高三数学：专题四概率与统计第2讲概率、随机变量及其分布列

1、眼皮蹦跳跳专业文档 眼皮蹦跳跳专业文档第2讲概率、随机变量及其分布列高考定位 1.计数原理、古典概型、几何概型的考查多以选择或填空的形式命题， 中低档难度；2.概率模型多考查独立重复试验、相互独立事件、互斥事件及对立 事件等；对离散型随机变量的分布列及期望的考查是重点中的热点”，多在解答题的前三题的位置呈现，常考查独立事件的概率，超几何分布和二项分布的期望 等.真题感悟考点整合I明考向花要点真题感悟 TOC o 1-5 h z 1.（2018全国n卷）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先 的成果.哥德巴赫猜想是 每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和，如30=7 + 23.在不

2、超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是（）JJA.12B.14C.15D.18解析 不超过30的素数有2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29,共10个，从中随机选取两个不同的数有 C20#不同的取法，其中两素数相加等于30的有731 一，和23, 11和19, 13和17,共有3种情况，所以所求概率 P=C2）=75,故选C. 答案 C2.（2018全国I卷）如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的 几何图形.此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三 角形ABC的斜边BC,直角边AB, AC.AABC的三边所围成的 “区域记为I ,黑色部

3、分记为其余部分记为出.在整个图形中随机取一点，此点取自I , H,m的概率分别记为 p1, p2, p3,则（）A.p1 = p2B.p1 = p3C.p2=P3Dp = p2+p3解析 不妨设 ABC为等腰直角三角形，AB = AC = 2,则BC = 2/2,所以区域_ _ 、，_ 1 TtX （V2） 2 _I的面积即4ABC的面积，为SiUz笈N：2,区域田的面积Ss=2 -S眼皮蹦跳跳专业文档 眼皮蹦跳跳专业文档眼皮蹦跳跳专业文档 眼皮蹦跳跳专业文档2=L 2.区域n的面积为 S= 2 i|； S3= 2.根据几何概型的概率计算公式，得 pi2 2= p2 = , p3=n?,所以

4、Pi 却3, p2 布3, Pi 布2+p3,故选 A. 九十2九十2答案 A3.(2018全国I卷)某工厂的某种产品成箱包装，每箱 200件，每一箱产品在交付 用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品.检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检 验.设每件产品为不合格品的概率都为p(0p0, f(p)单调递增；当 pC(0.1, 1)时，fp)2 + 25Y,即 X=40+25Y.所以 E(X) = E(40 + 25Y) = 40+ 25E(Y) = 40 + 25M80X0.1 = 490.眼皮蹦跳跳专业文档 眼皮蹦跳跳专业文档眼皮

5、蹦跳跳专业文档 眼皮蹦跳跳专业文档(ii)如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为400元.由于E(X)400,故应该对余下的产品作检验.考点整合.概率模型公式及相关结论(1)古典概型的概率公式._m_事件A中所含的基本事件数P(A)=n=试验的基本事件总数.(2)几何概型的概率公式._构成事件A的区域长度(面积或体积)P(A);试验的全部结果所构成的区域长度 (面积或体积)(3)条件概率. P (AB)在A发生的条件下B发生的概率：P(B|A)= Q ,：.p ( A)(4)相互独立事件同时发生的概率：若 A, B相互独立，则P(AB) = P(A) P(B).(5)若事件 A,

6、 B 互斥,则 P(AUB)=P(A)+P(B),P(A) = 1 P(A).独立重复试验与二项分布 如果事件A在一次试验中发生的概率是p,那么它在n次独立重复试验中恰好发 生k次的概率为Pn(k)=cnpk(1-p)n k, k=0, 1, 2,，n.用X表示事件A在n 次独立重复试验中发生的次数，则 X服从二项分布，即 XB(n, p)且P(X=k) =Cnpk(1_p)n k.超几何分布cMcNi McN k=0, 1 5 2,在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(X=k)=,m,其中 m=minM, n,且 n&N, M0;pi + P2+ pi+ pn= 1(

