(完整版)断裂力学复习题(实际)解答(课件)

1、 a；i断裂力学复习题1裂纹按几何特征可分为三类,分别是（穿透裂纹）、（表面裂纹）和（深埋裂纹）。按力学特征也可分为三类，分别是（张开型）、（滑开型）和（撕开型）。2应力强度因子是与（外载性质）、（裂纹）及（裂纹弹性体几何形状）等因素有关的一个量。材料的断裂韧度则是（应力强度因子）的临界值，是通过（实验）测定的材料常数。3确定应力强度因子的方法有：（解析法），（数值法），（实测法）。4受二向均匀拉应力作用的“无限大”平板，具有长度为2的中心贯穿裂纹，求应力强度因子K的表达式。【解】将x坐标系取在裂纹面上，坐标原点取在当y=0,xf8时，在y=0,xa时，yxy=；xy的裂纹自由面上随xia,g

2、。y裂纹中心，则上图所示问题的边界条件为：可以验证，完全满足该问题的全部边界条件的解析函数为彳z）=z（1）Jz2a2将坐标原点从裂纹中心移到裂纹右尖端处，则有代入（1），可得：Z（匚）=a（+a）1匚（匚+2a）7z=Z+a或Z=za,于是有：K=lim:+)T匚(匚+2a)a(Q+a)=lim2兀“=a兀aQT0、忆+2a)7V5对图示“无限大”平板II型裂纹问题，求应力强度因子K的表达式。II【解】将x坐标系取在裂纹面上，坐标原点取在裂纹中心，则上图所示问题的边界条件为：当y=0,xf8时，o=O=0,T=T；xyxy在y=0,xa时随x-a，tg。xy可以验证，完全满足该问题的全部边界

3、条件的解析函数为Zn(z)=Tz业Jz2a2将坐标原点从裂纹中心移到裂纹右尖端处，则有z=Z+a或Z=za，代入，可得：zn(匚)二：+n.(Q+2a)于是有：K=limT(+a)=lim盆.T(+a)=T加n|一0、卜C+2a).工+2a)6对图示“无限大”平板III型裂纹问题，求应力强度因子K的表达式。皿裂纹中心，则上图所示问题的边界条件为：当y=0,x8时，o=o=0，t=t；xyyzl在y=0,xa时，随ixi-a,tg。yz完全满足该问题的全部边界条件的解析函数为zZ(z)=i皿22jz2-a2将坐标原点从裂纹中心移到裂纹右尖端处，则有z=Z+a或Z=za,代入(D,可得：z皿(匚)

4、二理山(Q+2a)71)于是有：K皿=lim*Ti(匚+a)=lim”Ti也+a)=t巾./(C+2a)J-。、+2)八7“无限大”平板中，在长度为2a的中心贯穿裂纹表面上，距裂纹中点为x=处各作用一对集中力P，求应力强度因子K的表达式。KII7 Z（z）=2芦严i兀（z2_b2）jz2_a2可以验证，该解析函数满足这个裂纹问题的下述边界条件：在Z8处，Q=0Q=0,T=0;xyxy在xa,除x=b外的裂纹面上Q=0,T=0；yxy如果切出xy坐标系第一象限的薄平板，在x轴所在的截面上，内力的总和应该等于劈开力p,即:tdx=p（其中，t是薄平板的厚度）。ay将坐标原点移到裂纹右尖端后，新坐标

5、为:=z-a，代入（1）式得：于是有：Z（匚）=2p(Q+a)、a2-b2冗心+a)2-b2K=lim氓2卩(Ja)严=沪1兀(匚+a)2b2C+2a)=lim2、/2兀P(匚+)、,$-=!(+a)2b2+2a，汎(a2b2)8.在“无限大”平板的裂纹表面上，从x=a到x=a和从x=a至Ox=a的这两部分裂纹面上，受均匀分布的张力p1作用，试求裂纹尖端应力强利用距裂纹中点为x=b处各作用一对集中力p时应力强度因子的结果可得，这个微分段上的张力在裂纹尖端处的应力强度因子为=2pdx严1R(a2x2)于是有：1)(a2x2)K=a2pdxai1令x=asin0,贝a2-x2=acos0,dx=a

