振动理论第2章单自由度系统的自由振动课件

1、1 无阻尼自由振动2 能量法3 瑞利法4 等效质量和等效刚度6 有粘性阻尼自由振动第1章 单自由度系统的自由振动 5 扭振专题振动：一个弹性系统在平衡位置上，受到一个冲击（突然施加一个外力或突然除去一个外力）使这个弹性系统脱离原来的平衡位置，在新的位置上系统的弹性力不能与载荷相平衡了，于是就发生了振动。自由振动：只靠弹簧的弹性力所维持的振动称为自由振动。 单自由度系统：只用一个坐标就可以把振动系统的形态表明了，这种系统称 为单自由系统.1 无阻尼自由振动或为两个任意常数，则通解可写为：均为周期函数，故有：1 无阻尼自由振动振动固有周期由式(3)可见振动周期取决于系统的静变位 ，只要静变位按理论

2、算出或用实验方法定出，即可由式（3）确定振动的固有周期振动固有频率式（2）所代表的振动称为简谐振动 (harmonic motion),并由运动的初始条件确定积分常数时代入式（2）得：则有：固有频率或固有周期与初始条件无关，表现出线性系统自由振动的等时性，质量愈大，弹簧愈软，则固有频率愈低，周期愈长；反之，质量愈小，弹簧愈硬，则固有频率愈高，周期愈短。1 无阻尼自由振动描述简谐振动的三个特征量1. 振幅 A2. 周期 T 和频率 f3. 相位 是 t 时刻的相位简谐振动定义: 特点: (1)等幅振动 (2)周期振动(1) 是 t =0 时刻的相位即初相(2)1 无阻尼自由振动简谐振动的表示1.

3、以旋转矢量表示的简谐振动式（5）可写为：式中：简谐运动可用模为A的旋转矢量在坐标轴x上的投影来表示。1 无阻尼自由振动2.以复数表示的简谐振动模为A的矢量OP旋转，其复数表示为根据欧拉公式式（6）可表示为：比较式（6）（7）简谐振动是复数旋转矢量在虚轴上的投影.在以后的叙述中，对复数表达式不做特殊说明时，即表示取其虚部.1 无阻尼自由振动3.物体运动的速度和加速度为由式（6）（10）（11）可知，当物体的位移是简谐函数时，它的速度与加速度也是简谐函数，它们与位移的频率相同，速度的相位超前位移，加速度的相位超前位移1 无阻尼自由振动例1. 已知： 求：系统自由振动的振幅A 解：钢丝静伸长 1 无

4、阻尼自由振动例2. 已知：重物重W放在一根长为 的梁上，不计梁的质量， 试确定弹性常数以及物体在铅直方向作自由振动的频率. lc解：梁重物处的静变形为 则： 1 无阻尼自由振动例3. 已知：升降机吊笼，以等速下降，钢丝绳视为弹簧，若A端突然停止，求钢绳所受到的最大应力。绳子质量略去不计。解：等速下降时钢丝静伸长 1 无阻尼自由振动1 无阻尼自由振动1 无阻尼自由振动2 能量法能量方程式动能为零时势能达到最大值，而势能为零时动能达到最大值，则有：工程实际中通常振幅不大的振动，差不多都是简谐振动，都可用式（1）计算振动的固有频率。mx能量法计算固有频率2 能量法例1. 如图各摆作小振幅振动，不计各

5、杆的质量，试用能量法 求各杆摆的振动频率,并假定重物W的质量集中在它的中心上。laall2 能量法摆的动能：摆的势能是由于重物W的铅垂位移而产生的2 能量法假定摆的运动方程是：则由：有：摆的动能：摆的势能包含两部分即：弹性势能和重力势能2 能量法由能量方程有：有：由学生练习完成3 瑞利法为了计及这部分质量对系统振动固有频率的影响，利用能量法可对分布质量系统作近似计算，方法是先对具有分布质量的弹性元件假定一种振动形式，然后将无阻尼自由振动的简谐规律代入，即得到等效质量和固有频率，这种近似计算方法称为瑞利法（为Lord Rayleigh所创）设弹簧的长度为 ,单位长度的质量为 ，假定弹簧的变形与离