7、i = 1, 2, 3,，n).(2)E( 9 = Xipi+X2P2+Xipi+Xnpn为随机变量 己的数学期望或均值.D( 9 = (X1 E(行 pi+(X2E( 9)2 p2+ + (XiE( 9)2 pi+ -+(Xn-E(旷 pn 叫做 随机变量己的方差.数学期望、方差的性质.E(aE+ b)=aE(? + b, D(aHb) = a2D()XB(n, p),则 E(X)=np, D(X) = np(1 p).X服从两点分布，则 E(X)=p, D(X) = p(1 p).防热点析考法烈点聚焦分类突破热点一古典概型与几何概型【例11 （1）（2018太原二模）某商场举行有奖促销活动

8、，抽奖规则如下：箱子中 有编号为1, 2, 3, 4, 5的五个形状、大小完全相同的小球，从中任取两球，若 摸出的两球号码的乘积为奇数，则中奖；否则不中奖 .则中奖的概率为（ ） TOC o 1-5 h z 132A.而B.gC.历D.5（2018湖南师大监中联考）太极图是以黑白两个鱼形纹组成的图形图案，它形象化地表达了阴阳轮转，相反相成是万物生成一（变化根源的哲理，展现了一种相互转化，相对统一的形式美.按 j .、一 一.,_. 、.1T照太极图的构图万法，在平面直角坐标系中，圆O被y= 3sinX的图象分割为两个对称的鱼形图案（如图所示）.其中小圆的半径均为1,现在大圆 内随机取一点，则此

9、点取自阴影部分的概率为 .解析（1）从5个球中，任取两球有C2= 10种情况，其中两球编号乘积为奇数有3c3 = 3种情况.所求事件的概率P =而.眼皮蹦跳跳专业文档 眼皮蹦跳跳专业文档眼皮蹦跳跳专业文档 眼皮蹦跳跳专业文档.、一 、. 一一 ,，一 九一 一，.一”,一一 一一一(2)依题意，大圆的直径为v= Bsiqx的最小正周期T=8；.大圆的面积S=16九又一个小圆的面积a=九刈2=冗故所求事件的概率0二等=冷8.1答案(1)C (2)8探究提高 1.求古典概型的概率，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含 的基本事件总数.常常用到排列、组合的有关知识，计数时要正确分类，做到不2.计

10、算几何概型的概率，构成试验的全部结果的区域和事件发生的区域的寻找是关键，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域.【训练11 (1)(2016全国I卷)某公司的班车在7: 30, 8: 00, 8: 30发车，小明在7: 50至8: 30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过10分钟的概率是(1 A.o31B.2)2 C.3(2)(2018郑州质检)现有大小形状完全相同的4个小球，其中红球有2个，白球 与蓝球各1个，将这4个小球任意排成一排，则中间2个小球不都是红球的概率为()1A.765C.6解析(1)如图所示，画出时间轴:*小明到达的时间会随机的落在图中

11、线段 AB上，当他的到达时间落在线段 AC或DB上时，才能保证他等车的时间不超过 10分钟，根据几何概型所求概率 P=10+10 _ 140 =2(2)设4个小球排成一排，中间2个小球不都是红球”为事件A.则A表示事件 中问2-. 一 .-一A2 21 152个球都是红球”，易知p(a)=A!=12=6,故p(a)=i p(a)=6.答案(1)B (2)C眼皮蹦跳跳专业文档 眼皮蹦跳跳专业文档眼皮蹦跳跳专业文档 眼皮蹦跳跳专业文档热点二互斥事件、相互独立事件的概率考法1互斥条件、条件概率【例21 (2016全国II卷选编)某险种的基本保费为 a(单位：元)，继续购买 该险种的投保人称为续保人，

12、续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如 下：上年度出险次数012345保费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下:一年内出险次数012345概率0.300.150.200.200.100.05(1)求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；(2)若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率.解(1)设A表示事件：续保人本年度的保费高于基本保费”，则事件A发生 当且仅当一年内出险次数大于 1,故P(A) = 0.20+ 0.20+ 0.10+ 0.05= 0.55.(2)设B表示事件：续保人本年度的保费比基本保费高

