高三数学二轮复习专项圆锥曲线

1、二轮复习专项：圆锥曲线.如图，直线11与12是同一平面内两条互相垂直的直线，交点是 A,点B、D在直线11上 (B、D位于点 A右侧)，且|AB|=4, |AD|=1 , M是该平面上的一个动点， M在11上的射影 点是 N,且 |BN|=2|DM|.(I )建立适当的坐标系，求动点 M的轨迹C的方程.(n)过点D且不与11、12垂直的直线1交(I)中的轨迹C于E、F两点；另外平面上的点 G、H满足：1AG AD( ,R)；= 2GH;3GHiEF =0.12求点G的横坐标的取值范围.Mq 1B A D N B11V|e 一.设椭圆的中心是坐标原点，焦点在 x轴上，离心率 2 ,已知点p(0，

2、3)到这个椭圆上的点的最远距离是 4,求这个椭圆的方程.25,4其左、右顶点分别22C1 : xy j=1(a b 0)x.已知椭圆a b的一条准线方程是2C ：C2 ：2是A、B;双曲线 a2L =1,2b的一条渐近线万程为3x-5y=0.(I )求椭圆 C1的方程及双曲线 C2的离心率；(n )在第一象限内取双曲线C2上一点P,连结AP交椭圆C1于点M ,连结PB并延长交椭圆C1于点N,若AM =MP .求证：MNAB = 0.4.椭圆的中心在坐标原点O,右焦点F (c,0)到相应准线的距离为1,倾斜角为45的直线交椭圆于A, B两点.设AB中点为M,直线AB与OM的夹角为汽a.(1)用半

3、焦距c表示椭圆的方程及tg ;(2)若2tg b0)的离心率3 ，过点A (0, -b)和B (a, 0)的直线. 3与原点的距离为2(1)求椭圆的方程(2)已知定点E (-1, 0),若直线y=kx + 2 (kwQ与椭圆交于 C D两点 问：是否 存在k的值，使以CD为直径的圆过 E点？青说明理由6.在直角坐标平面中,ABC的两个顶点A，B的坐标分别为A(T0), B(1，0) ,平面内两点G，M同时满足下列条件: GA +GB +GC =0；MA = MBMC；GM/ AB(1)求MBC的顶点C的轨迹方程;(2)过点 P(3,0) 的直线l与(1)中轨迹交于e，F两点，求PE PF的取值

4、范围7.设x,尸R, i,j为直角坐标平面内x轴.y轴正方向上的单位向量，若a=xi +(y+2)j,b=xi +(y2)j ,且 |a|十|b|=8(I )求动点 M(x,y)的轨迹C的方程；(n)设曲线C上两点A. B,满足(1)直线AB过点(0, 3), (2)若0P =OA+OB ,则OAPB为矩形，试求 AB方程. 2 8.已知抛物线C: y m(X n),(mk0,n 0)的焦点为原点，C的准线与直线I ： kx y +k =0(k #0)的交点m在x轴上，l与C交于不同的两点A、B,线段AB的垂直平分线交x轴于点N ( p, 0).(I )求抛物线 C的方程；(n)求实数p的取值

5、范围；(出)若C的焦点和准线为椭圆 Q的一个焦点和一条准线，试求Q的短轴的端点的轨迹方程.9.如图，椭圆的中心在原点，长轴 AA1在x轴上.以A、A1为焦点的双曲1线交椭圆于 C、D、D1、C1四点，且|CD|= 2 |AA1|.椭圆的一条弦 AC交 TOC o 1-5 h z AE2.3=A A 0)作直线与抛物线交于 A，B两点，点Q是点P关于原点的对称点. 设点P分有向线段AB所成的比为九，证明：QP1(QA-QB); (2)设直线AB的方程是x-2y+12=0,过A,B两点的圆C与抛物线在点A处有共时，求双曲线的离心率e的取值范围.2210.已知三角形ABC的三个顶点均在椭圆4x +

