数列极限的定义性质讲解课件

1、第二章 极限与连续一、数列的极限及性质、存在准则二、函数的极限三、函数的连续、闭区间上连续函数的性质7/26/20221福州大学数学与计算机学院“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”1、割圆术：刘徽一概念的引入播放(一)、数列极限的定义和性质7/26/20222福州大学数学与计算机学院正六边形的面积正十二边形的面积正 形的面积7/26/20223福州大学数学与计算机学院战国时代庄周:庄子天下篇中“一尺之棰，日取其半，万世不竭。” 体现中国古代就有极限的思想方法。7/26/20224福州大学数学与计算机学院二、数列的极限1.数列的概念7/26/20225福州大学数

2、学与计算机学院特殊的数列7/26/20226福州大学数学与计算机学院播放2.数列极限的定义7/26/20227福州大学数学与计算机学院问题:“无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它.通过上面演示实验的观察:7/26/20228福州大学数学与计算机学院7/26/20229福州大学数学与计算机学院如果数列没有极限,就说数列是发散的.7/26/202210福州大学数学与计算机学院几何解释:其中7/26/202211福州大学数学与计算机学院 具有任意性和稳定性的双重意义。 的任意性刻划了xn与A无限接近，同时 又具有相对稳定性，一经取定，它就确定了，这样用静态的形式|xnA|N表明了比N大的各项：

3、xN+1，xN+2,.都满足|xnA|0，这样的N是否存在。3.一般地，N与任意给定的有关， 取得越小，相应地N就越大，如果N存在，这样地N不唯一。7/26/202213福州大学数学与计算机学院几何解释:7/26/202214福州大学数学与计算机学院例1证所以,7/26/202215福州大学数学与计算机学院例2证所以,说明:常数列的极限等于同一常数.小结:用定义证明数列极限存在时,关键是任意给定 寻找N,但不必要求最小的N.7/26/202216福州大学数学与计算机学院例3证7/26/202217福州大学数学与计算机学院极限为0的数列称为无穷小量 .定义例如： 注意：不能把无穷小量理解为很小的

4、量。7/26/202218福州大学数学与计算机学院例4证7/26/202219福州大学数学与计算机学院例5 证明： 应用二项式公式， 7/26/202220福州大学数学与计算机学院例5证法二7/26/202221福州大学数学与计算机学院证明令应用二项式定理即得到于是，取当时，成立例 6求证：7/26/202222福州大学数学与计算机学院例 7 证： 7/26/202223福州大学数学与计算机学院用定义证明 xn= a，就是证明对 0，N存在.证明的过程就是寻找 N 的过程.证明的方法是从分析 |xna| (n) ,解出 N适合不等式。由于N 不唯一，故可把 |xna| 适当放大，得到一个新的不

5、等式，再找 N。7/26/202224福州大学数学与计算机学院定理11. 保序性：二、数列极限的性质：注：定理1的逆命题不成立，如与7/26/202225福州大学数学与计算机学院证上两式同时成立,7/26/202226福州大学数学与计算机学院证明:(反证法)推论1(保序性)7/26/202227福州大学数学与计算机学院推论2(保号性)7/26/202228福州大学数学与计算机学院推论3(保号性)7/26/202229福州大学数学与计算机学院由定义,故收敛数列的极限必唯一证：定理2 收敛数列的极限必唯一.2、唯一性7/26/202230福州大学数学与计算机学院有界数列，否则，称之为无界数列. 定

6、义则称之为.3、有界性7/26/202231福州大学数学与计算机学院证：注意：有界性是数列收敛的必要条件.推论 无界数列必定发散.定理4 收敛数列必有界.例如，有界，但发散7/26/202232福州大学数学与计算机学院例2.证明下列极限7/26/202233福州大学数学与计算机学院例3证明极限7/26/202234福州大学数学与计算机学院1、割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”刘徽概念的引入7/26/202235福州大学数学与计算机学院1、割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”刘徽概念的引入7/26/202236

7、福州大学数学与计算机学院“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”1、割圆术：刘徽概念的引入7/26/202237福州大学数学与计算机学院“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”1、割圆术：刘徽概念的引入7/26/202238福州大学数学与计算机学院“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”1、割圆术：刘徽概念的引入7/26/202239福州大学数学与计算机学院“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”1、割圆术：刘徽概念的引入7/26/202240福州大学数学与计算机学院“割之弥

8、细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”1、割圆术：刘徽概念的引入7/26/202241福州大学数学与计算机学院“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”1、割圆术：刘徽概念的引入7/26/202242福州大学数学与计算机学院“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”1、割圆术：刘徽概念的引入7/26/202243福州大学数学与计算机学院2.数列极限的定义7/26/202244福州大学数学与计算机学院2.数列极限的定义7/26/202245福州大学数学与计算机学院2.数列极限的定义7/26/202246福州大学数学与计算机学院2.数列极限的定义7/26/202247福州大学数学与计算机学院2.数列极限的定义7/26/202248福州大学数学与计算机学院2.数列极限的定义7/26/202249福州大学数学与计算机学院2.数列极限的定义7/26/202250福州大学数学与计算机学院2.数列极限的定义7/26/202251福州大学数学与计算机学院2.数列极限的定义7/26/202252福州大学