13、出60%,则事件B发生当且仅当一年内出险次数大于3,故P(B)= 0.10+0.05= 0.15.故 P(B|A)=P (AB)P (A)又 P(AB)=P(B),P (B) _0.15_ 3P (A) =0.55= 11.、3因此所求概率为彳.考法2相互独立事件与独立重复试验的概率【例22 (2018衡水中学调研)多家央企为了配合国家战略支持雄安新区建设，纷纷申请在新区建立分公司.若规定每家央企只能在雄县、容城、安新 3个 片区中的一个片区设立分公司，且申请其中任一个片区设立分公司都是等可能 的，每家央企选择哪个片区相互之间互不影响且必须在其中一个片区建立分公司 向雄安新区申请建立分公司的任

14、意 4家央企中，眼皮蹦跳跳专业文档 眼皮蹦跳跳专业文档眼皮蹦跳跳专业文档 眼皮蹦跳跳专业文档(1)求恰有2家央企申请在 雄县”片区建立分公司的概率；用X表示这4家央企中在 雄县”片区建立分公司的个数，用 Y表示在 容城” 或安新”片区建立分公司的个数，记 上|X Y|,求己的分布列.1解(1)法一 依题意，每家央企在 雄县”片区建立分公司的概率为1,去另外两3个片区建立分公司的概率为2,这4家央企恰有2家央企在 雄县”片区建立分公 322司的概率为p=c4H3)=5法二 所有可能的申请方式有34种，恰有2家央企申请在 雄县”片区建立分公2 2司的方式C4 22种，从而恰有2家央企在 雄县”片区

15、建立分公司的概率为P=C#38 =27.由题意知，XB3, 1则 P(X=k)=c4()13) (k=0, 1, 2, 3, 4),随机变量己的所有可能取值为0, 2, 4.8P(土 0)=P(X=2)=27，40P( 土 2)= P(X= 1)+ P(X=3) = M，17P(土 4) = P(X = 0) + P(X = 4)=而.所以随机变量己的分布列为024P82740811781探究提高1.求复杂事件的概率，要正确分析复杂事件的构成，看复杂事件是能 转化为几个彼此互斥的事件的和事件还是能转化为几个相互独立事件同时发生 的积事件，然后用概率公式求解2.(1)注意辨别独立重复试验的基本特

16、征：在每次试验中，试验结果只有发生与不发生两种情况；在每次试验中，事件发生的概率相同.(2)牢记公式Pn(k) = C%pk(1 p)nk, k=0, 1, 2,，n,并深刻理解其含义.眼皮蹦跳跳专业文档 眼皮蹦跳跳专业文档眼皮蹦跳跳专业文档 眼皮蹦跳跳专业文档【训练2】(2018天津卷)已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为 24, 16, 16.现采用分层抽样的方法从中抽取 7人，进行睡眠时间的调查.(1)应从甲、乙、内三个部门的员工中分别抽取多少人？若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人 做进一步的身体检查.用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随

17、机变量 X的分布列与数学 期望；设A为事件抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求 事件A发生的概率.解(1)由题意得，甲、乙、内三个部门的员工人数之比为3 ： 2 ： 2,由于采用分层抽样的方法从中抽取7人，因此应从甲、乙、内三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人.随机变量X的所有可能取值为0, 1, 2, 3.八k八3 kC4 C3P(X=k) = -(k= 0, 1, 2, 3).C3 1C3c4 12则 p(x=0)=35, P(X=1)=育=35，C34112418P(X=3) = r=,则 P(X = 2)= 1-,C73535353535所以，随机变量X的分布

