高考解答题专项五　第2课时　最值与范围问题

1、 高考解答题专项五圆锥曲线中的综合问题第2课时最值与范围问题1.已知椭圆M:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为63,焦距为22.斜率为1的直线l与椭圆M有两个不同的交点A,B.(1)求椭圆M的方程;(2)求|AB|的最大值.2.焦点在x轴上的双曲线C的一条渐近线方程是x-2y=0,且双曲线C过点(22,1).(1)求双曲线C的方程;(2)设双曲线C的左、右顶点分别是A1,A2,点P为双曲线C上任意一点,直线PA1,PA2分别与直线l:x=1交于M,N两点,求|MN|的最小值.3.(2021全国乙,文20)已知抛物线C:y2=2px(p0)的焦点F到准线的距离为2.(1)求抛物线C的方程

2、;(2)已知点O为坐标原点,点P在抛物线C上,点Q满足PQ=9QF,求直线OQ斜率的最大值.4.已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,椭圆E的离心率为32,且通径长为1.(1)求椭圆E的方程;(2)直线l与椭圆E交于M,N两点(点M,点N在x轴的同侧),当F1MF2N时,求四边形F1F2NM面积的最大值.5.(2021北京,20)已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(ab0)过点A(0,-2),以四个顶点围成的四边形面积为45.(1)求椭圆E的标准方程;(2)过点P(0,-3)的直线l斜率为k,交椭圆E于不同的两点B,C,直线AB交直线y=-3于点M,直线AC

3、交直线y=-3于点N,若|PM|+|PN|15,求k的取值范围.6.已知抛物线C:y2=2px(p0),点A在抛物线C上,点B在x轴的正半轴上,等边三角形OAB的边长为83.(1)求抛物线的方程;(2)若直线l:x=ty+2(t1,3)与抛物线C相交于D,E两点,直线DE不过点M(0,1),DEM的面积为S,求S2t+2的取值范围.第2课时最值与范围问题1.解(1)由题意得a2=b2+c2,ca=63,2c=22,解得a=3,b=1,所以椭圆M的方程为x23+y2=1.(2)设直线l的方程为y=x+m,A(x1,y1),B(x2,y2).联立y=x+m,x23+y2=1,得4x2+6mx+3m

4、2-3=0.因为=36m2-16(3m2-3)0,所以m24,所以x1+x2=-3m2,x1x2=3m2-34,所以|AB|=1+k2(x1+x2)2-4x1x2=2-3m22-43m2-34=12-3m22(m20,b0).由题可知ba=12,8a2-1b2=1,解得a2=4,b2=1,所以双曲线C的方程为x24-y2=1.(2)由(1)知A1(-2,0),A2(2,0).由题可知,|MN|取最小值时点P在双曲线C的右支上.设P(x,y),直线PA1,PA2的斜率分别为k1,k2(k1,k20).因为双曲线方程可化为yx-2yx+2=14,所以k1k2=14,所以PA1的方程为y=k1(x+

5、2),PA2的方程为y=k2(x-2).令x=1,得M(1,3k1),N(1,-k2),所以|MN|=|3k1-(-k2)|=3k1+k223k1k2=3,当且仅当3k1=k2,即k1=36,k2=32时,等号成立,所以|MN|的最小值为3.3.解(1)在抛物线C中,焦点F到准线的距离为p,故p=2,抛物线C的方程为y2=4x.(2)设点P(x1,y1),Q(x2,y2).因为F(1,0),所以PQ=(x2-x1,y2-y1),QF=(1-x2,-y2).因为PQ=9QF,所以x2-x1=9(1-x2),y2-y1=-9y2,得x1=10 x2-9,y1=10y2.又因为点P在抛物线C上,所以

6、y12=4x1,所以(10y2)2=4(10 x2-9),则点Q的轨迹方程为y2=25x-925.易知直线OQ的斜率存在.设直线OQ的方程为y=kx,当直线OQ和曲线y2=25x-925相切时,斜率取得最大值、最小值.由y=kx,y2=25x-925,得k2x2=25x-925,即k2x2-25x+925=0.(*)当直线OQ和曲线y2=25x-925相切时,方程(*)的判别式=0,即-252-4k2925=0,解得k=13,所以直线OQ斜率的最大值为13.4.解(1)由题可知ca=32,2b2a=1,a2=b2+c2,ab0,解得a=2,b=1,c=3,所以椭圆的方程为x24+y2=1.(2

7、)由(1)可知F1(-3,0),F2(3,0).延长MF1交E于点M0(图略).设M(x1,y1),M0(x2,y2),直线MF1的方程为x=my-3.联立x=my-3,x24+y2=1得(m2+4)y2-23my-1=0.因为m2+40,=12m2+4(m2+4)0,所以y1+y2=23mm2+4,y1y2=-1m2+4.设F1M与F2N的距离为d,则四边形F1F2NM的面积S=12(|F1M|+|F2N|)d=12(|F1M|+|F1M0|)d=12|MM0|d=SMF2M0.又因为SMF2M0=12|F1F2|y1-y2|=1223|y1-y2|=3(y1+y2)2-4y1y2=43m2

8、+1m2+4=43m2+1+3m2+14323=2,当且仅当m2+1=3m2+1,即m=2时,等号成立,所以四边形F1F2NM面积的最大值为2.5.解(1)因为椭圆过点A(0,-2),所以b=2.又因为椭圆的四个顶点围成的四边形的面积为45,所以122a2b=45,所以a=5,所以椭圆E的标准方程为x25+y24=1.(2)如图,设B(x1,y1),C(x2,y2).因为直线BC的斜率存在,所以x1x20,所以直线AB:y=y1+2x1x-2.令y=-3,则xM=-x1y1+2,同理xN=-x2y2+2.由题可知直线BC:y=kx-3.联立y=kx-3,4x2+5y2=20,得(4+5k2)x

9、2-30kx+25=0.因为4+5k20,=900k2-100(4+5k2)0,所以k1,所以x1+x2=30k4+5k2,x1x2=254+5k2,所以x1x20,所以xMxN0.又|PM|+|PN|=|xM+xN|=x1y1+2+x2y2+2=x1kx1-1+x2kx2-1=2kx1x2-(x1+x2)k2x1x2-k(x1+x2)+1=50k4+5k2-30k4+5k225k24+5k2-30k24+5k2+1=5|k|,所以5|k|15,即|k|3.综上,k的取值范围为-3,-1)(1,3.6.解(1)OAB是边长为83的等边三角形,点A在抛物线C上,点B在x轴的正半轴上,A43,433,163=83p,p=2,抛物线方程为y2=4x.(2)联立x=ty+2,y2=4x,得y2-4ty-8=0,易知0.设D(x1,y1),E(x2,y2),则y1+y2=4t,y1y2=-8,|DE|=1+t2|y1-y2|=1+t216t2+32=41+t2t2+2.点M到直线l:x-ty-2=0的距离d=|-t-2|1+t2=|t+2|1+t2,DEM的面积S=12