直线与圆、圆与圆的位置关系

1、直线与圆、圆与圆的位置关系原文 路平本局部内容由直线与圆的位置关系和圆与圆的位置关系组成.直线与圆主要考察位置关系的判断，利用位置关系解决切线方程、公共弦方程及弦长等有关直线与圆的问题；圆与圆主要考察位置关系的判断及简单应用.重点：掌握直线与圆、圆与圆的位置关系的断定方法，寻求圆的弦长、切线长、圆的切线方程等问题的最优解法.难点：圆的弦长问题，求与圆有关的轨迹问题等.1.判断直线与圆的位置关系的两种常见方法1几何法：确定圆的圆心坐标和半径r；计算圆心到直线的间隔 d；判断d与圆半径r的大小关系：dr？圯相离，d=r？圯相切，d2代数法：把直线方程代入圆的方程；得到一元二次方程；求出的值：0？圯

2、相交；=0？圯相切；0？圯相离.2.计算直线被圆所截得的弦长的常用方法1几何法：运用由半径、弦心距和半弦长所组成的直角三角形求解有关位置判断、弦长、弦心距等问题优先利用几何方法.2代数法：运用韦达定理及弦长公式.3.解决圆与圆的位置关系问题的根本思路1用圆心之间的间隔 d与两半径r1，r2的和或差进展大小比拟：dr1+r2？圯相离；d=r1+r2？圯相外切；r1r22圆1：x2+y2+d1x+e1y+f1=0，圆2：x2+y2+d2x+e2y+f2=0相交所得的公共弦方程为d1d2x+e1e2y+f1f2=0.2022重庆对任意的实数k，直线y=kx+1与圆x2+y2=2的位置关系一定是a相离

3、b相切相交但直线不过圆心d相交且直线过圆心思索处理判断直线与圆的位置关系问题，可以用代数法联立方程组，也可以用几何法比拟点到直线的间隔 与半径的大小，我们应根据题目选择适宜的方法.当然，特殊的题目还有更为快捷的方法.破解法一圆心0，0到直线kxy+1=0的间隔 为d=r，且圆心0，0不在该直线上.应选.法二直线kxy+1=0恒过定点0，1，而该点在圆内，且圆心不在该直线上，应选.过点3，3作圆x22x+y23=0的切线，切线方程为_.思索求过圆外一点x0，y0的圆的切线方程：几何方法.设切线方程为yy=kxx0，由圆心到直线的间隔 等于半径，可求得k，切线方程即可求出.代数方法.设切线方程为y

4、y0=kxx0，与圆的方程联立，得到一个关于x的一元二次方程，由=0求得k，切线方程即可求出.两种方法都需注意，假设只求出了一条切线方程，那么还有一条斜率不存在的切线.破解设切线的斜率为k，那么切线方程为y3=kx3，即ykx+3k3=0，圆心到直线的间隔 d=2，得到k=，所以切线方程为5x12y+21=0.当k不存在时，x=3亦为切线方程.所以切线方程为5x12y+21=0和x=3.2022天津设，nr，假设直线l：x+ny1=0与x轴相交于点a，与y轴相交于点b，且l与圆x2+y2=4相交所得弦的长为2，为坐标原点，那么ab面积的最小值为_.思索此题的打破口仍然是直线与圆相交，利用几何方

5、法中的特殊三角形得到，n的关系式，那么a，b两点的坐标可以求出，而ab为直角三角形，面积可以用，n表示，进而求解.注意根本不等式的应用.2022山东圆过点1，0，且圆心在x轴的正半轴上，直线l：y=x1被该圆截得的弦长为2，求圆的标准方程.思索利用几何方法，由半径、弦心距和半弦长所组成的直角三角形求解.破解设圆心为a，0，那么圆心到直线xy1=0的间隔 为d=.因为圆截直线所得的弦长为2，根据半弦、半径、弦心距之间的关系有+2=a12，即a12=4，所以a=3或a=1舍去，那么半径r=31=2，圆心为3，0.所以圆的标准方程为x32+y2=4.1直线l：y=x+b与曲线：y=有两个不同的公共点

6、，务实数b的取值范围；论文网2假设关于x的不等式x+b的解集为r，务实数b的取值范围.思索应用数形结合方法，画出草图.注意曲线为半个圆.破解1如图1数形结合，方程y=x+b表示斜率为1，在y轴上的截距为b的直线l；方程y=表示单位圆在x轴上及其上方的半圆.当直线过b点时，与半圆交于两点，此时b=1，直线即为l1；当直线与半圆相切时，b=，直线即为l2.直线l要与半圆有两个不同的公共点，必须满足l在l1与l2之间包括l1但不包括l2，所以1b，即所求b的取值范围是1，.2不等式x+b恒成立，即半圆y=在直线y=x+b上方，当直线l过点1，0时，b=1，所以所求b的取值范围是，1.在平面直角坐标系

7、xy中，圆的方程为x2+y8x+15=0，假如直线y=kx2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆有公共点，那么k的最大值是_.思索此题考察圆与圆的位置关系.圆与圆有公共点，所以位置关系为相切或相交.设出动圆的圆心坐标，求出两圆圆心间隔 的范围，转化为点到线的间隔 .破解因为圆的方程可化为x42+y2=1，所以圆的圆心为4，0，半径为1.由题意，直线y=kx2上至少存在一点ax0，kx02，以该点为圆心，1为半径的圆与圆有公共点，所以存在x0r，使得a1+1成立，即ain2.又因为ain即为点到直线y=kx2的间隔 ，所以2，解得0k.所以k的最大值是.圆的方程为x2+y2=4，定点a4，0，求过点a且和圆相切的动圆圆心的轨迹方程.思索利用两圆相切时圆心距与两半径和或差的关系，列出关系式.注意两种相切的形式.破解