数字信号处理第4章 有限长单位脉冲响应(FIR)滤波器的设计方法

1、第4章 有限(yuxin)长单位脉冲响应（FIR）滤波器的设计方法4.1 线性相位FIR数字滤波器的特性4.2 窗口设计法（时间(shjin)窗口法）4.3 频率取样法4.4 FIR数字滤波器的最优化设计4.5 IIR与FIR数字滤器的比较共一百二十三页序言(xyn) FIR数字滤波器的差分方程(fngchng)描述对应的系统函数 因为它是一种线性时不变系统，可用卷积和形式表示共一百二十三页FIR数字滤波器的特点(与IIR数字滤波器比较)： 优点 ：（1）很容易获得严格的线性相位，避免被处理的信号产生相位失真，这一特点在 宽频带信号处理、阵 列信号处理、数据传输等系统中非常重要(zhngyo)

2、；（2）可得到多带幅频特性；（3）极点全部在原点（永远稳定），无稳定 性问题；（4）任何一个非因果的有限长序列，总可以通过一 定的延时，转变为因果序列， 所以因果性总是满足；（5）无反馈运算，运算误差小。共一百二十三页缺点：（1）因为无极点，要获得好的过渡带特性，需以较高的阶数为代价；（2）无法利用模拟滤波器的设计结果，一般无解析(ji x)设计 公式，要借助计算机辅助设计程序完成。共一百二十三页4.1 线性相位FIR数字(shz)滤波器的特性 4.1.1 线性相位的条件线性相位意味着一个系统的相频特性是频率(pnl)的线性函数，即式中为常数，此时通过这一系统的各频率分量的时延为一相同的常数，

3、系统的群时延为 共一百二十三页FIR滤波器的DTFT为式中 H()是正或负的实函数。等式中间和等式右边的实部与虚部应当各自相等，同样(tngyng)实部与虚部的比值应当相等: 共一百二十三页将上式两边交叉相乘，再将等式右边各项移到左边，应用三角函数(snjihnsh)的恒等关系 共一百二十三页另外一种情况是，除了上述的线性相位(xingwi)外，还有一附加的相位(xingwi)，即 共一百二十三页 偶对称 奇对称图1 线性相位(xingwi)特性共一百二十三页分四种(s zhn)情况4.1.2 线性相位(xingwi)FIR滤波器 的幅度特性1、N为奇数，偶对称2、N为偶数，偶对称3、N为奇数

4、，奇对称4、N为偶数，奇对称共一百二十三页例1 N=5, h (0) = h (1) = h (3) = h (4) = -1/2, h (2) = 2，求幅度函数H ()。解 为奇数并且h(n)满足(mnz)偶对称关系a (0) = h (2) = 2a (1) = 2 h (3) = -1a (2) = 2 h (4) = -1H () = 2 - cos- cos2 = 2- (cos+cos2) 共一百二十三页1 偶对称，N为奇数 h(n)=h(N-1-n)共一百二十三页共一百二十三页令 ， 则令则由于 偶对称，因此 对这些频率也呈偶对称。共一百二十三页 2h(n)偶对称(duchn)

5、，N为偶数 h(n)=h(N-1-n)令 ，则共一百二十三页或写为：（1）由于 奇对称，所以 对 也为奇对称（2）由于 时， 处必有一零点，因此(ync)这种情况不能用于设计 时 的滤波器，如高通、带阻滤波器。共一百二十三页3. h(n)奇对称(duchn)，N为奇数，h(n)=-h(N-1-n)共一百二十三页 令 n=m+(N-1)/2，得： 共一百二十三页所以(suy) 由于 点呈奇对称，所以 对这些点也奇对称。由于 时， 相当于H（z）在 处有两个(lin )零点，不能用于 的滤波器设计，故不能用作低通、高通和带阻滤波器的设计。共一百二十三页4.h(n)奇对称(duchn)，N为偶数 令

6、共一百二十三页由于 在=0,处为零，所以(suy)H()在=0, 2处为零，即H(z)在z=1上有零点，并对=0,2呈奇对称，故不能设计低通和带阻滤波器。 共一百二十三页四种(s zhn)线性相位FIR滤波器共一百二十三页共一百二十三页四种线性相位FIR DF特性(txng)，参考 P91 表4.1第一种情况 ，H(w)关于0，2呈偶对称， 四种滤波器都可设计。第二种情况(qngkung)， H(w)关于0， 2呈偶，关于呈奇对称， 可设计低、带通滤波器，不能设计高通和带阻。第三种情况， H(w)关于0，2呈奇对称， 只能设计带通滤波器，其它滤波器都不能设计。第四种情况， H(w)关于0， 2