6、5y =80上，且点A是椭圆短轴的一个端点(点A在y轴正半轴上).若三角形ABC的重心是椭圆的右焦点，试求直线BC的方程;0若角A为90 , AD垂直BC于D,试求点D的轨迹万程同的切线，求圆C的方程.21 LE.已知动点P (p, -1), Q (p,2 ),过Q作斜率为2的直线l, P Q中点M的轨迹为曲线C.(1)证明：l经过一个定点而且与曲线 C 一定有两个公共点；(2)若(1)中的其中一个公共点为 A,证明：AP是曲线C的切线；(3)设直线AP的倾斜角为，AP与l的夹角为口，证明：口十0或2一 口是定值.在平面直角坐标系内有两个定点F1、F2和动点P, F1、F2坐标分别为 R(一1

7、,0)、|PF1 | _ 2f2(1,0),动点p满足|PE 1 2 ,动点p的轨迹为曲线C ,曲线c关于直线y=x的对 称曲线为曲线C,直线y = x+m3与曲线C交于A、B两点，O是坐标原点， ABO 的面积为 7 ,(1)求曲线C的方程；(2)求m的值。22j =1(a 0,b 0)14.已知双曲线a b的左右两个焦点分别为 Fi、F2，点P在双曲线右支上.(I)若当点P的坐标为 5，5)时，PFJPF2，求双曲线的方程；(n)若|PFi 1=3|PF2 1,求双曲线离心率 e的最值，并写出此时双曲线的渐进线方程 .215.若F1、F 2为双曲线ay = 1b的左右焦点，O为坐标原点，P

8、在双曲线的左支上， 点OFi OMFiO = PM ,OP =九(+)(h 0)OF1 0MlM在右准线上，且满足；I I(1)求该双曲线的离心率；(2)若该双曲线过 N (2, J3),求双曲线的方程；(3)若过N (2, V3)的双曲线的虚轴端点分别为B1、B2 (B1在y轴正半轴上)，点A、B在双曲线上，且16.以O为原点,OF所在直线为x轴，建立如所示的坐标系。设OF,FG =1，点F的B2A = KB2B,求BiA,BB时，直线AB的方程.坐标为(t，0)，人3,e，点G的坐标为(x0, y0)o(1)求x0关于t的函数X0 = f (t)的表达式，判断函数f (t)的单调性，并证明

9、你的判断;S 二 Wt(2)设AOFG的面积 6 ，若以O为中心，F为焦点的椭圆经过点 G,求当|OG|取 最小值时椭圆的方程；(0,9)1T(3)在(2)的条件下，若点P的坐标为 2 ,c、d是椭圆上的两点，且PC =PD(九 求实数人的取值范围。2 2 .17.已知点C为圆(X 1) y 8的圆心，点A (1, 0), P是圆上的动点，点 Q在圆的半径 CP 上，且 MQ AP=0,AP=2AM.(I)当点P在圆上运动时，求点 Q的轨迹方程；(n)若直线y =4十2+1与(I)中所求点Q的轨迹交于不同两点 F, H, O是坐标原点，2 一 一 3- OF OH -且34 ,求 FOH的面积

10、的取值范围。18.如图所示，O是线段AB的中点，|AB|=2c,以点A为圆心，2a为半径作一圆，其中a0) ,若斜率为1的直线l过点P并与轨迹C交于不同的两点 A，B , 且对于轨迹C上任意一点M ,都存在8三0，2可，使得OM* = co朗OA + sinQ OB成立， 试求出满足条件的实数 t的值。.已知双曲线 a2 b2(a0,b0)的右准线l2与一条渐近线1交于两点P、Q, F是双曲线的右焦点。(I)求证：PF l ;(II)若 PQF为等边三角形，且直线 y=x+b交双曲线于A, B两点，且1ABi =，30 ,求 双曲线的方程；(III )延长FP交双曲线左准线11和左支分别为点

