时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法

1、第5章 时域离散系统的基本(jbn)网络结构与状态变量分析法 5.1 引言 5.2 用信号流图表示网络结构5.3 无限长脉冲响应基本(jbn)网络结构5.4 有限长脉冲响应基本网络结构5.5 状态变量分析法共七十二页5.1 引言(ynyn) 一般时域离散系统或网络可以用差分方程(fngchng)、单位脉冲响应以及系统函数进行描述。如果系统输入输出服从N阶差分方程 其系统函数H(z)为 共七十二页 给定一个差分方程，不同的算法(sun f)有很多种，例如： 共七十二页5.2 用信号流图表示(biosh)网络结构 观察(5.1.1)式，数字信号处理中有三种基本算法，即乘法、加法和单位延迟(ynch

2、)，三种基本运算用流图表示如图5.2.1所示。 共七十二页图5.2.1 三种基本运算(yn sun)的流图表示共七十二页 和每个节点连接的有输入(shr)支路和输出支路，节点变量等于所有输入(shr)支路的输出之和。在图5.2.2中， (5.2.1) 共七十二页 图5.2.2 信号流图(a)基本(jbn)信号流图；(b)非基本信号流图共七十二页 不同的信号流图代表不同的运算方法(fngf)，而对于同一个系统函数可以有很多种信号流图相对应。从基本运算考虑，满足以下条件，称为基本信号流图(Primitive Signal Flow Graghs)。 (1) 信号流图中所有支路都是基本的，即支路增益

3、是常数或者是z-1； (2) 流图环路中必须存在延时支路； (3) 节点和支路的数目是有限的。 共七十二页 例5.2.1 求图5.2.2(a)信号流图决定(judng)的系统函数H(z)。 解 将5.2.1式进行z变换，得到 经过联立求解(qi ji)得到：共七十二页 FIR网络中一般不存在输出(shch)对输入的反馈支路，因此差分方程用下式描述： 其单位脉冲响应h(n)是有限长的，按照(nzho)(5.2.2)式，h(n)表示为 其它n 共七十二页 另一类IIR网络结构存在输出对输入的反馈支路，也就是说，信号流图中存在环路。这类网络的单位脉冲响应是无限长的。例如一个简单的一阶IIR网络差分方

4、程(fngchng)为 y(n)=ay(n-1)+x(n) 其单位脉冲响应h(n)=anu(n)。这两类不同的网络结构各有不同的特点，下面分类叙述。共七十二页5.3 无限(wxin)长脉冲响应基本网络结构 1.直接(zhji)型 对N阶差分方程重写如下： 共七十二页 图5.3.1 IIR网络(wnglu)直接型结构 共七十二页 例5.3.1 IIR数字滤波器的系统(xtng)函数H(z)为画出该滤波器的直接型结构。 解 由H(z)写出差分(ch fn)方程如下：共七十二页图5.3.2 例5.3.1图共七十二页 2. 级联型 在(5.1.2)式表示的系统函数(hnsh)H(z)中，公子分母均为多

5、项式，且多项式的系数一般为实数，现将分子分母多项式分别进行因式分解，得到(5.3.1) 形成一个(y )二阶网络Hj(z)；Hj(z)如下式：(5.3.2) 共七十二页 式中，0j、1j、2j、1j和2j均为实数。这H(z)就分解成一些一阶或二阶数字网络的级联形式，如下式： H(z)=H1(z)H2(z)Hk(z) (5.3.3) 式中Hi(z)表示一个(y )一阶或二阶的数字网络的系统函数，每个Hi(z)的网络结构均采用前面介绍的直接型网络结构，如图5.3.3所示。 共七十二页 图5.3.3 一阶和二阶直接(zhji)型网络结构(a)直接型一阶网络结构；(b)直接型二阶网络结构 共七十二页

6、例5.3.2 设系统(xtng)函数H(z)如下式： 试画出其级联型网络结构。 解 将H(z)分子分母进行(jnxng)因式分解，得到 共七十二页 3.并联型 如果将级联形式的H(z)，展开部分分式(fnsh)形式，得到IIR并联型结构。 图5.3.4 例5.3.2图 共七十二页 式中，Hi(z)通常为一阶网络和二阶网络，网络系统均为实数。二阶网络的系统函数(hnsh)一般为(5.3.4) 式中，0i、1i、1i和2i都是实数。如果a2i=0则构成(guchng)一阶网络。由(5.3.4)式，其输出Y(z)表示为 Y(z)=H1(z)X(z)+H2(z)X(z)+Hk(z)X(z)共七十二页