18、列为X0123P13512351835435随机变量X的数学期望 E(X)=0 得+ 1 噌+ 2嚼+ 335=J72.设事件B为 抽取的3人中，睡眠充足的员工有1人，睡眠不足的员工有2人”; 事件C为 抽取的3人中，睡眠充足的员工有2人，睡眠不足的员工有1人”，则 A=BUC,且 B 与 C 互斥.由知，P(B)=P(X= 2), P(C) = P(X=1),故 P(A) = P(B U C) = P(X = 2) + P(X= 1) = 6.所以，事件A发生的概率为6.热点三随机变量的分布列、均值与方差眼皮蹦跳跳专业文档 眼皮蹦跳跳专业文档眼皮蹦跳跳专业文档 眼皮蹦跳跳专业文档考法1超几何

19、分布【例3-11 (2018西安调研)4月23日是 世界读书日”，某中学在此期间开展了 一系列的读书教育活动.为了解高三学生课外阅读情况，采用分层抽样的方法从 高三某班甲、乙、丙、丁四个小组中随机抽取10名学生参加问卷调查.各组人数统计如下:小组甲乙丙丁人数91263(1)从参加问卷调查的10名学生中随机抽取两名，求这两名学生来自同一个小组 的概率；(2)在参加问卷调查的10名学生中，从来自甲、内两个小组的学生中随机抽取两 名，用X表示抽得甲组学生的人数，求 X的分布列和数学期望.解(1)由已知得，问卷调查中，从四个小组中抽取的人数分别为3, 4, 2, 1,从参加问卷调查的10名学生中随机抽

20、取两名的取法共有 C20=45种， 这两名学生来自同一小组的取法共有 C3+C2+C2=10,10 2所以 P=45=9.(2)由(1)知，在参加问卷调查的10名学生中，来自甲、内两小组的学生人数分别 为 3, 2.X的可能取值为0, 1, 2.c3 c2 k则 P(X=k)=C2 (k=0, 1, 2).C21c3c2 3 P(X=0户CI=而，P(X=1)=育=5,c、C23P(X=2) = Ci，.故 E(X)=0则随机变量X的分布列为X012P133105106 =5.探究提高1.求离散型随机变量的分布列的关键是正确理解随机变量取每一个眼皮蹦跳跳专业文档 眼皮蹦跳跳专业文档眼皮蹦跳跳专

21、业文档 眼皮蹦跳跳专业文档值所表示的具体事件，然后综合应用各类求概率的公式，求出概率 .2.对于实际问题中的随机变量 X,如果能够断定它服从超几何分布 H(N, M, n), k n k则其概率可直接利用公式 P(X=k)=必湛0, 1,，m,其中m=minM,_ _ _ * n,且 n&N, MN, n, M, N N ).【训练3】 在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的 影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗 示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来 评价两种心理暗示的作用.现有6名男志愿者Ai, A2,

22、A3, A4, A5, A6和4名女 志愿者Bi, B2, B3, B4,从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种 心理暗示.(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含 Ai但不包含Bi的概率;(2)用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列与数学期望E(X).解(1)记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的事件为M,则即)=息=需由题意知X可取的值为：0, 1, 2, 3, 4,则c61P(X=0)=CO=42， _41 C4C45依=1)：高=21，- 3_ 2 c3c4 10 P(X=2)=戢=21， c、C2C35P(X=3) =百=21，-1-4 TOC o

23、1-5 h z C6C41P(X=4)=7；L=石.C1042因此X的分布列为X01234P1425211021521142 TOC o 1-5 h z X的数学期望是=2.1,E(X) = 0 逸+1考法2与独立重复试验有关的分布列眼皮蹦跳跳专业文档眼皮蹦跳跳专业文档眼皮蹦跳跳专业文档 眼皮蹦跳跳专业文档【例3 2 (2018潍坊一模)某公司新上一条生产线，为保证新的生产线正常工 作，需对该生产线进行检测.现从该生产线上随机抽取100件产品，测量产品数 据，用统计方法得到样本的平均数 尸14,标准差 户2,绘制如图所示的频率分 布直方图.以频率值作为概率估计值.从该生产线加工的产品中任意抽取