6、cos0d0，代入arV1）式可得一sint“rasin-1(a)acos0da兀K=2pfa小=2pivnfaacos0*疋1_戈Ysin-1(_i)a=2p可cos-iV兀(a)1(a丿9.在“无限大”平板的裂纹表面上，从x=-a到x=a的这两部分裂纹面上，受均匀分布的张力p作用，试求裂纹尖端应力强度因子K的表达式。I【解】取微分段必，其上作用的张力为dp=pdx,利用利用距裂纹中点为x=b处各作用一对集中力p时应力强度因子的结果可得，这个微分段上的张力在裂纹尖端处的应力强度因子为dK=2pdx1b(a2-x2)于是有：“a2pdx/a、K=j(1)0(a2x2)令x=asin0,则a2-

7、x2=acos0,dx=acos0d0，代入(1) 式可得aasmT(a)acos0d0K=2p_j帀0acos0sin-i(_)va兀=2帀2=卩严10.试用迭加原理求如图所示裂纹问题的裂尖应力强度因子K的表达式。aI（a）（b）【解】该受力图可以看成是图（a）和图（b）两种受力情况的线性迭加。而图（b）构件的受力与裂纹表面平行，因此它所对应的应力强度因子=0，因此，原图构件的应力强度因子与图（a）的应力强度因子相等。前面已经求得图（a）的应力强度因子为。阿，因此，原图构件的应力强度因子为K=ca11.中心具有穿透裂纹的厚板条（平面应变情况），远端承受均匀拉伸作用，板的宽度为200mm，裂纹

8、长度为80mm,板的材料为铝合金，其kic=38MNm3/2，计算此板条的临界载荷。【解】这是一个中心具有贯穿裂纹的有限宽板条拉伸问题，其应力强度因子为38.、997(MNm-2)厂0.04兀、-0丿ICWa:兀atg而WcCKacKa式中的a为几何形状因子，经查表得a-兀aW式中的a为裂纹半长度，W为板宽。裂纹处于临界状态时所作用的应力就是构件的临界载荷，设其为.，将c6代入K的表达式，并令CCIKKIIC得于是有WKa“cKatgKc、KaWICK；02tg这就是说，在所给条件下，当板的拉伸应力达到997MNm2时，裂纹发生失稳扩展。III12某种合金钢在不同回火温度下，测得性能如下：27

9、5回火时s=1780MN/m2,Kic=52MN7m3/2；600回火时s=WOOMN/m2,Kic=lOOMN/m32。设应力强度因子为K=1.1o皿，且工作应力为b=o.5bs。试求两种温度下构件的容限裂纹尺寸a,并确定选用哪种材料较好。【解】当K=KIC时，对应的裂纹尺寸a就是容限裂纹尺寸，记为a；此时有1.10皿=K，于是得:c1fKcfC兀Imo丿ac当275回火时，1a一=C厂111x0.5x1780当600回火时，1ac2=0.0009m=0.9mm,厂100厂（1.1x0.5x1500丿从强度指标看这种合金钢275回火温度略优于600回火温度，但从断裂韧性指标来看，600回火温

10、度比275回火温度好得多。事实上，构件中0.9mm的裂纹是难以避免的，因此从全面考虑，应选600的回火温度。=0.00466m=4.66mm。hiinhihihi13.要设计一个高强度材料的压力容器，设计许用应力d=1400MN/2，采用的无损探伤设备只能发m2现大于1mm深度的裂纹。因此可以假定容器内壁焊缝热影响区沿母线方向（这是最不利的位置和最不利方向）存在深度a=1mm,长度c=2a的表面浅裂纹。现有A、B两种材料，其屈服极限.s分别为2100MN/m2和17O0MN/m2；其焊缝热影响区的平面应变断裂韧度kic分别为46.5MN/m3/2和77.4MN/m3/2。全面考虑，应选择哪一种

11、材料？【解】从静强度分析n$s)a=2100=1.5AQ14009S)B1700122n=SB=1.22BQTO0材料B的强度储备为材料A的强度储备为两种材料均满足强度要求，但A材料强度储备高于B材料。从断裂力学的观点分析：所给的问题可以理想化为半“无限大”体具有表面半椭圆形裂纹受均匀拉伸应力作用的情况，其应力强度因子可写为K=ac-Ka式中的a为几何形状因子，查表可得a=1121，考虑到裂尖处由于高度的应力集中引起的小塑性区，a可修正为式中Q=E(k)2-0.2121-12，E(k)为第二类完整椭圆积分。可查表得到。取许用应力0作为容器的工作应力，也就是取ff=0=14OOMN/m2，则12

