2017西安交大版+东南大学复变函数与积分变换复习提纲

1、复变函数复习重点（一）复数的概念复数的概念：z二x+iy,x,y是实数，x=Re（z）,y=Im（z）.i2=-1.注：一般两个复数不比较大小，但其模（为实数）有大小复数的表示1）模：|z|=x2+y2；2）幅角：在z丰0时，矢量与x轴正向的夹角，记为Arg（z）（多值函数）；主值arg（z）是位于（-兀,兀中的幅角。3）arg(z)与arctan-之间的关系如下:xy当x0,argz=arctan；xy当x0,0,argz=arctan+兀xyy0,argz=arctan一兀x4）三角表示：z=|z|（cos9+isin9），其中9=argz；注：中间一定是“+”号。5）指数表示：z=|z|

2、ei9，其中9=argz。（二）复数的运算1加减法：若z1=x1+iy1，z2=x2+iy2，则z土z2=(x土x)+i(y1土yJ乘除法:1)若z1=x1+iy1，z2=x2+叫，则zz=(xx-yy)+i(xy+xy)；1212122112zx+iy(x+iy)(1=14=(1zx+iy井2222xI22x+y,y.=1_21+2iy2+x2y222-xyo22+x22x1y22)若z=ze,z=z1122zz=12z1z2ei(91+92）；3.乘幕与方根 若z=|z|(cosO+isin0)=|z|ei9，则zn=|z|n(cosn0+isinn0)=|z|n。若z=|z|(cos0+

3、isin0)=|z|ei，贝y(0+2k兀cosIn.0+2k兀)+1sin(k=0,1,2n-1)(有n个相异的值)（三）复变函数1.复变函数：w=f（z）,在几何上可以看作把z平面上的一个点集D变到w平面上的一个点集G的映射.复初等函数1）指数函数：ez=ex（cosy+isiny）,在z平面处处可导，处处解析；且（ez）=e。注：ez是以2兀i为周期的周期函数。（注意与实函数不同）3）对数函数：Lnz=ln|z|+i（argz+2加）（k=0,1,2）（多值函数）;主值：Inz=lnz|+iargz。（单值函数）Lnz的每一个主值分支lnz在除去原点及负实轴的z平面内处处解析，且（lnz

4、）=-；z注：负复数也有对数存在。（与实函数不同）3)乘幕与幕函数：ab=ebLna(a丰0)；zb=ebLnz(z丰0)注：在除去原点及负实轴的z平面内处处解析，且=bzb-1。亠“.eiz一e-izeiz+e-izsinzcosz4)三角函数：sinz=,cosz=,tgz=,ctgz=2i2coszsinzsinz,cosz在z平面内解析,且(sinz=cosz,一sinz注：有界性|sinz|1,|cosz1不再成立；（与实函数不同）4）双曲函数shz=eze-z2ez+e-z2shz奇函数,chz是偶函数。shz,chz在z平面内解析,且(shz)=chz,(chz)=shz（四）解

5、析函数的概念1复变函数的导数小(、.f(z+Az)f(z)点可导：f(z0)=lim0；00Az区域可导：f(z)在区域内点点可导。解析函数的概念点解析：f(z)在z及其z的邻域内可导，称f(z)在z点解析；000区域解析：f(z)在区域内每一点解析，称f(z)在区域内解析；若f(z)在2点不解析，称z为f(z)的奇点；00解析函数的运算法则：解析函数的和、差、积、商(除分母为零的点)仍为解析函数；解析函数的复合函数仍为解析函数;(五)函数可导与解析的充要条件1.函数可导的充要条件：f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在z二x+iy可导ou(x，y)和v(x，y)在(x，y)可微，且在(x，

6、y)处满足C-D条件：=亍,=dxdydydx此时，有fQ罟+i?。dxdx2.函数解析的充要条件：f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域内解析ou(x,y)和v(x,y)在(x,y)在D内可微，且满足C-D条件：f=J,dxdydudvdx()du.dv此时f(z)=+1二dxdx注意：若u(x,y),v(x,y)在区域D具有一阶连续偏导数，则u(x,y),v(x,y)在区域D内是可微的。因此在使用充要条件证明时，只要能说明u,v具有一阶连续偏导且满足C-R条件时，函数f(z)=u+iv一定是可导或解析的。函数可导与解析的判别方法变形而改变它的值，只要在变形过程中c不经过使f(z)不解