7、呈奇对称、关于呈偶对称， 可设计高通、带通滤波器，不能设计低通和带阻共一百二十三页四种FIR数字滤波器的相位特性只取决于h(n)的对称性，而与h(n)的值无关(wgun)。幅度特性取决于h(n)。设计FIR数字滤波器时，在保证h(n)对称的条件下，只要完成幅度特性的逼近即可。注意：当H()用H()表示时，当H()为奇对称时，其相频特性中还应加一个固定相移。小结(xioji)：共一百二十三页4.1.3 线性相位FIR滤波器的零点(ln din)特性 共一百二十三页由该式可看出，若z=zi是H(z)的零点，则z=z-1i也一定是H(z)的零点。由于(yuy)h(n)是实数，H(z)的零点还必须共轭

8、或对，所以z=z*i 及 z=1/z*也必是零点。 所以线性相位滤波器的零点必须是互为倒数的共轭对，即成四出现，这种共轭对共有四种可能的情况：既不在单位园上，也不在实轴上，有四个互为倒数的两组共轭 对， zi ， z*i ，1/zi ，1/z*i ， 在单位圆上，但不在实轴上，因倒数就是自己的共轭，所以有一对共轭零点， zi, z*i共一百二十三页不在单位圆上，但在实轴上，是实数,共轭就是自己，所以(suy)有一对互为倒数的零点, zi, 1/zi又在单位圆上，又在实轴上，共轭和倒数都合为一点，所以成单出现，只有两种可能，zi=1或zi=-1 共一百二十三页共一百二十三页共一百二十三页我们从幅

9、度响应的讨论中已经(y jing)知道，对于第二种FIR滤波器（h(n)偶对称，N为偶数）， ，即 是 的零点，为单根；同样道理，对于第四种FIR滤波器（h(n)奇对称，N为偶数）， ，即 是 的零点，为单根；对于第四种FIR滤波器（h(n)奇对称，N为偶数）， ，即 是 的零点，为单根线性相位滤波器是FIR滤波器中最重要(zhngyo)的一种，应用最广。实际使用时应根据需用选择其合适类型，并在设计时遵循其约束条件。共一百二十三页4.2 窗口(chungku)设计法（时域） 如果希望得到的滤波器的理想频率响应为 ，那么 FIR滤波器的设计就在于寻找(xnzho)一个传递函数 去逼近 ，逼近方法

10、有三种： 窗口设计法（时域逼近） 频率采样法（频域逼近） 最优化设计（等波纹逼近） 共一百二十三页 时间窗口设计法是从单位(dnwi)脉冲响应序列着手，使h(n)逼近理想的单位脉冲响应序列hd(n)。我们知道hd(n)可以从理想频响通过付氏反变换获得 共一百二十三页 但一般来说，理想频响 是分段(fn dun)恒定，在边界频率处有突变点，所以，这样得到的理想单位脉冲响应hd(n)往往都是无限长序列，而且是非因果的。但FIR的h(n)是有限长的，问题是怎样用一个有限长的序列去近似无限长的hd(n)。最简单的办法是直接截取一段 hd(n) 代替 h(n) 。这种截取可以形象地想象为h(n)是通过一

11、个“窗口”所看到的一段hd(n)，因此 ，h(n)也可表达为h(n)和一个“窗函数”的乘积，即 h(n)=w(n) hd(n) 在这里窗口函数就是矩形脉冲函数RN（n），当然以后我们还可看到，为了改善设计滤波器的特性，窗函数还可以有其它的形式，相当于在矩形窗内对hd(n)作一定的加权处理。 共一百二十三页设计(shj)步骤：共一百二十三页 以一个截止频率为 c的线性相位理想低通滤波器为例,讨论(toln)FIR的设计问题。a. 对于给定的理想低通滤波器 ，计算：低通滤波器的延时共一百二十三页共一百二十三页共一百二十三页是一个以 为中心的偶对称的无限长非因果序列，如果截取一段n=0N-1的hd(

12、n)作为h(n)，则为保证所得到的是线性相位FIR滤波器，延时 应为h(n)长度N的一半,即共一百二十三页其中b.计算共一百二十三页c.计算 共一百二十三页用幅度函数和相位(xingwi)函数来表示共一百二十三页共一百二十三页理想频响也可以写成幅度(fd)函数和相位函数的表示形式共一百二十三页共一百二十三页如果也以幅度函数(hnsh) 和相位函数(hnsh)来表示 H(ej),则实际FIR滤波器的幅度(fd)函数H()为正好是理想滤波器幅度函数与窗函数幅度函数的卷积。共一百二十三页 矩形(jxng)窗的卷积过程（P95的图4.5来说明）共一百二十三页4个特殊频率(pnl)点看卷积结果：（1）=

