概率论概率统计课件yygltj

1、省精品课程概率论与数理统计华技大学概率统计系第五章问题的提出随量的极限5.11）X1，X2，Xn 为多次“测量”，则n1 （真值）n合理吗？Xini12）X1 + X2 + Xn ？100 1k!111 115!思路：1谁更易算？与1!2!3!4!k 010011xn n0 ex 2.718k !k!n!x1k 0k 0 x1不等式（P67定理4.4）5.2切设R.V.X 有E(X)=，D(X )= 2，则对任何 0有 2 X) P ( 2 2或P( X ) 1 2仅对 C.R.V.X 证明，设 f(x)为X 的密度函数，则证明( x )2x f(x) dx 2x 1 2 2x()f2x()

2、dx 25.3大数定律（0-1律） 1n iX ，若 0lim有PX)记 X(X )E(1nnnnni1则称X1, X2 , ., Xn, .服从大数定律。设X1, X2 , ., Xn, .相互独立，且E(Xn)= , D(Xn)= 2存在，则 21nn 1 n 1 ni1D (i1,E (X )E (Xi)iX)D (Xn )D (iX)n2n2nni1 2n11 P(X1) 2nn（Bernoulli）大数定律（P90定理5.3）设n为n重任何 0，有试验中A发生的次数，且P(A)=p，则对p )1nlim P(nn证明：由题意记XiB(1, p), i=1,2, ，相互独立，则n1np

3、,E(X)np,XXniini1n频率趋于概率p意义：n随机模拟演示几个著名的大数定律)1)1 Xn 依概率收敛于名称条件结论lim 1 (nX) lim0P(X E(X)nn2Dinnni1Cov(Xi, Xj)=0，iljim，P(X nE( nX)且D(X )C（有界） nn切伯 努 利 B(n,p)lim Pn(p )1nnnX1，X2,Xn,辛钦独立同分布，且limPXn( )1nE(Xn)= (有限)例1（P90例5.1） 设Xn为相互独立的随量序列，且PXn =n = 1/n， PXn=0 = 12/n，n=2,3,.证明Xn服从大数定律。0 (12)n1n n ) 1n证明E

4、X= 0n(n211D Xn= E Xn E Xn(1) n nn = 2 2220nn即Xn满足切大数定律的条件，故Xn服从大数定律，即n1 1 XP 0Ynnni2概率统计实验讲座更好地掌握和应用概率论与数理统计为了帮助理论方法，本课程组特安排概率统计实验讲座：内容：和Excel使用的基本方法及其在概率论与数理统计实验中的应用时间地点主讲人教授教授本月6日(周六)912节7日(周日)58节13日(周六)58节14日(周日)58节西五楼217教室西五楼217教室西五楼417教室西五楼217教室5.4中心极限定理独立同分布的中心极限定理(P92定理5.4)设Xn, n=1,2,是独立同分布的随

5、 E(Xi)=，D(Xi)= 2，i=1,2,，设标准化随n量序列，且量XniYn i1n的分布函数为Fn(x)，则(x )limFx()nn称 Yn 依分布收敛于 X N(0,1).随机模拟演示(De Moivre-Laplace)中心极限定理(P93定理5.5)设 YnB(n, p)，n=1,2,，则 t 2Ynp1xx) elim P(ndt2 x 2np(1p)nn 证明：取 XiB(1, p)，i=1,2,，相互独立，则YXini1而E(Xi)=p，D(Xi)=p(1p)，由独立同分布的中心极限定理即得。YnB(n, p)，当n充分大时应用：P( aY) bb np )anp )n(

6、np(1p)np(1p)例1 已知一批同型号的电子元件，次品率为1/6，试以99%的把握断定：从这批电子元件中任取6000只，其中次品所占的比例与1/6之差的绝对值不超过多少？这时6000电子元件中，次品数又落在一个什么范围内？记X为6000只电子元件中的次品数，则XB(6000, 1/6)，解要求使 6000X60001X1699 P( ) P( 6 0.)600060001560005166662( 6 600060 1.99 )(1 60995)0.552X1576 10 .2 .01239012390.600066012926 X 1074例2 （P97例5.6）设有某天文学家试图观测

7、某星球与他所在天文台的距离D，他计划作出 n 次独立的观测X1 , X2, , Xn(单位：光年)，设这 n 次独立的观测的期望 EXi=D，方差DXi =4，in 1 =1,2,n，现天文学家用X作为D的估计，为使对D的估Xnini1计的精度在0.25光年之间的概率大于0.98，问这位天文学家至少要作出多少次独立的观测？XD (N 0解当n充分大时,1)4n/XD0.252 0.25 P)(2(P98X0 D.n)(2 10.25n)2/ n0( .25 n 1.98125)0 0.299343626n4 .n 2.3767652故这位天文学家至少要作出347次独立的观测。习题选讲练0.3设

8、二维随量(X,Y )具有下列联合密度函数为试求边缘密度函数： 3 , x 01x,其他y, xxx ,y)(1)f( 20,.y解32x1x) xdy300 其他x1, 2 x,f( xX,1 x0331xdx ( 2y 121y),f(y )4yY0,其他1习题选讲练0.3设二维随量(X,Y )具有下列联合密度函数为试求边缘密度函数：2maxx其他0 my, in 11,0,x1 x,y)(2) f(x ,0,解y=xyxdy,20 11x 2xx,0y=11f(x)dy,x,Xx10,其他.y=00 xy 11y=x-12d1x0 y其他.1,y ) fY(y0,习题选讲4.2练从一大批产

9、品中逐个随机抽取检查，一旦发现第到查抽若，查检止停废品就认为该批产品不合格而n0件仍未发现废品就认为该批产品合格而停止检查。设产品的废品率为p，问平均要检查多少件产品？设X为所检查产品的件数，则解PP(k ) 1n 0 )1)k (p1(X X1pk1 ,n,2L,10) n (p0n 0 1 kk 1)n)0 11p(1 n E(X)(pp0k 1) )n 0 11 qn0 p (qkn01 1 p(qn 0n01k 11 (1 pp习题选讲量(X,Y )的联合密度函数为：练习9.3 设二维随0,y 其他y)4 xy,x1f(x ,0,求(X,Y )的联合分布函数。y解x0 或 y0,01 1x2 ,2y20 xy ,)y y,x10 ,0 x 1y 1, y 1F (x,1xx,21 ,x ,y 11习题选讲练习8.5设楼房有六层，每个乘电梯的人在2,3,4,5,6层下的概率分别为0.08，0.14，0.20，0.26，0.32，试求在一楼乘上5人中，恰好有电梯的11,2,3,4,56层下电梯的,5,4,3,人分别在2概率P。解记Xi为在第i层下电梯的人数，i=2,3,4,5,6 ，则 3X46 ,(P, 5X =0.5073)C 4 C05= C1 C