7、例5.3.3 画出例题5.3.2中的H(z)的并联(bnglin)型结构。 解 将例5.3.2中H(z)展成部分分式形式： 将每一部分用直接型结构实现(shxin)，其并联型网络结构如图5.3.5所示。 共七十二页 图5.3.5 例5.3.3图 共七十二页5.4 有限(yuxin)长脉冲响应基本网络结构 FIR网络结构特点是没有反馈(fnku)支路，即没有环路，其单位脉冲响应是有限长的。设单位脉冲响应h(n)长度为N，其系统函数H(z)和差分方程为共七十二页 1.直接型 按照H(z)或者差分方程直接画出结构图如图5.4.1所示。这种结构(jigu)称为直接型网络结构(jigu)或者称为卷积型结

8、构(jigu)。 图5.4.1 FIR直接(zhji)型网络结构 共七十二页 2. 级联型 将H(z)进行因式分解，并将共轭成对的零点放在一起，形成一个系数为实数的二阶形式，这样级联型网络结构就是由一阶或二阶因子构成的级联结构，其中每一个因式都用直接型实现。 例5.4.1 设FIR网络系统函数(hnsh)H(z)如下式： H(z)=0.96+2.0z-1+2.8z-2+1.5z-3 画出H(z)的直接型结构和级联型结构。 共七十二页 解 将H(z)进行因式分解(yn sh fn ji)，得到： H(z)=(0.6+0.5z-1)(1.6+2z-1+3z-2) 其直接型结构和级联型结构如图5.4

9、.2所示。 图5.4.2 例5.4.1图共七十二页 3. 频率采样结构 频率域等间隔采样，相应(xingyng)的时域信号会以采样点数为周期进行周期性延拓，如果在频率域采样点数N大于等于原序列的长度M，则不会引起信号失真，此时原序列的z变换H(z)与频域采样值H(k)满足下面关系式： 设FIR滤皮器单位脉冲响应h(n)长度为M，系统函数H(z)=ZTh(n)，(5.4.1)式中H(k)用下式表示： (5.4.1) 共七十二页 要求频率域采样点数NM。(5.4.1)式提供了一种称为频率采样的FIR网络结构。请读者(dzh)分析IIR滤波网络，为什么不采用频率采样结构。将(5.4.1)式写成下式：

10、 (5.4.2) 式中 Hc(z)是一个梳状滤皮网络(wnglu)(参考第八章)，其零点为共七十二页图5.4.3 FIR滤波器频率采样(ci yn)结构 共七十二页 (1)在频率采样点k，H(ejk)=H(k)，只要调整H(k)(即一阶网络Hk(z)中乘法器的系数H(k)，就可以有效地调整频响特性，使实际调整方便。 (2)只要h(n)长度N相同，对于任何频响形状，其梳状滤波器部分和N一阶网络部分结构完全相同，只是各支路增益H(k)不同。这样(zhyng)，相同部分便于标准化、模块化。 共七十二页 然而，上述频率采样结构亦有两个缺点： (1)系统稳定是靠位于单位圆上的N个零极点对消来保证的。 (

11、2)结构中，H(k)和W-kN一般为复数，要求乘法(chngf)器完成复数乘法(chngf)运算，这对硬件实现是不方便的。 为了克服上述缺点，对频率采样结构作以下修正。 首称将单位圆上的零极点向单位圆内收缩一点，收缩到半径为r的圆上，取r1且r1。此时H(z)为(5.4.3) 共七十二页 另外，由DFT的共轭对称性知道，如果h(n)是实数(shsh)序列，则其离散傅里叶变换H(k)关于N/2点共轭对称，即H(k)=H*(N-k)。而且W-kN=W-(N-k)N，我们将hk(z)和 H N-k(z)合并为一个二阶网络，并记为Hk(z)，则共七十二页 显然，二阶网络Hk(z)的系数都为实数，其结构

