椭圆概念新说

1、椭圆概念新说管贤根椭圆的图形特征是：具有两条对称轴，长和宽两个特征参数的规范标准闭合 曲线。（规范标准闭合曲线，系指没有扩张和收缩弧段的闭合曲线 ）。符合椭圆图形特征，具有形成规律的规范标准闭合曲线图形称为标准椭圆； 符合椭圆图形特征，没有形成规律的规范标准闭合曲线图形称为任意椭圆；符合 椭圆图形特征，具有形成规律，非规范标准闭合曲线图形称为椭圆形曲线。根据对具有两条对称轴的规范标准闭合曲线的图形分析，线形两焦点和棱形 四焦点是两种类型的标准椭圆，见图 1。1两焦点椭圆2棱形四焦点椭圆图1标准椭圆示意图1两焦点椭圆两焦点椭圆是由圆锥曲线理论确立的内在规律， 定义是：平面内，与两个定 点间的距离

2、和为常数（常数大于两个定点间的距离）的点的轨迹为椭圆。两个 定点叫做焦点，焦点间的距离叫做焦距。如果对上述定义进行简装改造，以多焦点圆方法定义两焦点椭圆，就能使椭 圆定义扩展，得到全新的椭圆概念。两焦点椭圆定义：平面内，与已知AD线段间形成的环线长（L）为常数的 点的轨迹为椭圆。线段的两个端点叫做焦点，焦点间距离以焦点环线长（L o） 表示，线段是椭圆的基本属性。两种定义的椭圆图形是一致的（见图 1两焦点椭圆），只是参数不同。环线长L =FD FA AD =2a - 2c （a：长半轴、C：焦距），焦点环线长L =2AD =4c。两种定义的参数关系式：a=2LL、C二三。多焦点圆定义中424包

3、含焦距，焦距为线段，是焦点环线的形状。焦点环线为线段和多边形同样具有两种属性：（1）计量属性，线段可测量和 计算，能够对椭圆进行具体分析。（2）图形属性，线段是几何图形，能够利用焦 点环线的变形，衍生出各种不同的图形。标准椭圆能够根据形成原理建立参数与特征参数关系，对图形进行具体分析。1.1参数与特征参数关系设k为环线长与焦点环线长比值。k二Lo(1.1)对称轴 h / Lo 二 2k -1 Lo2 2(1.2)宽:：=l2 -L Lo Vk2 -k Lo(1.3)1.2周长椭圆周长没有初等函数表达式，根据椭圆积分理论，椭圆周长（C）的无穷级数计算公式，与其他近似式相比是精确度相对较高的计算式

4、。级数表达式 1: C = a b 二 1 f，I（ 1.4）其中：k_L、长半轴 a=2LL。/1 l0、焦距 C= L_L0444o02 短半轴 b_ L L L。_ .kk1 l 2 2则：a b 二 口2 3 .Lo、 TOC o 1-5 h z 2k12 七kfk1)；a b 二Lo ；4246810.25，49，f. 0 464 256 16384 65536(1.5)则椭圆周长的无穷级数公式1为：c =2k 一2 k k L0 二1 f 4（1.5）式表明，周长与参数k L、L相关，是多焦点圆定义下两焦点椭圆周 长无穷级数计算公式。1.3图形特征参数（G）椭圆的图形特征参数是指周

5、长与焦点环线长比值，表达式:G C椭圆周长 0(1.6)L0将（1.5）式代入（1.6）式得:G 竺=2k“ 2 k k -1 二.f（1.7）L04（1.7）式表明：G为无单位量；相同G值的椭圆是相似椭圆，其扁率、离心率 相等；G与k相关也，当k为定值，G也为定值。因此，（1.6）、（ 1.7）两式建立 了 k为定值时周长与焦点环线长之间的等式关系。椭圆的这一性质，在多焦点圆的参数模拟计算中起到重要作用。14极值定式以长半轴为a、短半轴为b、焦距为2c的标准椭圆旋转角度为a，OQ =c Si、AO =c con a，极大点坐标为T （ U、V），见示意图2。则其极值为定式为:V2 二b2 O

