解三角形的实际应用举例

1、高度角度距离有关三角形计算高度和角度的测量 执教者：湘潭县二中 潘碧玲问题1：现实生活中,人们是怎样测量底部不可到达的建筑物的高度呢？又怎样在水平飞行的飞机上测量飞机下方山顶的海拔高度呢？今天我们就来共同探讨这些方面的问题。问题2：在实际的航海生活中,人们也会遇到如下的问题：在浩瀚的海面上如何确保轮船不迷失方向，保持一定的航速和航向呢？情境引入解应用题中的几个角的概念1、仰角、俯角的概念：在测量时，视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫做俯角。如图：2、方向角：指定方向线与目标方向线所成的小于90的水平角，如图： 3、方位角：正北方向线顺时针方向到目标方向线的夹

2、角。概念引入典例分析一 -高度问题例题讲解例1(1)：AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法。图中给出了怎样的一个几何图形？已知什么，求什么？想一想例1(1)： AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法分析：由于建筑物的底部B是不可到达的，所以不能直接测量出建筑物的高。由解直角三角形的知识，只要能测出一点C到建筑物的顶部A的距离CA,并测出由点C观察A的仰角，就可以计算出建筑物的高。所以应该设法借助解三角形的知识测出CA的长。BEAGHDC解：选择一条水平基线HG,使H,G,B三点在同一条直线上。由在

3、H,G两点用测角仪器测得A的仰角分别是，CD=a,测角仪器的高是h.那么,在 三角形 ACD 中，根据正弦定理可得例1(1)：AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法BEAGHDC例1（2）：一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧远处一山顶D在西偏北15的方向上，行驶5km后到达B处，测得此山顶在西偏北25的方向上，仰角为8，求此山的高度CD.分析：要测出高CD,只要测出高所在的直角三角形的另一条直角边或斜边的长。根据已知条件，可以计算出BC的长。DCB2515A8例1（2）：一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公

4、路北侧远处一山顶D在西偏北15的方向上，行驶5km后到达B处，测得此山顶在西偏北25的方向上，仰角为8，求此山的高度CD.解：在ABC中，A=15, C=25-15=10.根据正弦定理，CD=BCtanDBCBCtan81047(m)答：山的高度约为1047米。1、分析：理解题意，画出示意图2、建模：把已知量与求解量集中在一个三角形中3、求解：运用正弦定理和余弦定理，有顺序地解这些三角形（先解有已知边的三角形），求得数学模型的解。4、检验：检验所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解。 数学建模就是根据实际问题来建立数学模型，对数学模型来进行求解，然后根据结果去解决实际问题。解应用题的一

5、般步骤是：知识点小结实际问题抽象概括示意图数学模型推理演算数学模型的解实际问题的解还原说明解应用题的基本思路（数学建模）经纬仪，测量水平角和竖直角的仪器。是根据测角原理设计的。目前最常用的是光学经纬仪。光学经纬仪钢卷尺跟踪训练1：如图所示，A、B是水平面上的两个点，相距800 m，在A点测得山顶C的仰角为45，BAD120，又在B点测得ABD45，其中D点是点C 到水平面的垂足，求山高CD.由于CD平面ABD，CAD45，所以CDAD.因此只需在ABD中求出AD即可，在ABD中，BDA1804512015，典例分析二 -角度问题例2：如图，某巡逻艇在A处发现北偏东450相距9海里的C处有一艘走

6、私船，正沿南偏东750的方向以10海里/小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以14海里/小时的速度沿着直线方向追去，问巡逻艇应该沿什么方向去追？需要多少时间才追赶上该走私船？答：巡逻艇应该沿北偏东830方向去追，经过1.5小时才追赶上该走私船.跟踪训练2：甲船在A点发现乙船在北偏东60的B处，乙船以每小时a海里的速度向北行驶，已知甲船的速度是每小时 海里，问甲船应沿着什么方向前进，才能最快与乙船相遇？解：如图所示设经过t小时两船在C点相遇，则在ABC中，BCat(海里)，0CAB90，CAB30，DAC603030，甲船应沿着北偏东30的方向前进，才能最快与乙船相遇课时作业1231:甲、乙两楼相

7、距20米，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30，则甲、乙两楼的高分别是_. 2：我舰在敌岛A南偏西50相距12海里的B处，发现敌舰正由岛沿北偏西10的方向以10海里/小时的速度航行问我舰需以多大速度、沿什么方向航行才能用2小时追上敌舰？ 解：如图，在ABC中由余弦定理得： 我舰的追击速度为14海里/小时，又在ABC中由正弦定理得：故我舰航行的方向为北偏东3:如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60，再由点C沿北偏东15方向走10 m到位置D，测得BDC45，则塔AB的高是 在BCD中，CD10 m，BDC45，BCD1590105，DBC30，由正弦定理，4：江岸边有一炮台高30 m，江