12、(jigu)如图5.4.4(a)所示。当N为偶数时，h(z)可表示为式中 (5.4.4) 共七十二页 式中，H(0)和H(N/2)为实数。(5.4.4)式对应的频率采样修正结构由N/2-1个二阶网络和两个(lin )一阶网络并联构成，如图5.4.4(b)所示。图5.4.4 频率采样修正(xizhng)结构 共七十二页 当N=奇数时，只有(zhyu)一个采样值H(0)为实数，H(z)可表示为(5.4.5) 共七十二页5.5 状态变量分析法 1. 状态方程和输出方程 状态变量分析法有两个基本方程，即状态方程和输出方程。状态方程把系统内部一些称为状态变量的节点(ji din)变量和输入联系起来；而输

13、出方程则把输出信号和那些状态变量联系起来。 共七十二页 图5.5.1是二阶网络基本信号流图，有两个延时支路(zh l)，因此建立两个状态变量w1(n)和w2(n)。下面建立流图中其它节点w2和输出y(n)与状态变量之间的关系。 (5.5.1) (5.5.2) (5.5.3) 将以上w1(n+1)、w2(n+1)和y(n)写成矩阵(j zhn)形式：(5.5.4) 共七十二页图5.5.1 二阶网络(wnglu)基本信号流图 共七十二页 图5.5.2示出更为一般的二阶网络基本信号流图，两个延时支路(zh l)输出节点定为状态变量w1(n)和w2(n)。按照信号流图写出以下方程： 共七十二页图5.5

14、.2 一般(ybn)二阶网络基本信号流图 共七十二页 将以上w1(n+1)、w2(n+1)和y(n)写成矩阵(j zhn)形式：(5.5.6)(5.5.7)再用矩阵符号(fho)表示： (5.5.8)(5.5.9) 共七十二页 式(5.5.8)和式(5.5.9)分别称为图5.5.2二阶网络的状态方程和输出(shch)方程。 如果系统中有N个单位延时支路，M个输入信号：x1(n),x2(n),xM(n)，L个输出信号y1(n),y2(n),，yL(n)，则状态方程和输出方程分别为 (5.5.10)(5.5.11) 式中共七十二页图5.5.3 状态变量分析法共七十二页 例5.5.1 建立(jinl

15、)图5.5.4流图的状态方程和输出方程。 图5.5.4 例5.5.1图共七十二页 信号流图中有两个延时支路，分别建立两个状态变量w1(n)和w2(n)(如图5.5.4所示)，然后列出延时支路输入(shr)端节点方程如下： 将上式写成矩阵(j zhn)方程： (5.5.12) 共七十二页 输出(shch)信号y(n)的方程推导如下： y(n)=b0w1(n+1)+b1w1(n)+b2w2(n) 将上面w1(n+1)的方程代入上式：y(n) =a1b0w1(n)+b0a2w2(n)+b0 x(n)+b1w1(n)+b2w2(n) =(a1b0+b1)w1(n)+(a2b0+b2)w2(n)+b0

16、x(n)共七十二页 例 5.5.2直接(zhji)写出图5.5.4信号流图的 A、B、C和D参数矩阵。 解 要注意：从wi(n)到输出节点可能不止一条通路，要把所有(suyu)通路增益加起来，即 d表示从输入节点到输出节点的通路增益，这里d=d0，最后得到四个参数矩阵为共七十二页 例5.5.3 已知系统(xtng)函数H(z)为 (1)画出H(z)的级联型网络结构；(2)根据已画出的流图写出其状态方程和输出(shch)方程。 共七十二页 图5.5.5 例5.5.3图 共七十二页 在延时支路输出端建立(jinl)状态变量w1(n)、w2(n)和w3(n)(如图5.5.5所示)。写出状态变量 w1

17、(n+1) =-0.5w1(n)+2x(n) w2(n+1)=w1(n+1)-w1(n)+0.9w2(n)-0.81w3(n) =-1.5w1(n)+0.9w2(n)-0.81w3(n)+2x(n) w3(n+1)=w2(n) 将以上三个方程写成矩阵方程：共七十二页输出方程为y(n)=w2(n+1)-1.414w2(n)+0.7w3(n)将上面(shng min)得到的w2(n+1)方程代入上式，得到：y(n)=-1.5w1(n)-0.514w2(n)-0.11w3(n)+2x(n)将y(n)写成矩阵方程，即是要求的输出方程。y(n)=-1.5-0.514-0.11w1(n)w2(n)w3(n

