.2.含参数的线性方程组的求解.(因为含参数的矩阵不太好化简成最简形矩阵, 一般只能把它化简成阶梯形矩阵.)克拉默法则:例1. (3学分) 例2. (3学分) 例3. (109页, 习题28) 解. 例4 (2学分) 解： 性质. (2)方程组的解的结构定理例5. 解 例6. 解: 例7. 解: (二). 求解矩阵方程AmnXnl=Bml .所以矩阵方程的求解实际上是若干个线性方程组的求解.例8. (3学分) 定理. 存在可逆矩阵P，Q 使PAQB (3)矩阵A等价于B(1)矩阵A行等价于B存在可逆矩阵P 使PAB存在可逆矩阵Q 使AQB(2)矩阵A列等价于B引理.例9. 例10

4、. (56页, Ex18) 解 例11 解:性质. 三. 讨论向量组的线性相关性.定理. 特别的, 例1. 解 例2. (3学分) 解例3.(108页Ex17) 证: 四. 求向量组的最大无关组. (重点)定理(最大无关组的等价定义). 注意: 一般来说, 最大无关组不唯一. 实际上, 设向量组A的秩为r, 则向量组A的任意r个线性无关的向量都是向量组A的最大无关组. 定理. 矩阵的秩等于它的列向量组的秩, 也等于它的行向量组的秩. 定义求m维列向量组1, 2, ,n的最大无关组, 并把不属于最大无关组的列向量用最大无关组线性表示.例1. 解 性质. 例2. 解: 五. 矩阵的对角化.1. 讨

5、论一般矩阵的对角化问题.性质. 定理1. 矩阵可对角化的判别准则: 定理2. 若 n 阶矩阵 A 有 n 个互不相等的特征值, 则 A 可对角化. 例1. 解: 例2.(3学分) 解: 注意上面的对角矩阵中的主对角线上的特征值的排列次序和可逆矩阵P中列向量的排列是对应的. 性质.例3. 解: 例4. (3学分)(参考Ex24) 证: (1) (2) (3) (4) 2. 用正交矩阵把对称矩阵化成对角矩阵, 或者利用正交变换把二次型化简成标准形. (重点)施密特正交化定理.注意上面的对角矩阵中的主对角线上的特征值的排列次序和正交矩阵P中列向量的排列是对应的. 例5. 解: 例6.(135页Ex20) 解: 例7.(2学分) 设3阶实对称阵A的各行元素之和均为3，向量 是线性方程组AX=0的两个解， （1）求A的特征值与特征向量解: 定义. 注意: 利用正交变换把二次型化简为标准形(重点) : 例10. 解: 七. 计算矩阵的k次幂. 性质. 例1. 解: 例2. 解: 例3. 解: 八. 讨论二次型的正定性. 定理. 例. 解:九. 计算线