24、一件，记其数据为X,依据以下不等式评判(P表示对应事件的概率)：P KX0.682 6;P 2(X0.954 4;P(厂 3 KX 什 3 / 0.997 4.评判规则为：若至少满足以上两个不等式，则生产状况为优，无需检修；否则需检修生产线，试判断该生产线是否需要检修；(2)将数据不在(L2仇 什24内的产品视为次品，从该生产线加工的产品中任意 抽取2件，次品数记为Y,求Y的分布列与数学期望E(Y).解(1)由题意知，尸14,户2,由频率分布直方图得P(四MX 叶 3 = P(12X0.682 6,Pg2(X 什2，= P(10X18) = 0.8+(0.04+0.03) 2= 0.940.9

25、54 4,P(四一3 KX 叶 3，= P(8X20)= 0.94+ (0.015+ 0.005)占 0.980.997 4, TOC o 1-5 h z 所以不满足至少两个不等式成立，故该生产线需检修.,_47(2)由(1)知 P(厂 2 KXm+1 嗡0+2 喘00=套(或 e(y)=250=25)探究提高1.求随机变量的均值和方差的关键是正确求出随机变量的分布列2.对于实际问题中的随机变量 X,如果能够断定它服从二项分布 B(n, p),则其 概率、期望与方差可直接利用公式 P(X=k) = cnpk(1 p)nk(k=0, 1, 2,，n),E(X) = np, D(X)=np(1p)

26、求得.【训练4】(2018湖南六校联考)为响应国家 精准扶贫，产业扶贫”战略的号召， 进一步优化能源消费结构，某市决定在地处山区的 A县推进光伏发电项目.在该 县山区居民中随机抽取50户，统计其年用电量得以下统计表.以样本的频率作为概率.用电量(单位：度)(0, 200(200, 400(400, 600(600, 800(800, 1 000户数51510155(1)在该县山区居民中随机抽取10户，记其中年用电量不超过600度的户数为X, 求X的数学期望；已知该县某山区自然村有居民 300户.若计划在该村安装总装机容量为 300千 瓦的光伏发电机组，该机组所发电量除保证该村正常用电外，剩余电

27、量国家电网以0.8元/度的价格进行收购.经测算每千瓦装机容量的发电机组年平均发电1 000度，试估计该机组每年所发电量除保证正常用电外还能为该村创造直接收益多少眼皮蹦跳跳专业文档 眼皮蹦跳跳专业文档眼皮蹦跳跳专业文档 眼皮蹦跳跳专业文档元.解(1)记在抽取的50户居民中随机抽取1户，其年用电量不超过600度为事件-3A,则 P(A) = -5由已知可得从该县山区居民中随机抽取10户，记其中年用电量不超过 600度的户数为X,且XB110, 5 ;3故 E(X)=np=10|=6.(2)设该县山区居民户年均用电量为 E(Y),由抽样可得E(Y) = 10050+ 300段+ 500湍+ 700噜

28、+900福= 500(度).则该自然村年均用电约150 000度.又该村所装发电机组年预计发电量为 300 000 度，故该机组每年所发电量除保证正常用电外还能剩余电量约 150 000度，能为 该村创造直接收益120 000元.热点四 概率与统计的综合问题【例4】(2018昆明质检)手机作为客户端越来越为人们所青睐，通过手机实现 衣食住行消费已经成为一种主要的消费方式.在某市，随机调查了 200名顾客购 物时使用手机支付的情况，得到如下的2笈列联表，已知从使用手机支付的人群 中随机抽取1人，抽到青年的概率为10.(1)根据已知条件完成2 2列联表，并根据此资料判断是否有 99.5%的把握认为

29、 市场购物用手机支付与年龄有关”？2 2列联表：青年中老年合计使用手机支付120不使用手机支付48合计200现采用分层抽样的方法从这200名顾客中按照使用手机支付”和不使用手机 支付”抽取一个容量为10的样本，再从中随机抽取3人，求这三人中 使用手机 支付”的人数的分布列及期望.眼皮蹦跳跳专业文档 眼皮蹦跳跳专业文档眼皮蹦跳跳专业文档 眼皮蹦跳跳专业文档2,2n (ad- be)KM* * K =J- K (a+b) (e+ d) (a+e) (b+d)2.P(K2k0)0.050.0250.0100.005k03.8415.0246.6357.879解(1)，.从使用手机支付的人群中随机抽取

