高三数学参数法

1、2008年二轮复习高中数学方法讲解：4、参数法在解题过程中，通过适当引入一些与题目研究的数学对象发生 联系的新变量(参数)，以此作为媒介，再进行分析和综合，从而解 决问题的方法叫参数法是指。直线与二次曲线的参数方程都是用参数 法解题的例证。换元法也是引入参数的典型例子。辨证唯物论肯定了事物之间的联系是无穷的，联系的方式是丰富 多采的，科学的任务就是要揭示事物之间的内在联系，从而发现事物的变化规律。参数的作用就是刻画事物的变化状态，揭示变化因素之 间的内在联系。参数体现了近代数学中运动与变化的思想，其观点已经渗透到中学数学的各个分支。运用参数法解题已经比较普遍。参数法解题的关键是恰到好处地引进参

2、数， 沟通已知和未知之间 的内在联系，利用参数提供的信息，顺利地解答问题。若动点 P (x, y)的坐标x与y之间的关系不易直接找到，而动点变化受到另一变 量的制约，则可求出x、y关于另一变量的参数方程，再化为普通方 程.例1. 00,北京、安徽春招设点A和B为抛物线y 2聿px(p 0) 上原点以外的两个动点，已知 OALOB OMLAR求点M的烈症彳程， 并说明它表示什么曲线.7、解法一:设 A(xi,y i),B(x 2,y2),M(x,y)依题意，有2 TOC o 1-5 h z y1 =4px12V2 =4PX2y yi -y2.=1Xi -X2yi y2 y -yi-X2 X -X

3、1一得（yi y2）（y i+y2）=4p（X 1 X2） TOC o 1-5 h z 若 Xi?X2,贝u有 yi _y2 ; 4PXi -X2 yi y2 X ，得 yi2 y22=16p2XiX2代入上式有yiy2=- 16p2代入，得 =心Vi V2 y代入，得=3=一yi y2 X-Xi X -五4p所以=4p(y-y?Vi y2 4pX - y1即 4pX yi2=y(y i+y2)y； yy、代入上式，得 X2+y2 4Px=0(x # 0)当Xi=X2时，AB!X轴，易得M(4p,0)仍满足方程.故点M的轨迹方程为X2+y2 4Px=0(x？0)它表示以(2p,0)为圆 心，以

4、2P为半径的圆，去掉坐标原点.解法二：设M(x,y),直线AB的方程为y=kx+b由 OML AB,彳导 k=-y由 y2=4px 及 y=kx+b,消去 y,得 k2x2+(2kb 4p)x+b2=0,2-所以 xix2=b-,消 x,得 ky 4py+4pb=0 k2所以 yiy2=4pb ,由 OAL OB 彳y yy2=xix2 k所以佗=,b=4kp k k2故 y=kx+b=k(x 4p),用 k=二代入，得 x2+y2 4Px=0(x # 0)y故动点M的轨迹方程为x2+y24Px=0(x#0),它表示以(2p,0)为圆心，以2P为半径的圆，去掉坐标原点.例2.实数a、b、c满足

5、a+b+ c=1,求a2 + b2+ c2的最小值。【分析】由a+ b + c=1想到“均值换元法”，于是引入了新的参数，即设 a=； + ti, b= 3 +12, c= 3 +t 3,代入 a2 + b2 + c2 可求。 TOC o 1-5 h z 【解】由 a + b + c=1,设 a = Ht1, b=-+t2, c=-+t3,其 333中 t 1+t 2+t 3=0,a 2 + b2 + c2 = (1 +t 1) 2+ (1+t2) 2 + (j+t3)2 = J +-(t 13kp kQ =一二，4.求证：|OP|2 + |OQ|2等于定值；.求线段PQ中点M的轨迹方程。32

6、33331+ t 2 + t 3) + t 1 2 + t 2 2 + t32 = + t12 + t 22+t 32- 33所以a2 + b2 + c2的最小值是3。【注】由“均值换元法”引入了三个参数，却将代数式的研究进行了简化，是本题此种解法的一个技巧。例3.椭圆/+黄=1上有两点P、Q, O为原点。连OR OQ若 164【分析】 由“换元法”引入新的参数，即设0s 0 (椭圆参y = 2sin 0数方程)，参数8 1、8 2为P、Q两点，先计算kopkoQ得出一个结论,22网由.卜1,设1x = 4sy = 2iS再计算|OP|2 + |OQ|2,并运用“参数法”求中点M的坐标，消参而