11、M、N,若M为PN的中点，求双曲线的离心率e。 5 二 1色口).已知又曲线 9 廿在左右顶点分别是 A, B,点P是其右准线上的一点，若点A关于点P的对称点是 M,点P关于点B的对称点是N,且M、N都在此双曲线上。(I)求此双曲线的方程；(II)求直线 MN的倾斜角。.如图，在直角坐标系中，点 A (-1,0), B (1,0), P (x,y)( y 0 )。设 AP OP BP 与x轴正方向的夹角分别为“、3、丫，若十十尸二元。(I)求点P的轨迹G的方程；(II)设过点C (0,-1)的直线1与轨迹G交于不同两点 M、N。问在x轴上是否存在一点E(Xo，0),使 MNE为正三角形。若存在

12、求出Xo值；若不存在说明理由。VP/ TOC o 1-5 h z AOB-x22C:彳 上=1 a b 0 m 2,1 口曲F1 -.2,0.设椭圆 a b过点 且焦点为。(1)求椭圆C的方程;(2)当过点P(4,1)的动直线？与椭圆C相交与两不同点 a、B时，在线段AB上取点Q, 满足神用=(即叫,证明:点Q总在某定直线上。.平面直角坐标系中， O为坐标原点，给定两点 A (1, 0)、B (0,2),点 C 满足 OC=OA + POB，其中外 PwRa-Pm(1)求点C的轨迹方程；22xy -4=1(a 0,b 0)(2)设点C的轨迹与双曲线 a b交于两点M、N,且以MN为直径一口为定

13、值的圆过原点，求证： a b.设F(1，0) , M、P分别为X轴、y轴上的点，且PM .PF = 0 ,动点N满足：MN - -2NP.(1)求动点N的轨迹E的方程；(2)过定点C(-C，0)(c0)任意作一条直线l与曲线E交与不同的两点 A、B,问在X轴 上是否存在一定点 Q,使得直线 AQ、BQ的倾斜角互补？若存在，求出Q点的坐标；若 不存在，请说明理由31.如图，直角梯形 ABCD 中，/ DAB =90 口，AD / BC, AB=2 , AD= 2 , BC= 2椭圆F以A、B为焦点，且经过点 D,(I )建立适当的直角坐标系，求椭圆 F的方程；(H)是否存在直线l与椭圆F交于M、

14、N两点，且线段MN的中点为点C ,若存在，求直线1的方程；若不存在，说明理由.如图所示，B ( -c, 0), C (c, 0), AH BC,垂足为 H ,且 BH =3HC(1)若而AC= 0,求以B、C为焦点并且经过点 A的椭圆的离心率;(2) D分有向线段AB的比为K, A、D同在以B、C为焦点的椭圆上,7当一5w，y 2时，求椭圆的离心率 e的取值范围.29.在直角坐标平面中， ABC的两个顶点A，B的坐标分别为A(-1,0), B(1,0) ,平面内两点G，m同时满足下列条件：MA = MB _ ImcI GA+GB+GC =0； I I I I lCGM/AB(1)求AABC的顶

15、点C的轨迹方程； 过点P(3,0)的直线l与(1)中轨迹交于E, F两点，求PE，PF的取值范围答案：1.解：(I)以A点为坐标原点，11为x轴，建立如图所示的坐标系，则 D(1 , 0), B(4, 0), 设 M (x, y),贝U N (x, 0). |BN|=2|DM| , . |4x|=2、(x 1)2+y2 ,整理得 3x2+4y2=12,，动点M的轨迹 方程为x2+ y2.解: =1 .(n). AG = ?.AD(ZR),T T TA、D、G三点共线，即点G在x轴上；又GE +GF =2GH , h点为线段EF的中点;-H H又. GH EF =0, 点G是线段 EF的垂直平分