13、0时, H(0)等于(dngy)在-c, c内的积分面积因一般故H(0)近似为在-, 内的积分面积共一百二十三页（2）=c时，一半(ybn)重叠， H(c)=0.5 H(0);（3） =c 2/N时，第一旁瓣（负数）在通带外，出现正肩峰； （ 4） =c +2/N 时，第一旁瓣（负数）在通带内，出现负肩峰。 共一百二十三页窗口函数对理想(lxing)特性的影响： 改变了理想频响的边沿特性，形成过渡带，宽为 ，等于WR()的主瓣宽度。（决定于窗长）过渡带两旁产生肩峰和余振（带内、带外起伏），取决于WR()的旁瓣，旁瓣多，余振多；旁瓣相对值大，肩峰强，与 N无关(wgun)。（决定于窗口形状）共一

14、百二十三页N增加,过渡带宽减小,肩峰值(fn zh)不变。 因主瓣附近 其中x=N/2,所以N的改变不能改变主瓣与旁瓣的比例关系，只能改变WR()的绝对值大小和起伏的密度，当N增加时，幅值变大，频率轴变密，而最大肩峰永远为8.95%，这种现象称为吉布斯（Gibbs）效应。 共一百二十三页00.250.50.751-40-30-21-100N=15N=31用矩形窗设计的c=p/2 FIR滤波器的幅度响应共一百二十三页 改变窗函数的形状，可改善(gishn)滤波器的特性，窗函数有许多种，但要满足以下两点要求：窗谱主瓣宽度要窄，以获得较陡的过渡带；相对于主瓣幅度，旁瓣要尽可能小，使能量(nnglin

15、g)尽量集中在主瓣中，这样就 可以减小肩峰和余振，以提高阻带衰减和通带平稳性。但实际上这两点不能兼得，一般总是通过增加主瓣宽度来换取对旁瓣的抑制。 肩峰值的大小决定了滤波器通带内的平稳程度和阻带内的衰减，所以对滤波器的性能有很大的影响。共一百二十三页几种常用的窗函数(hnsh)： 1. 矩形窗共一百二十三页2. 汉宁窗Hanning（升余弦(yxin)窗）共一百二十三页三部分矩形窗频谱相加，使旁瓣互相抵消，能量集中在主瓣，旁瓣大大减小，主瓣宽度(kund)增加1倍，为 。共一百二十三页共一百二十三页3. 汉明窗Hamming（改进的升余弦窗） 它是对汉宁窗的改进，在主瓣宽度（对应第一(dy)零

16、点的宽度）相同的情况下，旁瓣进一步减小，可使99.96%的能量集中在窗谱的主瓣内。共一百二十三页4. 布莱克曼窗（二阶升余弦窗） 增加一个二次谐波余弦分量，可进一步降低旁瓣，但主瓣宽度进一步增加，为 。加N可减少(jinsho)过渡带。频谱的幅度函数为： 共一百二十三页共一百二十三页窗口(chungku)函数的频谱 N=51，A=20lg|W()/W(0)|四种(s zhn)窗函数的比较共一百二十三页共一百二十三页共一百二十三页5.凯塞窗 以上四种窗函数，都是以增加主瓣宽度(kund)为代价来降低旁瓣。凯塞窗则可自由选择主瓣宽度(kund)和旁瓣衰减。I0(x)是零阶修正贝塞尔函数(hnsh)

17、，参数可自由选择，决定主瓣宽度与 旁瓣衰减。越大，w(n)窗越窄，其频谱的主瓣变宽，旁瓣变小。一般取 4N时， hM(n)hd(n)零阶贝塞尔函数(hnsh) 窗口设计法的主要工作是计算hd(n)和w(n)，当 较为(jio wi)复杂时，hd(n)不容易由反付里叶变换求得。这时一般可用离散傅里叶变换代替连续傅里叶变换，求得近似值：令 共一百二十三页过渡带宽(di kun)At阻带最小衰减为共一百二十三页例2 用凯塞窗设计一FIR低通滤波器，低通边界频率 ，阻带边界频率 ，阻带衰减At不小于50dB。解：共一百二十三页共一百二十三页wn=kaiser(30,4.55);nn=0:29;alfa