6、固定点的距离 成正比，弹筑端点的位移设为 。将微元长度 的动能在整个弹簧范围内积分，以计算弹簧的动能 ，得到例1. 试计算弹簧的等效质量。为弹簧质量考虑弹簧质量系统的总动能等效质量3 瑞利法假定振动中梁的变位曲线和梁外端加一静载荷时梁的变位曲线的形状相同。3 瑞利法例2. 试计算悬臂梁的等效质量。设悬臂梁的长度为 ,单位长度的质量为 ，抗弯刚度为 ，其中 和 分别为梁的弹性模量和截面二次矩。计算梁的动能，得到：为梁的质量等效质量系统的固有频率为：4 等效质量和等效刚度在实际的单自由度振动系统中通常包含有多个弹性元件和惯性元件，为方便振动分析，可将该系统等效为一个由等效刚度和等效质量组成的单自由

7、度振动系统。等效的方法有两种：1)能量法 2)定义法。4 等效质量和等效刚度4 等效质量和等效刚度4 等效质量和等效刚度4 等效质量和等效刚度4 等效质量和等效刚度平行串联、并联弹簧的等效刚度4 等效质量和等效刚度平行串联、并联弹簧的等效刚度4 等效质量和等效刚度例1 A suspension system of a freight truck with a parallel-spring arrangement. Find the equivalent spring constant of the suspension if each of the three helical springs

8、 is made of and has five effective turns, mean coil diameter and wire diameter 例2 A hoisting drum, carrying a steel wire ripe, is mounted at the end of a cantilever beam. Determine the equivalent spring constant of the system when the suspended length of the wire rope is Assume that the net cross-se

9、ctional diameter of the wire rope is and the Youngs modulus of the beam and the wire rope is 4 等效质量和等效刚度4 等效质量和等效刚度斜拉弹簧在某个位移方向上的等效弹簧刚度为弹簧的伸长量4 等效质量和等效刚度例1 To calculate equivalent stiffness in and directions4 等效质量和等效刚度例1.The boom AB of the crane shown in Fig.1.27(a) is a uniform steel bar of length 1

10、0m and area of cross section 2500. A weight W is suspended while the crane is stationary. The cable CDEBF is made of steel and has a cross-sectional area of 100. Neglecting the effect of the cable CDEB. Find the equivalent spring constant of the system in the vertical direction.4 等效质量和等效刚度A vertical

11、 displacement x of point B will cause the spring (boom) to deform by an amount (cable) to deform by an amount . and the spring 4 等效质量和等效刚度Since the equivalent spring in the vertical direction undergoes a deformation , the potential energy of the equivalent spring is given by 4 等效质量和等效刚度Example 1. Th

12、e equivalent mass can be assumed to be located at point A. The linear coordinate specifies the displacement of point A. The static equilibrium position of the system is zero position.The kinetic energy of the original system is The kinetic energy of the equivalent system is By 4 等效质量和等效刚度Combination

13、 of MassesIn many practical applications, several masses appear in combination. For a simple analysis, we can replace these masses by a single equivalent mass, as indicated below.Case 1: Translational Masses Connected by a Rigid Bar4 等效质量和等效刚度Case 2: Translational and Rotational Masses Coupled Toget

14、her.(1) a single equivalent translational mass (2) a single equivalent rotational mass 1. Equivalent translational mass. 2. Equivalent rotational mass. 4 等效质量和等效刚度Example 2 Cam-Follower Mechanism Find : Equivalent mass of the cam-follower system (i) at point A, (ii) at point CApproach : Equivalence

15、of kinetic energy.4 等效质量和等效刚度 Similarly, if the equivalent mass is located at point C, 4 等效质量和等效刚度1.等直径轴的扭转振动2.阶梯轴的扭转振动12等效成具有轴1直径的当量轴原则：等效前后扭转刚度不变推广：5 扭振专题3.两端各带一转动体轴的扭振周期mnlabJ1J2由动量矩守恒两端的物体永远做相反方向的转动，则必有截面mn是不动的，称节截面.截面左右两部分振动周期相等.5 扭振专题4.传动系统的扭振周期及等效轴的长度AJAJDBCD略去轴及齿轮的转动惯量两齿轮外啮合，运动方向始终相反，故等效轴的节截