16、线 GH与x轴的交点。设 l： y=k(x - 1)(k wQ)代入 3x2+4y2=12 得(3+4k2)x2 -8k2x+4k2 -12=0,由于 1 过点 D(1 , 0)是椭圆的焦点,l与椭圆必有两个交点，H的坐标为设 E(x1 , y1), F(x2, y2), EF 的中点x1+x2=8k24k2 123+4k2 , x1x2= 3+4k2x1+x24k23+4k2，y0=k(x0T)=3k3+4k2 线段EF的垂直平分线为4k23+4k2k23+4k2y- y0 = ： (x-x0),令 y=0 得, k点G的横坐标xG = ky0+x0 =: +3+4k21344(3+4k2)

17、 kwQ k20 ,3+4k23 , 0(3+4k2)1 ,344(3+4k2) 0)222即 x =4b -4y ( -b y b)设M (x, v)是椭圆上任意一点，则|PM |2=x2 +(y 3)2 = 3(y + 1)2 +4b2 +12( -b yb) HYPERLINK l bookmark12 o Current Document 22若 b 之1即b w -1 w b,则当 y = 1时 1PM |max=4b +12由已知有4b2 +12=16,得b=1；22若 0 b 1即-1 -b，则当 y = -b 时，1PM | max - b - 6b 92由已知有b 6b+9=

18、16,得b = 7 (舍去).综上所述，b=1, a=2.=1所以，椭圆的方程为25c 4b 3a 5 TOC o 1-5 h z 222c = a 。b3.解：（I）由已知2222& L=1巳-匕=1，椭圆的方程为259,双曲线的方程259_、- 34又C = v25+9 =434双曲线的离心率5(n )由(I ) A ( 5, 0) , B (5, 0)设 M (x0 ,y0)则由 AM = MP 得 M 为 AP 的中点252工19，P 点坐标为(2x0 +5,2y0)将M、p坐标代入c1、c2方程得252(2x0 5) V。.二 I2消去 y0 得 2x0 5x0 -25x0 =或 x

19、0解之得 2=5(舍)由此可得P (10, 3J3)当 P为(10, 3，3)时PB:3.3y 二10 -5(x-5)3. 3y=匚(x-5)即 5代入25=1 得：2x2 -15x 25 =0 xNxN = xMMN x 轴即MN AB-04.解:2xc2 c由题意可知c2+ y =14分 cg2 =1与3 x -x2(2)若 2tgU3,5.解：(1)直线AB依题意2c = 1,贝1J a = c2,222c ,b =a -c =c, 所以椭圆方程为设A(x1 , y1 ), B(x2, y2),将其代入椭圆方程相减，将yy2x1 +x2代入可化得11，tg： =| c1 11 -c 1l

20、=c 2c2 -c2 3 1 c 0 k20k2 0mx 二 一一-n准线方程 4 且有m=4n.准线与直线1交点在m（，0）x轴上，交点为 一 k又1 与 x 轴交于(2, 0), 1. m=4, n=1，抛物线方程为y2=4 （x+1）(k = 0)kxy+2k =0/曰 2 222(II)由彳导k2x2 +4(k2 -1)x+4(k2 1)=0 y2 =4(x +1)2.-16(1 -k ) 02x1 x2 _ 2(1 -k )2y y 21k0, b=|y|a2=b2+c2=x2+y2依左准线方程有222里 c = -2 . -x- x=-2 cx即 y2=2x(x0)a2=b2+c2

21、=x2+y2依左准线方程有若F为右焦点，则 x 0,故c=-x, b=|y|2-c =-222化简得 2x2+2x+y2=0 x -y .-(-X) - 2 即 x4( x 1)2 2y2 =1即 2(x0, yw。X , y =1,9.解：建立如原题图所示的坐标系，则 AB的方程为30 20 由于点P在AB上，可设P一 (x,20点的坐标为2x.2x_).S =(100 x) .80 (20 )(0MxM 30).3则长方形面积3s 22S 二x化简得 320200 x 6000(0 ：x |CA|=2 ,于是点Q的轨迹是以点C,A为焦点，半焦距c=1 ,长半轴a=j2的椭圆，短半轴b =

