利用空间向量解决立体几何的向量2

1、空间向量在立体几何中的应用5 前段时间我们研究了用空间向量求角(包括线线角、线面角和面面角)、求距离(包括线线距离、点面距离、线面距离和面面距离) 今天我来研究如何利用空间向量来解决立体几何中的有关证明及计算问题。 一、 用空间向量处理“平行”问题 RDBCAA1QPNMD1C1B1例1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P、Q分别是A1B1和BC上的动点，且A1P=BQ，M是AB1的中点，N是PQ的中点. 求证： MN平面AC.（）M是中点，N是中点 MNRQ MN平面ACDBCAA1QPNMD1C1B1法（）作PP1AB于P1，作MM1 AB于M1，连结QP1， 作NN1 QP1于N1

2、，连结M1N1N1M1P1NN1PP1 MM1AA1又NN1、MM1均等于边长的一半故MM1N1N是平行四边形，故MNM1N1MN平面ACDBCAA1QPNMD1C1B1zyxo证明：建立如图所示的空间直角坐标系o-xyz设正方形边长为2，又A1P=BQ=2x则P(2，2x，2)、Q(2-2x，2，0) 故N(2-x, 1+x, 1),而M(2, 1, 1)所以向量 (-x, x, 0)，又平面AC的法向量为 (0, 0, 1)， 又M不在平面AC 内，所以MN平面ACDCBAD1C1B1A1例2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求证： 平面A1BD平面CB1D1(1)平行四边形A1BC

3、D1 A1BD1C平行四边形DBB1D1 B1D1BD于是平面A1BD平面CB1D1DCBAD1C1B1A1ozyx(2)证明：建立如图所示的空间直角坐标系o-xyz设正方形边长为1，则向量设平面BDA1的法向量为则有x+z=0 x+y=0令x=1,则得方程组的解为x=1 y=-1 z=-1故平面BDA1的法向量为同理可得平面CB1D1的法向量为则显然有即得两平面BDA1和CB1D1的法向量平行所以 平面BDA1CB1D1DCBAD1C1B1A1ozyxDCBAD1C1B1A1FGHE例3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是A1B1、B1C1、C1D1、D1A1的中点.

4、 求证： 平面AEH平面BDGFADGF，AD=GF又EHB1D1，GFB1D1 EHGF平行四边形ADGE AEDG 故得平面AEH平面BDGFDCBAD1C1B1A1HGFEozyx略证：建立如图所示的空间直角坐标系o-xyz则求得平面AEF的法向量为求得平面BDGH的法向量为显然有故 平面AEH平面BDGF 二、 用空间向量处理“垂直”问题 二、 用空间向量处理“垂直”问题 DACBBCDAFEXYZ例4练习1证明: 分别以 为坐标向量建立空间直角坐标系 例6：如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1/3=a，E、F分别是BB1、CC1上的点，且BE=a，CF=2a 。 求证

5、: 面AEF面ACF。AFEC1B1A1CBxzy不防设 a =2，则A（0，0，0），B（3 ，1，0）C（0，2，0），E（ 3，1，2） F（0，2，4），AE=（ 3，1，2）AF=（0，2，4），因为，x轴面ACF 所以 可取面ACF的法向量为m=（1，0，0），设n=（x,y,z)是面AEF的法向量，则AFEC1B1A1CBzyxnAE=3x+y+2z=0nAF=2y+4z=0 x=0y= -2z令z=1得, n=（0，-2，1）显然有m n=0，即，mn面AEF面ACF证明：如图，建立空间直角坐标系A-xyz ，ADCB求证：平面MNC平面PBC；已知ABCD是矩形，PD平面AB

6、CD，PDDCa，AD ，M、N分别是AD、PB的中点。PMN练习2小结： 利用向量的有关知识解决一些立体几何的问题，是近年来很“热”的话题，其原因是它把有关的“证明”转化为“程序化的计算” 。本课时讲的内容是立体几何中的证明“线面平行、垂直”的一些例子，结合我们以前讲述立体几何的其他问题(如：求角、求距离等)，大家从中可以进一步看出基中一些解题的“套路”。 利用向量解题 的关键是建立适当的空间直角坐标系及写出有关点的坐标。 用代数的方法解决立体几何问题是立体几何的发展趋势，而向量是用代数的方法解决立体几何问题的主要工具，故学会用向量法解立体几何问题是学好立体几何的基础。 ; ; orz25m

7、sr ;再做几个菜，把米饭也热一热。对啦，再做一大锅西红柿鸡蛋挂面汤吧，他们三个辛苦赶路，一定饥渴了。”说着话，就要起身。小青赶快强打精神站起来，对乔氏说：“姆妈，你歇着吧，我知道弟弟妹妹们喜欢吃什么！”耿直把软皮箱靠墙边上放了，拉过小东伢来，从上到下看了两遍后，惊喜地说：“小东伢，你几岁了？”小东伢没有说话，只是举起一个巴掌轮流动动手指头。耿直说：“五岁啦？好伢子，你活脱脱就是一个小块头的东伢子啊！”小家伙却瞪着一双黑眼珠说：“你们大人都光顾自己的事情，一会儿哭一会儿笑的，我还不知道应该怎么叫你们呢！”东伢子和耿正这个时候正好进来了。东伢子说：“爹这就告诉你，这个是大舅爷，这个是二舅爷，这个

8、是姨姨！”小家伙忽闪着一对大眼睛看过每一个人后，问乔氏：“婆婆，是真的吗？”乔氏点点头说：“是真的！”小东伢立马就高兴地笑了，大声嚷着：“噢，我终于有舅爷和姨姨嘞！以前都是别人有，就我没有。现在我也有啦！”随后就扑上来挨着个儿叫，大家的脸上终于露出了笑容。想着耿大哥的事情还没有问清楚，乔氏含着笑的眼里又流下了心酸的泪水。耿正赶快过来拉起乔氏的手，东伢子递来一块干毛巾，耿正接过来替乔氏擦去满脸的泪水，轻轻地说：“娘娘，你莫要伤心着急，先知道我爹早已经不在人世就行了。等一会儿咱们吃完了饭，我慢慢说给您听好吗？”乔氏听话地点点头，轻轻地说：“好的，吃了饭再告诉我吧。”午饭都做好和重新热好了，大家围坐

9、在圆桌边上吃饭。虽然刚刚经历了久别重逢的大喜和大悲，但耿正兄妹三人对这顿味道熟悉的饭菜还是吃得非常香甜。45第九十七回 祭“灵车”激走抢劫贼|（上善若水扬美德，厚德载物展胸襟；民间多少感人事，何惧恶人起祸端。）大家坐在一起高高兴兴地吃完午饭，耿大业招呼两个伙计过来把面盆儿碗碟什么的都拾掇到大厨房里去洗刷，自己和妻儿依然随意坐了和耿正兄妹三个继续聊天儿。聊了一会儿以后，耿正看看天色尚早，就对耿大业夫妇说：“大白骡好脚力，今儿个再走三十里路没有问题的。我们着急回老家去呢，咱们就此告辞吧！”耿大嫂不依，说：“知道你们急着回老家去。但说什么也得住一晚上啊，我们还有很多话没有说呢！”耿大业也说：“你们看，这大厅的两边各有一大间卧房呢，大床小床的宽敞得很。我和两位兄弟睡一边，