12、1.26=E(k)2-0.212jQBE(k)2-0.212(Ql石B丿JTOC o 1-5 h z1.12cKa1.12x14000.001k3(K)、75MN/m2(K)iA更偉ICAAv(K)112严112x1400W亦76.mn/m3y2r2J22丿TK0.030Icossincosxy、2r22P由材力中的应力圆知识可得二TOC o 1-5 h zT=.(y)2+(T)2max2xyC-CT=12max而由平面应力光学定律可得：C-C=12万其中n光弹性模型上被测点处的等差线条纹级数;/光弹性材料的材料条纹值(N/m条)方光弹性试件的厚度(m)。以上各式联立得：K=3(nf)iWT(

13、万丿1)I型裂纹等差线条纹图K*r曲线I通过平面光弹性实验可以得到等差线条纹图，由该图可测得任意一个点，例如i点对应的极坐标r和e.ii及其条纹级次n，而f和h均可由实验测得，将n.、和0.iiii代入（1）式，可得该点对应的表观应力强度因子K*,沿某一固定角度B测出一系列点的r和n.,分别代入ii（1）式，就可以得到一系列K*，将这一系列实验数据画在K*r座标系中，然后用回归法拟合出最佳Kr曲线，再外推至r=0处，就可得到K。即limK*=K20II16线弹性断裂力学的断裂判据与材料力学的强度条件有何异同?答：线弹性断裂力学的断裂判据为：K=K（/=I、II、III）其中，k叫i型裂纹的应力

14、强度因子。它们反映了i型裂纹尖端应力场的强弱程度。是与外载性质、裂纹及裂纹弹性体几何形状等因素有关的一个量。而KC是K的临界值，称为材料的断裂韧度，是材料常数，通过实验测定。材料力学的强度条件为：=s其中，。叫工作应力。它反映了构件某点应力场的强弱程度。是与外载大小、方向、作用点及构件几I三|=|何形状等因素有关的一个量。而。是的临界值，称为材料的屈服极限，是材s料常数，通过实验测定。两者的相同之处是：(1)形式类似。都是以某量达到临界值的形式表述的；且该量都与外载性质及弹性体几何形状有关。而临界值都是材料常数。和。都通过实验测定临界值KiC两者的差别是：材料力学的强度条件是在材料为无缺陷的均

15、匀连续体的前提下得到的，它没有考虑构件中存在的各种缺陷，因此，按强度条件设计的构件在许多情况下并不安全。而线弹性断裂力学的断裂判据则考虑了构件中的缺陷造成的应力集中，是从裂纹的平衡、扩展和失稳规律出发得到的，因此，按断裂判据设计的构件更符合实际情况。17.K和K有何不同？答：K叫I型裂纹的应力强度因子。它们反映了I型裂纹尖端应力场的强弱程度。是与外载性质、裂纹及裂纹弹性体几何形状等因素有关的一个量。而KC是K的临界值，称为材料的断裂韧度,是材料常数，通过实验测定。相应的应力强度因子断裂判据为：其物理意义是：K广KIC当裂纹的应力强度因子V材料的断裂韧度时，系统处于静止状态，裂纹不扩展；当裂纹的

16、应力强度因子材料的断裂韧度时，裂纹失稳扩展，直至断裂；当裂纹的应力强度因子=材料的断裂韧度时，裂纹处于不稳定平衡状态。18高强度铝合金厚板，中心具有长度为80mm的穿透裂纹，板的宽度为200mm,在垂直于裂纹方向受到均匀拉伸作用。当裂纹发生失稳扩展时，施加的拉伸应力。=100MN/m2，试计算:(1)材料的断裂韧性值？当板为“无限大”时,断裂失效应力为多少？3)当板的宽度为120mm时，断裂失效应力又为多少？【解】(1)这是一个中心具有贯穿裂纹的有限宽板条拉伸问题,其应力强度因子为K=ttQ，兀a式中的a为几何形状因子，经查表得a怙tgW式中的a为裂纹半长度，W为板宽。令，代入K的表达式，得W

17、Ka兀x40KIC虫F严评tgW=100 x2tg3=381mn/m3/22)当板为“无限大”时，断裂失效应力为KIC381c=_JC=1075(MN/m2)F；7Ra3.14x0j04当板的宽度为120mm时，断裂失效应力为:=Kic=381=83.6(MN/m2)Ka兀x40tg0.12xtgWI70-hi19.高硅的镍铬钼钢，回火温度与材料的屈服极限c和断裂韧度K的关系如下表。设构件存在表面sIC半椭圆裂纹，深度a=2mm，裂纹的深长比a=0.25,构件在垂直于裂纹平面的远方受拉应力c=1100MN/m2作用，取安全系数n=12,试选择回火温度。解】从静强度分析：回火温度C2755006