7、析的奇点。变形而改变它的值，只要在变形过程中c不经过使f(z)不解析的奇点。1)利用定义(题目要求用定义，如第二章习题1) 利用充要条件(函数以f(z)=u(x,y)+iv(x,y)形式给出，如第二章习题2)利用可导或解析函数的四则运算定理。(函数f(z)是以z的形式给出，如第二章习题3)(六)复变函数积分的概念与性质1.复变函数积分的概念：Jf(z)dz=lim工f(g)z，c是光滑曲线。kkc.k=1注：复变函数的积分实际是复平面上的线积分。2.复变函数积分的性质1)2)Jf(z)dz=-Jf(z)dzcc-1Jaf(z)+0g(z)dz=aJf(z)dz+Jg(z)dz,a,0是常数;c

8、cc(C-1与c的方向相反);3)若曲线C由c与c连接而成，则Jf(z)dz=Jf(z)dz+Jf(z)dz。12ccic23.复变函数积分的一般计算法1.2.3.化为线积分：Jf(z)dz=Judx-vdy+iJvdx+udy；(常用于理论证明)ccc参数方法：设曲线c:z=z(t)(at5卩)，其中a对应曲线c的起点，0对应曲线c的终点,则Jf(z)dz=J0fz(t)z(t)dtoca(七)关于复变函数积分的重要定理与结论柯西一古萨基本定理：设f(z)在单连域B内解析，c为B内任一闭曲线，则ljf(z)dz=0c复合闭路定理：设f(z)在多连域D内解析，c为D内任意一条简单闭曲线，c,c

9、，c是c12n内的简单闭曲线，它们互不包含互不相交，并且以ci，c2cn为边界的区域全含于D内，则lJf(z)dz=工iff(z)dz,其中c与c均取正向；kck=1cff(z)dz=0，其中r由c及c-i(k=1,2,n)所组成的复合闭路。r闭路变形原理：一个在区域D内的解析函数f(z)沿闭曲线c的积分，不因c在D内作连续4.解析函数沿非闭曲线的积分：设f(z)在单连域B内解析，G(z)为f(z)在B内的一个原函数,则J勺f(zz二G(z)-G(z)21zi说明：解析函数f(z)沿非闭曲线的积分与积分路径无关，计算时只要求出原函数即可。5。柯西积分公式：设f(z)在区域D内解析，c为D内任一

10、正向简单闭曲线，c的内部完全属于D,z为c内任意一点，则0cz-z006.高阶导数公式：解析函数f(z)的导数仍为解析函数，它的n阶导数为tfdz二f(n)(z)(n二1,2)c(zz)n+1n!00其中c为f(z)的解析区域D内围绕z的任何一条正向简单闭曲线，而且它的内部完全属于Do07.重要结论:f一1-dz二(za)n+1c2兀i,0,n二0n丰0。(c是包含a的任意正向简单闭曲线)8.复变函数积分的计算方法1)若f(z)在区域D内处处不解析，用一般积分法Jf(z)dz卩fz(t力z(t)dtca2)设f(z)在区域D内解析,c是D内一条正向简单闭曲线，则由柯西一古萨定理,ljf(z)d

11、z=0cc是D内的一条非闭曲线，z,z对应曲线c的起点和终点，则有12Jf(z)dz勺f(z)dz二F(z)F(z)21TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark64 o Current Document cz13)设f(z)在区域D内不解析巾dz=2兀if(z) HYPERLINK l bookmark100 o Current Document zz0曲线c内仅有一个奇点：r()(f(z)在c内解析)f(z)dz=竺f(n)(z)v0曲线c内有多于一个奇点：ff(z)dz二工ff(z)dzikck=1c HYPERLINK l bookmark40 o Curre

12、nt Document c(zz-n+1n!03）不定积分法：若已知实部u=u（x,y），根据解析函数的导数公式和C-R条件得知, 或：Jf(z)dz二2兀i工Resf(z),z(留数基本定理)kk=1f(z)若被积函数不能表示成，则须改用第五章留数定理来计算。(Zz)n+1o(八)解析函数与调和函数的关系d2Qd2Q调和函数的概念：若二元实函数9(X,y)在D内有二阶连续偏导数且满足+=0,dx2dy29(x,y)为D内的调和函数。解析函数与调和函数的关系解析函数f(z)=u+iv的实部u与虚部v都是调和函数，并称虚部V为实部u的共轭调和函数。两个调和函数u与v构成的函数f(z)=u+iv不