22、. a2 -c2=12 x点Q的轨迹E方程是：2y2y2 =1(2)设F ( x1 , y1) H(x2,y2),则由y = kx . k2 1消去 y 得(2k2 +1)x2 +4kVk2 +1x+2k2 =0,4 =8k20( k 二 0)x1X2 =4k k2 12k22, x1x2 ;22k2 12k2 1OF OH =x1x2 y1y2 =x1x2 (kx1k2 1)(kx2- k2 1)= (k2 1)x1x2 k . k2 1(x x2) k2 1(k2 1) 2k2 4k2(k2 1)22k2 122k2 12 k2 1 ： 3 1*F F K F I2,(Tk2)患3 2k

23、1 4 27| FH |=(1-k2)(xX2)2二4X1X2=又点O到直线FH的距离d=1,c 1S d |FH | =22k2(k2 1)2k2 1令t -2k2 121t 2,3, k -(t-1),，S力。-吗(t T)、1)-；/”1)当一 _111.2 _ t _ 3,. 一 29t2，:8日八3 J-即920及 x1x2 0,从而 k2 32k2 = 23x 33(x = 2)由得 x -4x - 45 x 解得 4且x * 25Xi (，二)当x=2时，直线m垂直于x轴，符合条件，4又设M到l的距离为d,则Xi,3d(x)= 一设2x 、x2 -15、x 1:)2由于函数丫 =

24、乂与y =Qx -1均为区间的增函数d(x)在4,-He)单调递减-5、3d=一d(x)的最大值=44limX ) 又2 x 工 x2 -1而M的横坐标2*)、.3d (0,)4法二:I : g = J3x为一条渐近线m位于l1时,m在无穷远，此时d 0m位于l2时,M 一；5 3.3(4,2匕=13点 M(4,7)、3 5-3 3d =440 二 d :,3故4223为半径的圆，圆上两my +4 = 0上,代入解19.解：(i)曲线x +y +2x 一6丫+1=0表示以(一113)为圆心，以点P、Q满足关于直线x +my +4=0对称,则圆心(-1,3)在直线x +得 m = -1.(2)直

25、线PQ与直线y =x + 4垂直,所以设PQ方程为y = -xb P(x1,y1)，Q(x2, y) TOC o 1-5 h z ,.22将直线y =-x b与圆的方程联立得2x 2(4 -b)x b 一6b由下0,解得23& 2+3v2.2-卜 / b -6b 1x 1 x 2 = b 4, x 1x 2 =2 .又以PQ为直径的圆过O点J. OP -LOQ 二 xx2 +yy2 =0解得 b =1 w (2 -3；2,2 +372).故所求直线方程为x . y .1 = 0.20.解:(1). . a = (x 4,y),b = (x + ,y)且动点Qdy)到两个定点B(一石0),f2(

26、遮0)的距离的和为4, 轨迹C是以F1(-60), F2(,0)为焦点的椭圆，方程为x 设A(x1，y1)，B(x2，y2),直线AB的方程为y = x-t,代入4 TOC o 1-5 h z 22消去 y得 5x -8tx+4t -4 = 0,_28t 4t -4.c 2Xi x2 = , XiX2 =由 Aa0 得 t 0,得t = 2,1010代入t= 2检验，满足条件，故t的值是2 。l : y = P x, c = . a2 b221.解：(1)不妨设 a.22, a _,a ab、12 : x =,p.(,)c c c , F.(c,0)设l的斜率为k1, PF的斜率为k2.ab

27、TOC o 1-5 h z c aba2.2 ,a -bb-ck2= ck1k2= - 1.即 PF l .b= 3,ab.(2)由题a3V =x +b,21b232匕-1 b2x2 -bx-b2=0,x1 + x2 = b,2x1 x2 = -b JAB = J1 +k2x1-X2= .11.5b = 30,. b=：/3=1.a=1, 双曲线方程为2/ 22、a a(a c )(3) 1 : PF y=M(bcxpxnx= Xm ,23a2_ 22a(3a c )bc )又N在双曲线上。9a2-2c222a 3a c2(r-2c b2 d c)=1, e = a0）,设点P、M、N的坐标依