16、面为BC截面5 扭振专题5.驱动系统的刚度等效问题5 扭振专题6.驱动系统的惯性等效问题5 扭振专题6 有粘性阻尼的自由振动阻尼:使振动衰减的作用. 阻尼产生原因：材料的内摩擦,连接点、支承面等处的外 摩擦及介质阻力等.阻尼力：在振动分析当中用于代替阻尼作用的阻碍振动的力。粘滞阻尼理论假定阻尼力大小与速度成正比,方向与速度相反。6 有粘性阻尼的自由振动为两个特解，这两个解的和或差乘上任何常数仍是原方程的解。下面分三种情况讨论：6 有粘性阻尼的自由振动欠阻尼令阻尼固有频率特征根为6 有粘性阻尼的自由振动欠阻尼则通解为：6 有粘性阻尼的自由振动欠阻尼由初始条件代入上式有则6 有粘性阻尼的自由振动欠

17、阻尼则令6 有粘性阻尼的自由振动欠阻尼由于阻尼的作用，阻尼自由振动的周期增加了。6 有粘性阻尼的自由振动欠阻尼阻尼系统的自由振动不再是等幅的简谐振动，是振幅被限制在 之内，并按时间指数衰减的振动，最终完全消失。6 有粘性阻尼的自由振动欠阻尼若 很小的话，阻尼对振动周期的影响并不大。6 有粘性阻尼的自由振动临界阻尼情况由初始条件代入上式有：则有：6 有粘性阻尼的自由振动临界阻尼情况按指数规律衰减的非周期运动，不发生振动，临界阻尼是区分振动与不振动的的界线.阻尼比临界阻尼6 有粘性阻尼的自由振动过阻尼情况由初始条件6 有粘性阻尼的自由振动解里没有周期性的因子了，不振动，粘性阻尼大到，当物体离开平衡

18、位置后，只是缓慢地回到平衡位置。过阻尼情况6 有粘性阻尼的自由振动6 有粘性阻尼的自由振动临界阻尼和过阻尼系统都不会发生振动，但临界阻尼系统的阻尼为最小，所以物块回到平衡位置所需的时间最短，这一特性在工程中有许多应用；例如发射炮弹的回弹机构在发射炮弹后是不希望振动的，而且需以较短时间回到静平衡位置，以备进行下一次发射，这个系统就需要临界阻尼以满足这样的要求。6 有粘性阻尼的自由振动欠阻尼对自由振动有以下两方面影响：阻尼使系统的周期略有增大阻尼使系统的振幅按几何级数衰减任意两个相邻振幅的比，振动是衰减的。6 有粘性阻尼的自由振动对数衰减率若则阻尼测量由上面两式可得：或实际测量时可计n个循环,则则

19、系统的等效阻尼为：(3)6 有粘性阻尼的自由振动例1: 对图示体系作自由振动试验.用钢丝绳将上端拉离平衡位置2cm,用力16.4kN,将绳突然切断,开始作自由振动.经4周期,用时2秒,振幅降为1cm.求：1.阻尼比 2.刚度系数 3.无阻尼周期 4.重量 5.阻尼系数6.若质量增加800kg体系的周期和阻尼比2cm解:1.阻尼比2.刚度系数3.无阻尼周期4.重量6 有粘性阻尼的自由振动5.阻尼系数6.若质量增加800kg,周期和阻尼比6 有粘性阻尼的自由振动解:例1: 对图示体系作自由振动试验.用钢丝绳将上端拉离平衡位置2cm,用力16.4kN,将绳突然切断,开始作自由振动.经4周期,用时2秒,振幅降为1cm.求：1.阻尼比 2.刚度系数 3.无阻尼周期 4.重量 5.阻尼系数6.若质量增加800kg体系的周期和阻尼比2cm例2: 摩托车冲击吸振装置，已知阻尼振动周期质量由于路面不平获得初速度 导致最大位移，求：6 有粘性阻尼的自由振动解：确定阻尼比确定无阻尼自由振动固有角频率 N.s/m N.s/m N/m 6 有粘性阻尼的自由振动由于 所以上式对