13、一定是解析函数；但是若u,V如果满足柯西一黎曼方程，则u+iv一定是解析函数。3.1)已知解析函数f(z)的实部或虚部，求解析函数f(z)=u+iv的方法。OvOv偏微分法：若已知实部u=u(x，y丿，利用CR条件，得亍，亍;OxOyOvOuf对鬲=ox两边积分，得v=J|dy+g(x)Ox(*)再对(*)式两边对x求偏导,得竺OxOx得Ou=OyOx，衍Oy由CR条件，叟=OvOOxv+g(x)(*)+g(x)，可求出g(x)；代入(*)式，可求得虚部v=iOudy+g(x)OxOv,Ov,Ou,Ou,2)线积分法：若已知实部u=u(x,y丿，利用CR条件可得dv=dx+dy=dx+dy，O

14、xOyOyOxf仃、,)Ou,Ou,故虚部为v=J(,y丿dx+dy+c；(x0,y0)OyOx由于该积分与路径无关，可选取简单路径(如折线)计算它，其中(x,y)与(x,y)是解析区域中00的两点。du.duidxdyTOC o 1-5 h zdu.Qv+i HYPERLINK l bookmark419 o Current Document dxdy将此式右端表示成z的函数U（z）,由于f,（z）仍为解析函数，故f(z)JU(z)dz+c(c为实常数)注：若已知虚部V也可用类似方法求出实部u.（九）复数项级数1复数列的极限1）复数列aa+ib（n1,2）收敛于复数a+bi的充要条件为TOC

15、 o 1-5 h znnnlimaa,limbb（同时成立）nnngng2）复数列收敛o实数列a,b同时收敛。nnn2.复数项级数1）复数项级数艺a（aa+ib）收敛的充要条件是级数艺a与兰b同时收敛;nnnnnnn0n0n02）级数收敛的必要条件是lima0。nng注：复数项级数的敛散性可以归纳为两个实数项级数的敛散性问题的讨论。（十）幕级数的敛散性1.幂级数的概念：表达式艺c（z-z）n或区czn为幕级数。TOC o 1-5 h zn0nn0n02.幂级数的敛散性1）幂级数的收敛定理一阿贝尔定理（Abel）：如果幕级数区cz在z丰0处收敛，那么对满足n0n0|z|zj的一切z，级数必发散。

16、2）幕级数的收敛域一圆域幕级数在收敛圆域内，绝对收敛；在圆域外，发散；在收敛圆的圆周上可能收敛；也可能发散。3）收敛半径的求法：收敛圆的半径称收敛半径。比值法根值法如果limnscn+lclim$|c|=X丰0,nT8如果X=0，则R=g；说明在整个复平面上处处收敛;如果X=s，则R=0；说明仅在z=z0或z=0点收敛;注：若幕级数有缺项时，不能直接套用公式求收敛半径。（如区cz2n）nn=0幕级数的性质1）代数性质：设艺azn,艺bzn的收敛半径分别为R与R，记R=min（R,R）,nn1212n=0n=0则当z|R时，有+Bb)zn=aSnazn+pSbznnn（线性运算）n=0n=0nn

17、=0nnn=0n=0n=0S(ab+ab+n0n-11+ab)zn0n（乘积运算）2)复合性质：设当g|r时，f(g)=SaS，当|z|R时，g=g(z)解析且|g(z)|r,nn=0则当z|R时，fg(z力=Sag(z)n。nn=03）分析运算性质：设幕级数Saz”的收敛半径为R丰0，则nn=0其和函数f（z）=Sazn是收敛圆内的解析函数;nn=0在收敛圆内可逐项求导，收敛半径不变;且f，（z）=Snazn-1nn=0nzn+1n+1n=0在收敛圆内可逐项求积，收敛半径不变；Lf（z）dz=Sa0c）幂函数的泰勒展开1.泰勒展开：设函数f(z)在圆域z一zoR内解析，则在此圆域内f(z)可

18、以展开成幕级数1.泰勒展开：设函数f(z)在圆域z一zoR内解析，则在此圆域内f(z)可以展开成幕级数 # ;并且此展开式是唯一的。f(z)仝n=o注：若f(z)在z解析，则f(z)在z的泰勒展开式成立的圆域的收敛半径R=oo其中R为从zo到f(z)的距zo最近一个奇点a之间的距离。2.常用函数在zo=0的泰勒展开式y14z2z3zn1)ez=zn=1+z+n!2!3!n!2)n=o=zn=1+z+z2+zn+1zn=o3)z3z5Z2n+1=z+(2n+1)!3!5!n=o(一1)z2n+1+(2n+1)!z84)(1)nc-1z2丄z4丄(1)nc丄cosz=z2n=1+z2n+(2n)!