7、得。9_ .一一 _ .,P(4cos 0 1,2sin 8 1), Q(4cos9 0 2,2sin 0 2),2sinN 2sin 史贝 UkoP.kOQ=E =cos 0 1 cos 0 2 + sin 0 1 sin 8 2 = 0,即 cos ( 0 1 0 2) =0。 |OP| 2 + |OQ|2 = 16cos2 0 1 +4sin 2 0 1 + 16cos2 0 2 +4sin 2 0 2=8+ 12(cos 2 0 1 + cos2 0 2) =20+6 (cos2 0 1 + cos2 0 2) = 20 + 12cos ( 0 1+ 0 2) cos ( 0 1 -

8、0 2 ) = 20,即|OP|2 + |OQ|2等于定值20。由中点坐标公式得到线段PQ的中点 M的坐标为jxM =2(cos1 +cos62)yM = sin sin 2所以有(2) 2 + y2 = 2 + 2(cos 0 1 cos 0 2 + sin 0 1 sin 0 2) =2,即所求线段PQ的中点M的轨迹方程为x + -=1o 82【注】由椭圆方程，联想到a2 + b2=1,于是进行“三角换元”，通 过换元引入新的参数，转化成为三角问题进行研究。本题还要求能够 熟练使用三角公式和“平方法”，在由中点坐标公式求出 M点的坐标 后，将所得方程组稍作变形，再平方相加，即(cos 0

9、1 + cos 0 2)2+ (sin 0 1+sin 0 2) 2,这是求点M轨迹方程“消参法”的关键一步。一般地，求动点的轨迹方程运用“参数法”时，我们可以将点的x、y坐标分别表示成为一个或几个参数的函数，再运用“消去法”消去所含的参数，即得到了所求的轨迹方程。例4.已知正四棱锥S ABCD勺侧面与底面的夹角为B ,相邻两侧面的夹角为 ,求证：cos = =cos 2求出口、B的余弦，则在和B所在的三【分析】要证明cos = =-cos 2角形中利用有关定理求解。【解】连AC BD交于O,连SQ取BC中点F,连SR OF;作BESC于E,连DE则/ SFO= B , / DEB=设BC=

10、a （为参数），则SF=OF=cos 2 2cos 0SA嘉2 a 2)2 (2)2_ a2cos 0+ cos2 B2 又B-瞌=就2a2222 - 2a在 DE冲，由余弦定理有：cos a =2BE - BD1 cos -2BE22a2 -1 cos :=cos2 B 。所以 cos oc = cos【注】 设参数a而不求参数a,只是利用其作为中间变量辅助计算，这也是在参数法中参数可以起的一个作用，即设参数辅助解决有关问题。例5 .94,上海设椭圆中心为原点O, 一个焦点为F(0, 1), 长轴和短轴的长度之比为t.(A)求椭圆的方程；(2)设经过原点且斜率为t的直线与椭圆在y轴右边部分的

11、交点为Q点P在该直线上，且10P =tdH,当t变化时，求点P的轨 0Q迹方程，并说明轨迹是什么图形.22解：(1)设所求椭圆方程为匕=1(ab0).t2a bt2 -1/a2 -b2 =1,b2由题意得伯解得t2 -1_ =t,kb所以椭圆方程为t2(t2 -1)x2 +(t2 -1)y2 =t2 .(2)设点P(x, 丫)0。yj解方程组 222 ,222jt (t -1)X1 +(t -1)y1 =t , =tx1，1Xi =2(t2 -1)ty122(t2 -1)|OPOq=tC和也OQXit2其中ti.消去t,得点p轨迹方程为y(x管 2y(x :二乌.其轨迹为抛物线x2 =四y在直线、2,一、 x = 0右侧的部分和抛物线2x2=母在直线一三在侧的部分.巧解练习:.设 2x =3 y =5 z1 ,贝U 2x、3y、5z从小到大排列是.直线Fr-ft上与点A(-2,3) y = 3 、, 2t的距离等于丘的点的坐标是4,三棱锥的三个侧面互相垂直，它们的面积分别是6、 4、 3,则具体积为6.椭圆强+ ( = 1上的点到直线x + 2y&=0的最大距离是OA. 3