差分形式的阻滞增长模型

1、差分方程模型-差分形式的阻滞增长模型1前面我们介绍了人口数量增长的阻滞型模型:它还可以用来近似描述其他受环境约束的事物的增长规律,如:种群数量的增长,传染病的传播,耐用消费品在有限市场上的销售等.此模型的意义是:在t时刻单位时间内的人口数量的变化量仅仅与此时的人口数量x有关(等于右边的值),其中的r表示人口的固有增长率,N表示能容纳的最大人口数.2有时我们将时间离散化来研究可能方便些.例如:有些生物(比如鱼)每年在固定的时间繁殖,我们用繁殖周期作为时段来研究其增长规律比我们简单地以连续时间处理应该更好些.我们类似认为:经过 单位时间，即一个繁殖周期的种群数量的增长量仅仅与前一个时期的种群数量有

2、关,且有类似于上面的表达式.于是模型为3即这是一个一阶非线性差分方程.对于给定的初值,我们可以从这个递推公式运用计算机很容易地计算出一些xk.这是在计算机出现以后的一个新的特点.但是我们更关心的是当时间趋于无穷时,即k趋于无穷时, xk的极限如何.4数值计算bk0123456781.20.2.192.186.182.179.176.174.172.1711.80.2.288.369.419.438.443.444.4444.44442.40.3.504.600.576.586.582.584.5831.58342.80.2.448.692.597.6737.6155.6626.6260.655

3、53.20.3.672.705.6655.7123.6558.7223.6418.7357bk910111213141516171.2.170.169.1685.168.1677.1675.1673.1672.16711.8.4444.4444.4444.4444.4444.4444.4444.4444.44442.4.5833.58335.58333.58333.58333.58333.58333.58333.583332.8.6323.6510.6362.6481.6386.6462.6402.6450.64113.2.6222.7522.5965.7702.5664.7859.5384.

4、7953.5210归纳看到的现象5平衡点及其稳定性我们很容易求得差分方程(2)的平衡点为0和(b-1)/b.它们分别对应于差分方程(1)的平衡点0和N.我们将这个差分方程(2)在平衡点附近展开,有注意到b=1+r1,平衡点0是不稳定的.略去高阶项得6因此当|2-b|1即 b3时,平衡点x*是不稳定的.注:由于b=r+1,结论表明只有r2时y*=N才是差分方程(1)的平衡点;这与微分方程不同,微分方程中y=N是稳定的平衡点(没有条件).事情至此好像结束了.当然,我们还可以进一步判断稳定的平衡点是否为全局稳定的.但是,数值计算表明,对于有些b值,平衡点不稳定,但是xk好象在某几个值附近循环摆动.我

5、们只需要用计算器多迭代计算几次即可.7倍周期收敛当b3时,平衡点x*是不稳定的.如果序列xk存在两个收敛的子列我们就称之为2倍周期收敛.我们称之为单周期收敛.一般地,我们记(2)式为所谓2倍周期收敛的点就是(4)式的平衡点:即满足8本例(2)的平衡点为0和(b-1)/b.仍然满足上式,现在我们求的是另外两个根:或9故故这两个平衡点具有相同的稳定性.且结论:10这个结论表明:这个生物种群离散阻滞型模型,当2r2.449时,如果从单代(一个繁殖周期)的角度来看,其数量是不稳定的;但是如果从隔代的角度来看,其数量是稳定的.这就是我们为什么说它是2倍周期收敛的原因.如:当b=3.2时,两个2倍周期平衡

6、点为0.513,0.79945. 如:当b=3.45时,4倍周期平衡点为0.4474,0.8530,0.4327,0.8469.11类似地,我们可以对模型(2)继续讨论其2n倍周期收敛问题,其收敛性完全由参数b的取值确定.记bn为2n倍周期收敛的上限,计算表明:b0=3,b1=3.449,b2=3.544, b3=3.564,b4=3.569,b5=3.5697,b6=3.5699,Feigenbaum常数.33.63.312混沌现象的一个显著特征是对初值依赖的极度敏感.如:当b=3.7时,对两个初值x0=0.2,x01=0.20001,迭代100次后我们发现前者的新值为0.4814,而后者的新值为0.2572,迭代200次后分别为0.7535,0.7022相差很大.这就是所谓的“蝴蝶效应”.另外,在混沌区,bb4,也并非都是乱成一片,有时候会有其他的周期收敛:如b=3.83时,呈3倍周期收敛, (0.1561493,0.5046665,0.9574166),b=3.84时,也呈3倍周期收敛(0.149406