18、=(30-1)/2;hd=sin(0.4*pi*(nn-alfa)./(pi*(nn-alfa);h=hd.*wn;h1,w1=freqz(h,1);plot(w1/pi,20*log10(abs(h1);axis(0,1,-80,10);grid;xlabel(归一化频率(pnl)/pi);ylabel(幅度/dB);共一百二十三页共一百二十三页共一百二十三页clear;w1=0.3*pi;w2=0.5*pi;wc=(w1+w2)/2;dw=w2-w1;At=50;if At=50 bata=0.1102*(At-8.7)elseif At21 bata=0.5842*(At-21)0.4+

19、0.07886*(At-21)else bata=0endN=ceil(At-8)/(2.286*dw)共一百二十三页N=ceil(At-8)/(2.286*dw)alfa=(N-1)/2;M=1024;for mm=0:M-1 w=2*pi/M*mm; if w=wc Hd(mm+1)=exp(-j*alfa*w); else Hd(mm+1)=0; endendhd=real(ifft(Hd);共一百二十三页wn=kaiser(N,bata);nn=0:N-1;hd=real(hd(1:N);h=hd.*wn;h1,w1=freqz(h,1);plot(w1/pi,20*log10(abs

20、(h1);axis(0,1,-80,10);grid;xlabel(归一化频率(pnl)/pi);ylabel(幅度/dB);共一百二十三页4.3 频率(pnl)采样法 工程(gngchng)上，常给定频域上的技术指标，所以采用频域设计更直接。一、基本思想 使所设计的FIR数字滤波器的频率特性在某些离散频率点上的值准确地等于所需滤波器在这些频率点处的值，在其它频率处的特性则有较好的逼近。内插公式共一百二十三页共一百二十三页共一百二十三页共一百二十三页内插函数(hnsh)共一百二十三页共一百二十三页内插公式表明：在每个采样点上， 逼近(bjn)误差为零，频响 严格地与理想频响的采样值 H(k)相

21、等；在采样点之间，频响由各采样点的内插函数延伸迭加而形成，因而有一定的逼近误差，误差大小(dxio)与理想频率响应的曲线形状有关，理想特性平滑，则误差小；反之，误差大。在理想频率响应的不连续点附近， 会产生肩峰和波纹。N增大，则采样点变密，逼近误差减小。共一百二十三页二、设计(shj)方法1）确定2）计算3）计算共一百二十三页三、约束条件 为了设计线性相位(xingwi)的FIR滤波器，采样值 H(k)要满足一定的约束条件。 前已指出,具有线性相位的FIR滤波器，其单位脉冲响应h(n)是实序列，且满足 ，由此得到的幅频和相频特性，就是对H(k)的约束。例如，要设计第一类线性相位FIR滤波器，即

22、N为奇数，h(n)偶对称，则幅度函数H()应具有偶对称性：共一百二十三页第二种线性相位(xingwi)FIR滤波器，N为偶数，h(n)偶对称，由于幅度特性是奇对称的 令则 必须满足偶对称性：则 必须满足奇对称性：共一百二十三页第一类线性相位滤波器第二类线性相位滤波器第三类线性相位滤波器第四类线性相位滤波器共一百二十三页共一百二十三页例3：利用频率(pnl)采样法，设计一个线性相位低通FIR数字滤波器，其理想特性为采样点数 N=33，要求线性相位。解：N为奇数(j sh)，设计LPDF，此低通滤波器为第一类线性相位滤波器。即 h(n)=h(N-1-n)， 幅频特性关于偶对称，也即 Hk 偶对称。

23、 利用 Hk 的对称性,求2区间的频响采样值。共一百二十三页共一百二十三页共一百二十三页 共一百二十三页共一百二十三页共一百二十三页N=65;k=0:(N-1)/2;Wm=2*pi*k./N;Ad(1:(N+1)/2)=1;Ad(18)=0.5886;Ad(19)=0.1065;Ad(20:33)=0;Hd=Ad.*exp(-j*0.5*(N-1)*Wm);Hd=Hd conj(fliplr( Hd(2:(N+1)/2) ) );h=real(ifft(Hd);w=linspace(0,pi-0.1,1000);H=freqz(h,1,w);plot(w/pi,20*log10(abs(H);

24、grid;共一百二十三页共一百二十三页小结(xioji)：频率采样设计法优点：直接从频域进行设计，物理概念(ginin)清楚，直观方便；适合于窄带滤波器设计，这时频率响应只有少数几个非零值。缺点：截止频率难以控制。 因频率取样点都局限在2/N的整数倍点上，所以在指定通带和阻带截止频率时，这种方法受到限制，比较死板。充分加大N，可以接近任何给定的频率，但计算量和复杂性增加。共一百二十三页4.4 FIR数字(shz)滤波器的最优化设计 最优化设计的前提是最优准则的确定(qudng)，在FIR滤波器最优化设计中，常用的准则有 均方误差最小准则 最大误差最小化准则。共一百二十三页1)均方误差最小化准则