30、 1人，抽到青年的概率为志,.使用手机支付的人群中的青年的人数为 10 X12O=84人，则使用手机支付的人群中的中老年的人数为120 84= 36人，所以2X2列联表为青年中老年合计使用手机支付8436120不使用手机支付324880合计1168420022内、m/土 1 200 (8448-3632)3 600K 的观源值 k=1168480M20 = 203 17.73417.7347.879, P(K27.879)= 0.005,故有99.5%的把握认为市场购物用手机支付与年龄有关(2)根据分层抽样原理，从这200名顾客中抽取10人,”120抽到 使用手机支付”的人数为10值0= 6.

31、不使用手机支付”的人数为4.设随机抽取的3人中使用手机支付”的人数为随机变量X.则 X=0, 1, 2, 3. TOC o 1-5 h z 一 0_ 3_1 _2曲 1c6c43P(X=0)=黄=30, P(X= 1)=高=而，c、C2c4 1cic0 1P(X=2) = t；3-=7;, P(X=3) = 7;3- =仄.C102C106所求随机变量X的概率分布为X0123P1303101216 TOC o 1-5 h z “、一13119期望 E(X) = 0喘+1 50+2多+35为标准A, X3为标准B.已知甲厂执行标准 A 生产该产品，产品的零售价为 6元/件；乙厂执行标准B生产该产

32、品，产品的零 售价为4元/件，假定甲、乙两厂的产品都符合相应的执行标准 .(1)已知甲厂产品的等级系数 Xi的概率分布列如下所示：X15678P0.4ab0.1且Xi的数学期望E(Xi)=6,求a, b的值；为分析乙厂产品的等级系数 X2,从该厂生产的产品中随机抽取 30件，相应的 等级系数组成一个样本，数据如下：353385563463475348538343447567用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数X2的数学期望；在(1)、(2)的条件下，若以 性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购 买性？说明理由.注：产品的性价比”产品的等级系数的数学期望二产品的零售

33、价性价比”大的产品更具可购买性.解(1)因为 E(X1)=6,所以 50.4+ 6a+7b+80.1=6,解得a=0.3,b=0.2.即 6a+ 7b = 3.2,又由 X1 的概率分布列得 0.4+ a+b+0.1 = 1,即 a+b = 0.5,6a+7b=3.2由a+b = 0.5,眼皮蹦跳跳专业文档 眼皮蹦跳跳专业文档眼皮蹦跳跳专业文档 眼皮蹦跳跳专业文档X2345678P0.30.20.20.10.10.1即乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8.所以 E(X2)= 30.3 + 40.2+5X0.2+6X0.1+ 70.1 +8X0.1 = 4.8,(3)乙厂的产品更具可购买性，理

34、由如下:因为甲厂产品的等级系数的数学期望等于6,价格为6元/件，所以其性价比为?1,因为乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8 彳-4 =1.2，所以乙厂的产品更具可购买性.4.8,价格为4元/件，所以其性价比为探规律防失误归期总站思维升华.古典概型中，A发生的条件下B发生的条件概率公式为 P(BA)=P然P (A)吠，其中，在实际应用中P(BA户言是一种重要的求条件概率的方 法.相互独立事件与互斥事件的区别 相互独立事件是指两个事件发生的概率互不影响,计算公式为P(AB) = P(A)P(B). 互斥事件是指在同一试验中，两个事件不会同时发生，计算公式为P(AU B) = P(A) 十 P(