18、00屈服极限cMN/m2178013901500断裂韧度KICMN/m3/2506496回火温度为275C时的强度储备为:n(c丿275十178016n_=S275C=1.6,275CcH00回火温度为500C时的强度储备为:2 2 nC=(Cs)500CJ39。=1.26,500Ccnuu回火温度为60OC时的强度储备为：nC=Qs)600C=1500=1.36600CcTT00IIIIII三种回火温度均满足强度要求，但275C时的强度储备高于其它两种温度。从断裂力学的观点分析：所给的问题可以理想化为半“无限大”体具有表面半椭圆形裂纹受均匀拉伸应力作用的情况，其应力强度因子可写为K=ac；k

19、_式中的a为几何形状因子，査表可得a=1.12兀=E(k)2-OS宀)2S275C八Q，考虑到裂尖处由于高度的应力集中引起的小塑性区可修正为a=1.127Q1式中Q=E(k),丐=E(k)2-0212()2-0.212()2,k=1-(_)22,E(k)为第cc取ff=0=110OMN/m二类完整椭圆积分。可查表得到。2，则11001=1.21112-0.212(颇濟论；11001=1.21112一。平聞薜=11001=1.21112-0.212(帧濟S500C,盂=E(k)2-0.212(；)2600C “、1.12qj而1.12x1100J0.002兀“/3(K)=83.0MN/m2(K)

20、I275CQ1386IC275C275CpT386(K)=1125=丄x1100阿际=84.6MN/m3(K)I500CQ1334IC500C(KI)600CQ.1334500C1.12.而1.12x1100.0.002兀3=84.0MN/m2(K)Q1353ic600C600C3=50MN/m2,3=64MN/m2,*13533=96MN/m2。由此可见，只有选择600C的回火温度，才能使材料既满足强度要求，又满足抗断裂要求。21.薄壁圆筒壁厚为t,直径为D,承受内压力p,在筒壁上有一与轴向成45倾斜的贯穿直裂纹，裂纹长度为10mm，试确定：（1）裂尖应力场强度因子和；（2）距裂尖均为0.1

21、mm的A、B和C三点处的TxypDpDO,=_,O=,T=0，x4Ty2Txyo+ooo3pd工yi+上yicos2x45tsin2x45=22xy8to+oo一o3pD22xy8tooxx兰sin2x45-tx,cos2x45=1字KIKn=o皿=30.005kPD,八1、丁9=tKa=10.005k卩。x八旷丁kee301icos(1一sinsin)j2Kr222kee30icos(1+sinsin)2Kr222ke.e30_icossincosT2Kr222、:)1对I型裂纹有：OyTxy对II型裂纹有：OyTxynsin(2+coscos72Kr22K.ee3ensincoscos2K

22、rl22TKee3eOxucos(1一sinsin)T2kf222对A点有：e=0,代入上两式得：对I型裂纹有：Txy3pD_.0.005xkh837-v0.005xk8v3?8詁0.005xktxkx0.0001pD1txkx0.0001pD11t：2xnx0.0001003x0)父pDcos(1一sinsin)=1.875TOC o 1-5 h zTTT003x0pDcos(1+sinsin)=1.875222003x0cossincos=0222对II型裂纹有:Txy.0/c03x0。、八sin(2+coscos)=012xkx0.00012221.003x0八sincoscos=020

23、cos1pD0.005xk-8、t1pD1.000.005xksincoscos8tv2xkx0.00012221pD10门.0.3x0pD0.005xkcos(1一sinsin)=0.625-8”tv2xkx0.0001222t由叠加原理得：(o)=1.875巴+0=1.875巴,xAtt(o)=1.875+0=1.875巴,yAtt(t)=0+5pD=0.625pDzyA8tt对B点有=45对I型裂纹有：代入上两式得：45(1.45.3x45)120pDcos(1一sinsin)=1.120tJ2xkx0.0001222tpD145。.45.3x45、=pDcos(1+sinsin)=2.