19、2!4!(2n)!n=oz83.解析函数展开成泰勒级数的方法1)直接法：直接求出c=f(n)(z)，于是f(z)=yc(zznn!onon=o2)间接法：利用已知函数的泰勒展开式及幕级数的代数运算、复合运算和逐项求导、逐项求积等方法将函数展开。(十二)幂函数的洛朗展开1.洛朗级数的概念:艺c(zz、，含正幕项和负幕项。nn=82.洛朗展开定理：设函数f(z)在圆环域RzzR内处处解析，c为圆环域内绕z的任意一条正向简单闭曲线，则在此在圆环域内，有f(z)=艺c(zzo，且展开式唯一。n=83.解析函数的洛朗展开法：洛朗级数一般只能用间接法展开。*4利用洛朗级数求围线积分：设f(z)在厂|z-z

20、o|R内解析,c为厂lz一和R内的任何一 条正向简单闭曲线，则舟f(z)dz二2nic。其中c为f(z)在rz-z|R内洛朗展开式中1的系数。z一z0说明：围线积分可转化为求被积函数的洛朗展开式中(z-zo)-1的系数。(十三)孤立奇点的概念与分类1。孤立奇点的定义:f在z0点不解析，但在z0的0“-zJ1,c丰0；0一m3)本性奇点：展开式中含无穷多项z-z0的负幕项;f(z)=+m+1+c+c(zz)+c(zz)m+ HYPERLINK l bookmark120 o Current Document (zz)m(zz)010m000(十四)孤立奇点的判别方法1可去奇点：limf(z)=c

21、常数；0zTz0极点：limf(z)=szTz0本性奇点：limf(z)不存在且不为sozTz0零点与极点的关系1)零点的概念：不恒为零的解析函数f(z)，如果能表示成f(z)=(zz)m(z),0其中9(z)在z解析,m为正整数，称z为f(z)的m零点；0002)零点级数判别的充要条件z0是f(z)的m级零点Of(m)(z03)零点与极点的关系：z0是/(z)的m级零点Oz0是ft)的m级极点;4)重要结论f(n)(z)=0,(n=12m-1)0若z=a分别是p(z)与屮(z)的m级与n级零点,z=a是p(z)口屮(z)的m+n级零点;当mn时,a是腊)的m-n级零点;当mm(n)(十五)留

22、数的概念1留数的定义：设z0为f(z)的孤立奇点，f(z)在z0的去心邻域0lz-z00,t0的正向，则I= 13.tan乏能否在0PIR内展成Lraurent级数?4.其中c为z=2bz2sin!dz的正向：z()sino5.已知F6=-，则选择题fz)=zRez丿1.(A)0(B)l在何处解析.(C)2(D)无2沿正向圆周的积分.sinz丁dzZ2-1兀isin1(A)2.(B)0.丈4-hl(z-1)n3.的收敛域为.n=-s1(A).4兀isin1(C)(D)以上都不对.z-141z2e.(B)(C)1|z-12.(D)无法确定4.设z=a是f的m级极点，则在点z=a的留数是(B)-2

23、m.(C)-m.(D)以上都不对.(A)m.三.计算题1.fG)=U+iv为解析函数，U-V=X3+3X2y-汽2-3fQfC)gQ与分别以z=a为m级与n级极点，那么函数在z=a处极点如何?，求u设函数求下列函数在指定点z处的Taylor级数及其收敛半径。f(z)=,z=-1z=sin6t(k为实数)求拉氏变换y+4yr+3y=e-求方程满足条件四.证明题=y(0)=1的解.ez一1ez一11Z23.利用留数计算定积分:d02+cos04.求拉氏变换f0=(k为实数).证明题1说明LnZ2=2LnZ是否正确，为什么？2利用卷积定理证明X1F(s)s.填空题1.42.13.不一定选择题1.(B)2.(A)3.(C)4.三.计算题模拟试卷三答案4.否5.0(D)f(z)=1.z+2 f(z)=f_=兰(一1+i(n+l)(z1)nt2-z2n=014.(sk)2一.填空题1+iZ1.复数1i三角表示形式.模拟试卷四2.设U%2y+Xy为调和函数，其共轭调和函数为g/工cQnn=0z=0为卷积定理为二选择题1FC