28、次为e= 5.解：(I)点 A、B 的坐标为 A (-3, 0), B (3, i agcT+3)a (st)19 b3 TC bJ。-芋-3(1)则有4(2-)3-(-4 1)2 =34-得C C,解得c=5故所求方程是（ii）由得，十。一芋所以，M、N的坐标为衅项吟哨K -3tKmh-所以MN的倾斜角是如博演一般成出而.解：(I)由已知X 0,当x#1时,o(+P+=n,tag + P )=-tan.tan： tan- tan = t a n t a n t a ny y-+ +x 1 x3x2 - y2 = 1 (y = 0):1P 1 - 2当x = 1时，也满足方程 TOC o 1-

29、5 h z 22所求轨迹G方程为3x - y = 1 (y = 0, x 0)(II)假设存在点 日X，0),使AMNE为正22设直线 1 方程：y = kx -1 代入3x -y =1(x0, y#0)22_3 -k x 2kx-2=0 得： =4k2 +8(3-k2 )0-2kT 03-k2-2r 0,3-k2F - kMN 中点 3 一 k-33-k2| MN | = 1 k2 , x1 x2 2 -4x1x2 =1 k24k283- k2,一31ef- y-3-k2k -3-k2-4kn2，03 -k2二 EF9k2(3 -k2 ；2 23-k3在正 EMN中，2MN = EF23 G

30、2l J83-k24k22 +2-k(3-k2)3 - k)(k22-3 =13- k2 = 3与 y3 k 76 矛盾，不存在这样的点E(X0, 0 )使 MNE 为正c2 =224.解:(1)由题意:1 -1 b22.2=a - b2 2解得a -4,b=2,2X所求椭圆方程为42二12(2)解：设过P的直线方程为:Q(X0, Vo A(Xi ,yi )B X222土 j4 2y =kX -4k 14 ,1QPOXBX2 , V2x0，Vo2k2 1 x2 4k-16k2x 32k2 -16k -2 =0X1_216k -4k2k2 1X1X22_32k -16k - 22k2 1.AP

31、QB=AQ !Pb4 - X1 _ 4 -X2,即 X1 -Xo Xo -X2化简彳导,8x0 - 4 X0 X1 X2 2x1X2 =0去分母展开得:16k2 -4k 22k2 +1kJ32k2 -16k -222k2 +122216k X0 8X0 -64k16k -16k X0._ . 2 _4kX0 64k2 -32k -4=0k -1 -2x0化简彳导:2x0 4k1 =0 ,解得： Xo 4又Q在直线y -1 =k(X )上,y0 -1 二1 -2X0X。- 4x0 -4 1；.y1=12x即 2x。+y。-2 =0 ,. q恒在直线2x +y 一2 =0上。25.解：(1)解：设

32、 C(x,y),因为 OC =aOA + Bob,则(x,y)=c(1,0)+P(0,2)X =a、y = -2 0:-2：=1 x y = 1即点C的轨迹方程为X+y=1x y =1(2)由 x2y2 得：(b2-a2)x2-1a2 b22a2x2 -a2 -a2b2 =0由题意得 b2 -a2 =0设M（X1，y1）,N（X2, y2）则：整 +x?)_ 22 , 2i22aa a b_ )X1X0 - _ cc22 1 222b - ab - a因为以MN为直径的圆过原点，OM ON =0,即x1x2+y1y2 = 02a22(a2 a2b2)X1X2 (1 -X2)(1 -X2) =1 -(X1 X2) 2x1X2 =12 一-2= 0b - a b - a即b2 -a2-2a2b2 =0,.工-4=2为定值 a b、P(0,-)26.解：(i)设 N(X, y),则 2、M(-X，0), PM =(-x,-yPF = (i,-y) 222 y - .一X 二02) 又 PM PF = 0,4 ，即 y =4x(2)设直线 的方程为：y=k(X+c), A(Xi,yi)、B(X2，y2)假设存在点Q(t，0) 满足题意，则kAQ +kBQ