24、345八八tTxy3pD8J0.005xk37_A0.005xk8tv2xkx0.00012223pD145.453x45八“人pD-.0.005xkcossincos=0.254”8t2xkx0.0001222t对II型裂纹有：1pD1.45。“45。3x45。、pD_,0.005xnsin(2+coscos)=0.5638%tJ2xnx0.0001222t1_pD1.45453x45。八心D-、.0.005xnsincoscos=0.0858、t72xnx0.0001222t1八八八pD145。厶.45。.3x45。、八cP。Txy-口；0.005xncos仃一sinsin)=0.3738

25、%ta/2xnx0.0001222t由叠加原理得：(o)=1.1200.563=0.557,xBttt(o)=2.345巴+0.085D=2.430巴yBttt(t)=0.254D+0.373D=0.627。xyBttt90(1.90.3x90、0663pDcos(1一sinsin)=0.663xnx0.0001222t190cosxnx0.00011对C点有：e=90,代入上两式得:对I型裂纹有：3pD10.005xn8tj2xnx0.00012223pD190。“.90。.3x90。、4门皿pD-v0.005xncos(1+sinsin)=1.9888tv2xnx0.0001222tTxy

26、3pD190。.903x90。八厂小pD0.005xncossincos=0.663p8t2xnx0.0001222t对II型裂纹有：1pD1.90。903x90pD0.005xnsin(2+coscos)=0.663-8tv2xnx0.0001222t1pD1.90903x90。pD-0.005xnsincoscos=0.221_8t.2xnxO.0001222t1pD190。门.90。.3x90pDTxy-,0.005xncos仃一sinsin)=0.221”8tv2xnx0.0001222t由叠加原理得：(c)=0.663D-0.663巴=0,TOC o 1-5 h zxCtt(c)=1

27、.988-0.221d=1.767巴,yCttt(t)=-0.663巴+0.221巴=-0.442巴xyCttt22“无限大”平板中有一贯穿裂纹,在裂纹中心的上下表面上，作用着一对集中力p,如图所示,试求应力强度因子K的表达式。IT【解】对图示裂纹问题，取解析函数的表达式为:PaPaZ（z）=（1）1兀z/z2a2可以验证，该解析函数满足这个裂纹问题的下述边界条件：在z8处，c=0,c=0,t=0；xyxy在Ixi442a4V-=nn(a)三-:三=pD，l4t其纵向截面上的拉伸应力为：pD，l2T强度条件为：,b取等号得：pD=620,2MPa。解得极限压强为：pc产“J0=1240而这个二

28、向应力状态可以看成是图（b）和图（c）两种受力情况的线性迭加。而图（c）构件的受力与裂纹表面平行，因此它所对应的应力强度因子K=0，因此，图S）构件的应力强度因子与图（b）的应力强度因子相等。而图（b）的应力强度因子为&F，因此，图S）构件的应力强度因子也为K=o严a，断裂判据为：1K=K，IIC即卩。a=40，解得极限压强为：MPa。40 x2t1010p=1010c2D.-2x10-3MPa。极限压强为minpc1,pc2=101025.图示裂纹长2a=17.5mm,0=35。，a640MPa，Tl=360MPa，试求K、K、K值.1In【解】在xyz坐标系伪，应力分量为：o=0，O=6O

29、=0,T=0,T=T,T=0。换算xyzxyyz到xryz坐标系内，换算关系为c!T!T!1mncTT111xxyxz111xxyxz123TcT=1mnTcTmmmyxyyz222yxyyz123TTc1mnTTcnnn-zxzyfz333zxzyz123l其中l、12和l3分别是x轴、y轴和z轴与x轴夹角的余弦，加、m2和m3分别是x轴、y轴和z轴与y轴夹角的余弦，竹、n2和n3分别是x轴、y轴和z轴与Z轴夹角的余弦。1=cos（90。一35。）=COS55。,1=cos（180。一35。）=cos35。,1=0,TOC o 1-5 h z23m=cos35。，m=cos（90。35。）=

30、cos55。，m=0,123n=0,n=0,n=1,代入上式后得：c,=ocos235，c,=ocos255，tcos35cos55。 HYPERLINK l bookmark12 o Current Document xyxyT=Tcos35，T=Tcos55xz1yz1K只与c有关，K只与T有关，K只与T有关，所Iynxy皿yz以有：I|rIK-na二640XCOS255。314x_2x10-3二34.9MN/m32；TOC o 1-5 h ziw2K、局二640 xcos35xcos55。3.14xx10-3二49.9MN/m32；nx”2|1r7K、刊二360 xcos55。3.14x_x10-3二34.3MN/m32皿yz226“无限大”平板内的贯穿裂纹表面上，作用着一对力P,其方向如图，试求其应力强度因子k的表达式。【解】对图示裂纹问题，取解析函数的表达式为:Z=P、a2一b2（1）兀（zb）jz2a2可以验证，该解析函数满足这个裂纹问题的下述边界条件：在Z8处，G二0,G二0,T二0；xyxy在IxVa,除x=b外的裂纹面上Q=0,t=0；如果切出x轴上面的薄平板，在x轴所在的截面上，内力的总和应该满足了ndx+Tt