18、)T+2x(n) 共七十二页 例5.5.4 已知FIR滤波网络系统函数H(z)为 解画出直接型结构如图5.5.6所示，在延时支路(zh l)输出端建立状态变量w1(n)、w2(n)和w3(n)。根据参数矩阵中各元素的意义，直接写出状态方程和输出方程如下：y(n)=a1 a2 a3w1(n) w2(n) w3(n)T+a0 x(n)共七十二页 图5.5.6 例5.5.4图 共七十二页 2. 由状态变量分析法转换到输入输出分析法 把单输入单输出的状态方程和输出方程重写如下(rxi)： W(n+1)=AW(n)+Bx(n) (5.5.14) y(n)=CW(n)+dx(n) (5.5.15) 将上面

19、两式进行Z变换 zW(z)=AW(z)+BX(z) (5.5.16) Y(z)=CW(z)+dX(z) (5.5.17) 共七十二页 式中 W(z)=W1(z)W2(z)WN(z)T Wi(z)=ZTwi(n) X(z)=ZTx(n) Y(z)=ZTy(n) 由(5.5.16)式得到(d do)： W(z)=zI-A-1 BX(z) (5.5.18) 将上式代入(5.5.17)式，得到：(5.5.19) 共七十二页 例5.5.5 已知二阶网络的四个参数矩阵(j zhn)如下：求该网络的系统(xtng)函数。解 共七十二页 系统频响决定于H(z)的零、极点分布。设H(z)=B(z)/A(z)，其

20、极点为A(z)=0的解。由(5.5.19)式得到： A(z)多项式称为A 矩阵(j zhn)的特征多项式，其根为A矩阵的特征值，因此A矩阵的特征值就是H(z)的极点。如果A矩阵全部特征值的模均小于1，系统因果稳定，否则系统因果不稳定。(5.5.20) 共七十二页 z2-3z+2=0 特征值 1=1, 2=2 极点(jdin) z1=，z2=2 将状态方程重写如下： W(n+1)=AW(n)+Bx(n)共七十二页 方程式左端是n+1时刻(shk)的状态变量矢量，右端是n时刻的状态变量矢量和输入x(n)的线性组合。由起始值 W(n0)，用递推法求出W(n)的时域解： n=n0时，W(n0+1) =

21、AW(n0)+Bx(n0) n=n0+1时，W(n0+2)=AW(n0 +1)+Bx(n0 +1) =AAW(n0)+Bx(n0)+Bx(n0 +1) =A2W(n0)+ABx(n0)+B x(n0 +1) n= n0 +k时W(n0+k+1)=A k+1 W(n0)+AkBx(n0)+ A k-1 Bx(n0+1)+ABx(n0+k-1)+Bx(n0+k)共七十二页 令n=n0+k+1，则 将n换成n，则(5.5.21) 为求单位脉冲响应，将(5.5.15)式中的x(n)用(n)代替(dit)，W(n)用(5.5.21)式中的零状态响应代替，且令n0=0，此时y(n)=h(n)，得到：共七十

22、二页(5.5.22) (5.5.23)共七十二页 例5.5.6 求图5.5.7所示的N阶FIR格形网络的系统函数(hnsh)以及单位脉冲响应。图5.5.7 例5.5.6图 共七十二页 解 首先建立状态变量w1(n),w2(n),wN(n)，如图所示。这种网络(wnglu)没有反馈支路，直接写出各参数矩阵： 设N=2，则有共七十二页 将上式进行反变换，得单位取样响应： h(n)=(n)+k1(1+k2)(n-1)+k2(n-2) 如果用(5.5.22)式求h(n)，也得到(d do)同样的结果，但要求A矩阵的n-1次幂。关于求矩阵的幂，请参考本书附录B。共七十二页 3. 线性变换 下面研究在不改变系统(xtng)传输函数的条件下，如何对状态变量进行线性变换。设T是NN非奇异矩阵。系统中有N个延时支路。令 G(k)=T-1W(k) (5.5.25) G(k+1)=T-1W(k+1) =T-1AW(k)+BX(k) =T-1 ATG(k)+T-1 BX(k) (5.5.26) Y(k)=CW(k)+DX(k)=CTG (k)+DX(k) (5.5.27)共七十二页 按照(5.5.26)式和(5.5.27)