35、B).二项分布是概率论中最重要的几种分布之一， 在实际应用和理论分析中都有重 要的地位.眼皮蹦跳跳专业文档 眼皮蹦跳跳专业文档眼皮蹦跳跳专业文档 眼皮蹦跳跳专业文档(1)判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有二：其一是独立性，即一次试验中，事件发生与不发生二者必居其一； 其二是重复性，即试验是独立重复地进 行了 n次.(2)对于二项分布，如果在一次试验中某事件发生的概率是 p,那么在n次独立重 复试验中这个事件恰好发生k次的概率是P(X=k) = cnpkqnk.其中k= 0, 1,n, q=1 p.求落显迎高考专题调练对特高考、选择题.(2018广州,g拟)三国时期吴国的数学家赵爽曾创制了

36、一幅 勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明.如图所示的 勾股圆方图”中，四个全等的直角三角形与中 间的小正方形拼成一个大正方形，其中一个直角三角形中较 3 小的锐角a满足tan 4,现向大正方形内随机投掷一枚飞镖，则飞镖落在小正方形内的概率是()2C.2543A.25B函3 解析 在RtAABC中，tan a= 4.不妨设S、正方形 DC21求事件的概率P=-2=-= 为正方形 AB 25BC = 3, AC=4, WJ DC = 1, AB = 5.所答案 D.甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加“论语知识大赛”，决出第1名到第5名 的名次.甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲

37、说虽然你的成绩比乙好，但 是你俩都没得到第一名”；对乙说你当然不会是最差的”从上述回答分析，丙是 第一名的概率是()c4 TOC o 1-5 h z 11A.-B.-56解析 由于甲和乙都不可能是第一名，所以第一名只可能是丙、丁或戊，又考虑到所有的限制条件与丙、丁或戊都无关，所以这三个人获得第一名是等概率事件,眼皮蹦跳跳专业文档眼皮蹦跳跳专业文档眼皮蹦跳跳专业文档 眼皮蹦跳跳专业文档1概率为7. 3答案 D.(2018全国m卷)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为 p,各成员的支 付方式相互独立.设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，D(X) = 2.4, P(X=4)P(X =

38、6),则 p=()A.0.7B.0.6C.0.4D.0.3解析由题意知，该群体的10位成员使用移动支付的概率分布符合二项分布，所以 D(X) = 10p(1 p) = 2.4,所以 p = 0.6或 p = 0.4.由 P(X = 4)P(X = 6), W C40p4(1-p)6C60p6(1 -p)4,即(1 p)20.5,所以 p=0.6.答案 B.(2018长郡中学二模)设随机变量X服从正态分布N(4, (2),若P(Xm)=0.3, WJ P(X8m) = ()A.0.2B.0.3C.0.7D.与(T的值有关解析二,随机变量X服从正态分布N(4, (2),正态曲线的对称轴是x= 4,

39、. P(Xm) = 0.3,且 m与 8m 关于 x= 4 对称，由正态曲线的对称性，得 P(Xm)=P(X8m)= 10.3= 0.7.答案 C.(2018浙江卷)设0Vp1,随机变量己的分布列是q012p1 p 212p2则当p在(0, 1)内增大时()A.Da减小C.D( 9先减小后增大B.D(9增大D.D(9先增大后减小眼皮蹦跳跳专业文档 眼皮蹦跳跳专业文档眼皮蹦跳跳专业文档 眼皮蹦跳跳专业文档解析 由题可得E（a=；+p,所以d（a= p2+p+：= ,一：所以当p 在（0, 1）内增大时，D（ 9先增大后减小.答案 D二、填空题.（2018全国I卷）从2位女生，4位男生中选3人参加

40、科技比赛，且至少有1位 女生入选，则不同的选法共有 ?中（用数字作答）.解析 法一 可分两种情况：第一种情况，只有1位女生入选，不同的选法有 c2c4=12（种）；第二种情况，有2位女生入选，不同的选法有 C2c4 = 4（种）.根据 分类加法计数原理知，至少有1位女生入选的不同的选法有16种.法二 从6人中任选3人，不同的选法有c6=20（种），从6人中任选3人都是男 生，不同的选法有C3 = 4（种），所以至少有1位女生入选的不同的选法有 20 4 =16仔中）.答案 16.（2018济南,K拟）了一卷）的展开式中，常数项为 （用数字作答）.一2、,三 5r 一 一一解析 Tr+1=C5（

