离散数学中关系概念的教学探讨：从具体归纳到抽象概念

1、离散数学中关系概念的教学讨论：从详细归纳到抽象概念离散数学中关系概念的教学讨论：从详细归纳到抽象概念离散数学是信息学科尤其是计算机学科的一门重要的专业根底课程，它的主要研究对象是离散构造及其应用，为计算机理论和应用提供必不可少的数学根底及思维方法。其理论和方法大量地应用在数字电路、编译原理、数据构造、操作系统、数据库系统、算法的分析与设计、人工智能、计算机网络等专业课程中，同时也为计算机应用提供必要的数学工具。然而，该学科的知识点分散、概念抽象，给学生学习和理解带来很大困难。如何学好这门课，对计算机学科的学生来说显得特别重要；如何教好离散数学，从而进步教学质量，是有关老师应该努力讨论和研究的。

2、本文主要讨论离散数学中关系的教学方法，期望对类似的问题能有参考意义。1关系的重要性关系是离散数学中用来刻画事物之间联络的一个重要的概念，在计算机科学与技术领域中有着广泛的应用。关系数据库模型就是以关系及其运算作为理论根底的1。图论中的一个图，实际上也就是相关对象集合上的一个关系。正确理解关系的概念以及关系模型，对于利用关系模型来进展数学建模尤其重要。2关系的定义及集合表示定义1：二元关系假设a和b是两个集合，a与b的笛卡尔积ab的一个子集合，叫做一个a到b的二元关系2。定义2：多元关系假设a1，a2，an是n个集合，它们的笛卡尔积a1a2an的一个子集合，叫做一个a1，a2，an间的一个n元关

3、系3。以上的两个定义分别是二元关系和多元关系的定义，但无论是哪个定义，都似乎跟实际中的关系有很大间隔 ，学生很难想象如何将实际中的关系跟这些个抽象的定义联络起来，他们必然要问：为什么要这样定义关系？现实中的关系一般指事物之间或者对象之间的某种或者某些联络，这些对象之间的关系，也同样可以说是集合的元素之间的关系，以下是一些实际关系的例子。【例1】四支球队a、b、及d队，他们之间进展了一些比赛，以下一张表格记录了他们之间的比赛结果胜负关系：a胜b、b胜、胜a、d胜a、d胜b、d又胜了。为了简单起见，用a，b来表示a胜b，于是可以将所有胜负重新记录表示成a，b，b，a，d，a，d，b，d，d，b。这

4、就是一张胜负表，该表清楚地表现了这四个队a、b、d之间的胜负关系，它就是这四个队之间的一个关系比赛胜负关系。当用集合s表示4个队时，s=a，b，d，那么胜负关系表a，b，b，a，d，a，d，b，d，d，b就是s与s的笛卡尔积ss的一个子集。也就是说用这个子集合表示了这四个队之间的某轮比赛的胜负关系。【例2】一个 号码簿，它里面记录了很多单位或个人的一些 号码。不难理解，一个号码本就是一个集合。这个号码本也就是这个集合表示了人和单位跟一些 号码之间的一种关系，它是一个实实在在的关系。假如用a表示所有有关的单位和人的集合，用b表示所有相关的 号码的集合，简单地用a，b表示a的 号码是b，其中aa，

5、bb分别表示a中的一个元素单位或者人和b中的一个号码。那么所有这些有关的序对a，b就构成 号码本，就构成这个号码集合。可以看出这个集合正好是a与b的笛卡尔积ab的一个子集。当有人或有单位的号码发生变化，这个号码本也相应地发生变化，变成另外一个号码本，也就是另外一个集合，另外一个子集合，但仍然是ab的一个子集。【例3】学生、课程、成绩之间的关系假设用集合a表示某大学计算机学院的所有学生，b集合表示计算机学院的所有课程，集合表示不大于100的非负整数的集合，那么学生张三的离散数学考试成绩是95分，就可以表示成张三，离散数学，95。将计算机学院所有学生所有课程的这样的记录放在一起，就是一张成绩表，也

6、就是教务管理中的成绩库。那么这个成绩库就是一个集合，这个集合表示的是计算机学院学生，课程和成绩三者之间的一个关系。而这个集合恰好是集合a、b、的笛卡尔积ab的一个子集。以上三个例子都说明了同一个问题：无论是一个集合内部元素之间的关系，还是不同集合的元素之间的关系，还是多个集合元素之间的关系，都可以表示成相关集合的笛卡尔积的子集。把笛卡尔积的子集当成一个数学模型，那就可以用这个数学模型来表示关系，包括二元关系和多元关系4。3抽象关系的详细解释设集合a=a，b，d，s=a，b，d，显然，那么根据定义1，s是a集合到a集合自身的一个二元关系。这个关系看似是抽象的，但当给a、b、d赋予详细的含义，分别

7、表示成张三、李四、王五和赵六4个人，而x，y表示为x与y是朋友，那么二元关系s就表示成4个人之间具有的一个朋友关系。其中，张三跟李四是朋友，王五跟赵六也是朋友，但其别人之间都不是朋友。即便是空集，即空关系，在这里可以理解为集合a的人之间没有人有朋友关系。当然根据不同的情况，也可以给出另外的含义和解释。比方说a=5、b=10、=3、d=9，那么上面的关系s可以解释为集合a=5，10，3，9中元素间的整除关系。这个例子说明，一些集合的笛卡尔积的任何一个子集，也即任一个关系，都可以在某些场合中解释对应为实际的关系。4结论综合上面所述，任何一个现实中的详细的关系，都可以用一个笛卡尔积的子集这个数学模型表示出来；任一个抽象的关系，在给集合的元素赋予详细的含义后，都可以对应地解释为一个实际问题中的详细关系。这样就建立起来笛卡尔积子集跟关系之间的联络，学生再来理解关系的概念也就不再有难度了。通过这样讲解后，也能给学生如何利用数学模型、数学工具表示实际问题的体会。5教学中的几点建议1离散数学概念繁多，而且抽象。教学时，最好多讲一些相关的应用背景知识，进步学生的学习兴趣和积极性。然后多