6、Q2V = b2O1O 2(1.8)U V =O1O AOO1O AO(1.9)2椭圆极值示意图证明：设椭圆的标准方程为:2X12a2皆1，旋转角度为八曲，罟、con罟通过旋转得到旋转后的椭圆方程：X2 b2 OQ2 _2x y O1O AO y2 b2 AO2 -a2b2 =0（1.10）由（1.10）式，应用一元二次方程求极大点 T的坐标。根据求根公式:(1.11)x_2y OQ AO J(_2y OQ AO j _42 +OQ2 卜心2 十人。2 卜a2b2 】 X =2 b2 OQ2令厶=0，则:4y2 O1O2AO2-4y2 b2O1O2b2AO24a2b2 b2OQ2=0( 1.1

7、2)化简得：yb2 O1O2则： y = . b2 OQ2（ 1.13）将（3.2）式代入（3.0）式，令厶=0，则：x=-1。A。-（ 1.14）Jb2 +OO2因此：xy=QOAO（1.15）/（1.13）、（ 1.15）两式为椭圆的极值定式，极大点坐标T pQ AO、b2+O1O2 少2 +OQ2极为方便地求解极值和极值点坐标。多焦点圆的方法完全适合对两焦点椭圆的图形分析，并能使椭圆的定义扩 展，使椭圆和多焦点圆统一起来。2棱形四焦点椭圆棱形四焦点椭圆是通过多焦点圆的方法获得的一种新的标准椭圆类型，是两焦点椭圆定义的扩展。方法是将两焦点椭圆的焦点闭合线段的中点拉开距离为 BC,形成焦点环

8、线形状为棱形，见图1 2。棱形四焦点椭圆的定义为：与棱形焦点四边形形成的环线长为常数的点的轨 迹，称做棱形四焦点椭圆。棱形是棱形四焦点椭圆的基本属性。2.1棱形四焦点椭圆图3棱形四焦点椭圆曲线示意图根据定义作棱形四焦点椭圆曲线和各条边的延长线与圆周曲线相交示意图，见图3。棱形四焦点椭圆是由六个椭圆的八段椭圆弧，通过对称内切连接，形成规范标准的组合曲线图形。（参阅文库椭圆组合曲线和图形）因此，棱形四焦点圆，具有椭圆基本特征，符合多焦点圆形成原理，是标准椭圆的一种新的类型。棱形四焦点椭圆属于分段函数，根据参数各段均可建立椭圆方程。（说明：长方形和六边形的焦点多边形椭圆曲线，不是规范标准曲线）2.2

9、棱形四焦点椭圆的参数关系图4为棱形四焦点椭圆示意图，已知 ABDC为棱形四边形、边长AB-：。4设椭圆的长轴为长（H）,短轴为宽（），贝长：H . 2L - B2C二 L_； 一 2 L曲(2.1)(2.2)2L _Lo - AB2 _B02 二 L2 - LLo BC2 二.2 -丄。2 BC2解出（2.2）式 BC: BC - G2 LLo -L2 二：.：2 一L20（2.3）则：AD = .2AB2-BC2（2.4）图4棱形四焦点椭圆示意图根据上述关系式，即可进行相关分析和参数计算。2.3棱形四焦点椭圆的图形特征表1 相同长和宽的椭圆参数编号长宽L0KLBCADAB1108121.33

10、33160632108141.237117.31992.54956.51923.53108161.167318.67713.74177.071144108181.114920.0684.74347.64854.55108201.074521.48915.65698.246256108221.042622.93736.51928.865.57108241.017124.40977.34859.48686810825.6125125.61258106.4031242图5相同参数不同形状棱形四焦点椭圆示意图棱形焦点多边形具有量和形变化，焦点环线取值范围：2 H2 ：2注。乞2 H2门2 o以长为10、宽为8的椭圆为例，焦点环线的取值范围是 12 Lo 25.6125,分别取：12、14、16、18、20、22、24 和 25.6125 不同数值。应用（2.1） （ 2.4）式计算，得出相同特征参数（长和宽）不同 Lo 值椭圆的对应k值以及相关参数，见表1。根据表1参数，作出对应的棱形四焦 点椭圆图形，见图5o图5说明，棱形四焦点椭圆是