25、， 若以E(ej)表示(biosh)逼近误差，则均方误差(wch)为共一百二十三页根据(gnj)Parseval定理所以，矩形窗窗口(chungku)设计法是一个最小均方误差FIR设计，根据前面的讨论，我们知道其优点是过渡带较窄，缺点是局部点误差大,或者说误差分布不均匀。共一百二十三页2)最大误差最小化准则（也叫最佳(zu ji)一致逼近准则）其中F是根据要求预先给定的一个频率(pnl)取值范围，可以是通带，也可以是阻带。最佳一致逼近即选择N个频率采样值 （ 或时域 h(n) 值 ），在给定频带范围内使频响的最大逼近误差达到最小。也叫等波纹逼近。优点：可保证局部频率点的性能也是最优的，误差分布

26、均匀，相同指标下，可用最少的阶数达到最佳化。共一百二十三页 例如，我们提到的频率采样最优化设计，它是从已知的采样点数N、预定的一组频率取样和已知的一组可变的频率取样（即过渡带取样）出发，利用迭代法（或解析法）得到具有最小的阻带最大逼近误差（即最大的阻带最小衰减）的FIR滤波器。但它只是通过改变过渡带的一个或几个(j )采样值来调整滤波器特性。如果所有频率采样值（或FIR时域序列h(m)）都可调整，显然，滤波器的性能可得到进一步提高。 共一百二十三页4.4.1 非线性最优化为了(wi le)简化分析，假定滤波器的单位脉冲响应为对称于n=0的单位脉冲响应，且N为奇数。令N=2M+1共一百二十三页低

27、通滤波器的误差分配共一百二十三页切比雪夫最佳一致逼近 如图，用等波纹逼近法设计滤波器需要确定五个参数： M、c、r、1、2按上图所示的误差容限设计低通滤波器，就是说要在通带 0 p 内以最大误差 1 逼近1，在阻带r 内 以最大误差2逼近零。 要同时(tngsh)确定上述五个参数较困难。常用的两种逼近方法： 1）给定M、1、2，以c和r为变量。 缺点：边界频率不能精确确定。 2）给定M、c和r，以1和2为变量，通过迭代运算 ，使逼近误差1和2 最小，并确定h(n)切比雪 夫最佳一致逼近。 特点：能准确地指定通带和阻带边界频率。共一百二十三页等波动逼近的低通滤波器cr共一百二十三页一.误差(wc

28、h)函数 定义逼近误差函数： 为所设计的滤波器与理想滤波器的幅频特性在通带和阻带内的误差值， 是已知的权函数，在不同频带(pndi)可取不同的值， 所要设计的滤波器的幅频特性 理想滤波器的幅频特性共一百二十三页例如，希望在固定 M, c, r 的情况(qngkung)下逼近一个低通滤波器，这时有对于(duy)表4.1中的第一种滤波器，共一百二十三页于是(ysh)切比雪夫逼近问题变为，寻求(xnqi)一组系数 使逼近误差的最大值达到最小，即 给定后等效于求 最小。共一百二十三页二.交替定理（最佳逼近定理） 令F表示闭区间 的任意闭子集，为了使 在 F 上唯一最佳地逼近于 ,其充分必要条件是误差函

29、数 在 F 上至少应有（M+2）次“交替”， 即其中 ，且 属于F。 1） 至少有 M+2 个极值，且极值正负相间(xingjin)，具有等波纹的性质 ， 2）由于 是常数，所以 的极值也就是 的极值。共一百二十三页 借助于低通滤波器的设计，可以直观地解释这个定理。这时，闭子集F包括区间 和 。因为滤波器频响 是逐段恒定的，所以对应于误差函数 各峰值点的频率 同样也对应于 恰好满足误差容限时的频率。 根据前面(qin mian)的讨论， 在开区间 内至多有M-1个极值，此外，根据通带和阻带的定义，令 的约束条件为 ，再加上 和处的极值，误差(wch)曲线最多有M+1个极值频率（交替）满足定理。共一百二十三页逼近方法：固定 k、M、 和 ，以 作为参变量。按照交替定理，如果 F 上的M+2个极值点频率(pnl) 已知，则由（1）式可得到 M+2 个方程：为极值点频率(pnl)对应的误差函数值共一百二十三页 注意：极值(j zh)点频率必须位于 和区间内。由于 和 固定，因而 和 必为这些极值频率中的一个，设 ，则应有 求解上述方程组可得到全部系数问题：1）实际情况下，M+2 个极值点频率未知； 2）直接求解上述非线性方程组比较