41、x2）5 我J=（ 2）rc5x 2.依题意，10万=0,则 r=4.展开式中常数项T5=C5（2）4=80.答案 80.（2018安徽江南名校联考）如图，圆M、圆N、圆P彼此相外 切，且内切于正 ABC中，在正 ABC内随机取一点，则此 点取自 MNP（阴影部分）的概率是.解析 设内切圆的半径为r,正4ABC的边长为a,则a = 2rSmnp2r+ 2-73r, MNP的边长a =2r.所求事件的概率 P = -=广 2= 1&abc 2r （1+0.25=50.故所求概率为2500= 0.025.设事件A为 从第四类电影中随机选出的电影获得好评”，事件B为 从第五类电影中随机选出的电影获得

42、好评” . 一 一 一 一故所求概率为 P(AB+ AB) = P(AB) + P(AB)=P(A)(1 P(B) + (1 P(A)P(B).由题意知：P(A)估计为0.25, P(B)估计为0.2. 故所求概率估计为 0.25 )0.8+ 0.75 )0.2= 0.35.(3)由题意可知，定义随机变量如下：；0,第k类电影没有得到人们喜欢，J,第k类电影得到人们喜欢，则&显然服从两点分布,故 D(&)= 0.4 (1 0.4)= 0.24,D(3= 0.2 410.2)= 0.16,眼皮蹦跳跳专业文档 眼皮蹦跳跳专业文档眼皮蹦跳跳专业文档 眼皮蹦跳跳专业文档D( 8) = 0.15 N 0

43、.15)=0.127 5,D( 5) = 0.25 N 0.25)=0.187 5,D( &) = 0.2 410.2)= 0.16, D( 0 = 0.1 410.1)=0.09.综上所述，D(3)D( a)D(2) = D(&)D(幼D( 6).(2018西安调研)在一次诗词知识竞赛调查中，发现参赛选手分为两个年龄(单位：岁)段：20, 30), 30, 40,其中答对诗词名句与否的人数如图所示.T单位：人)匚二I正胸II错误(1)完成下面2X2列联表:年龄段止确合计20, 30)30, 40合计是否有90%的把握认为答对诗词名句与年龄有关，请说明你的理由；现按年龄段分层抽样选取 6名选手

44、，若从这6名选手中选取3名选手，求3 名选手中年龄在20, 30)岁范围人数的分布列和数学期望.2、2 n (adbc) 一一任：K = (a+b) (c+ d) (a+c) (b+d)八中 n=a+b+c+d_2P(K k0)0.1000.0500.0100.005k02.7063.8416.6357.879解(1)2 2的列联表为年龄段止确珀琳合计20, 30)103040眼皮蹦跳跳专业文档 眼皮蹦跳跳专业文档30, 40107080合计20100120眼皮蹦跳跳专业文档眼皮蹦跳跳专业文档根据2 2列联表中的数据，得K2的观测值为2n (adbc)k (a+b) (c+ d) (a+c)

45、(b+d)一 ，一 一 一 一、2120 （70X030M0）二:=32 70620 M00X40 803，有90%的把握认为答对诗词名句与年龄有关.（3）按年龄段分层抽取6人中，在范围20, 30）岁的人数是2（人），在30, 40岁范 围的人数是4（人）.现从6名选手中选取3名选手，设3名选手中在范围20, 30）1, 2.岁的人数为己，则己的可能取值为0,C3 1八 C2C2 3P(土 2)=P（土0）=d=5, P（Q 1）=&=5, c4c2 1己的分布列为012P153515故士的数学期望为E（9=05+1x3+2X51=1.11.（2018武汉三模）2018年3月5日上午，李克强总理做政府工作报告时表示,将新能源汽车车辆购置税优惠政策再延长三年，自 2018年1月1日至2020年 12月31日，对购置的新能源汽车免征车辆购置税.某人计划于2018年5月购买 一辆某品牌新能源汽车，他从当地该品牌销售网站了解到近五个月实际销量如下 表:月份2017.122018.012018.022018.