26.3实践与探索

1、第26章 26.3 二次函数的解析式二次函数 二次函数是初中代数的重要内容之一，也是历年中考的重点。这部分知识命题形式比较灵活，既有填空题、选择题，又有解答题，而且常与方程、几何、三角等综合在一起，出现在压轴题之中。 因此，熟练掌握二次函数的相关知识，会灵活运用一般式、顶点式、交点式求二次函数的解析式是解决综合应用题的基础和关键。一、二次函数常用的几种解析式的确定已知抛物线上三点的坐标，通常选择一般式。已知抛物线上顶点坐标（对称轴或最值），通常选择顶点式。 已知抛物线与x轴的交点坐标，选择交点式。1、一般式2、顶点式3、交点式（两根式）二、求二次函数解析式的思想方法 1、 求二次函数解析式的常

2、用方法： 2、求二次函数解析式的 常用思想： 3、二次函数解析式的最终形式：待定系数法、配方法、数形结合等。转化思想 : 解方程或方程组 无论采用哪一种解析式求解，最后结果最好化为一般式。解：设所求的二次函数为y=ax2+bx+c由条件得：a-b+c=10a+b+c=44a+2b+c=7解方程得：因此：所求二次函数是：a=2, b=-3, c=5y=2x2-3x+5oxy例 1 三、应用举例 已知一个二次函数的图象过点（1,10）、（1,4）、（2,7）三点，求这个函数的解析式.知道任意三点的坐标，设 一般式解：设所求的二次函数为y=a(x1)2-3由条件得：yox点( 0,-5 )在抛物线上

3、a-3=-5, 得a=-2故所求的抛物线解析式为 y=2(x1)2-3即：y=2x2-4x5例 2 已知抛物线的顶点为（1，3），与轴交点为（0，5）求抛物线的解析式.知道顶点坐标，设 顶点式解：设所求的二次函数为y=a(x1)(x1）由条件得：yox点M( 0,1 )在抛物线上所以：a(0+1)(0-1)=1得： a=-1故所求的抛物线解析式为 y=- (x1)(x-1)即：y=x2+1例 3已知抛物线与X轴交于A（1，0），B（1,0）并经过点M（0,1），求抛物线的解析式？知道与x轴的交点坐标，设 交点式已知二次函数 的图像如图所示，求其解析式。解法一： 一般式设解析式为顶点C（1，4）

4、，对称轴 x=1.A(-1,0)与 B关于 x=1对称，B（3，0）。A(-1,0)、B（3，0）和C（1，4）在抛物线上， 即：利用三种方式求解析式：已知二次函数 的图像如图所示，求其解析式。解法二：顶点式设解析式为顶点C（1，4）又A(-1,0)在抛物线上， a = -1即： h=1, k=4.解法三：交点式设解析式为抛物线与x 轴的两个交点坐标 为 A (-1,0)、B（3，0） y = a (x+1) (x- 3)又 C（1，4）在抛物线上 4 = a (1+1) (1-3) a = -1 y = - ( x+1) (x-3)即：已知二次函数 的图像如图所示, 求其解析式。例4、已知抛

5、物线的顶点是(3,-2),且与x轴的两个交点之间的距离是4,求此二次函数的解析式.解：设函数关系式 y=a(x-3)2-2抛物线与x轴两交点距离为4,对称轴为x=3过点(5,0)或(1,0)把(1,0)代入得, 4a=2a=21y= (x-3)2-221变式：例5、已知抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=-x2-3x+7的形状相同,顶点在直线x=1上,且顶点到x轴的距离为5,请写出满足此条件的抛物线的解析式.解:抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=-x2-3x+7的形状相同 a=1或-1 又 顶点在直线x=1上,且顶点到x轴的距离为5, 顶点为(1,5)或(1,-5) 所以其解析式为: (

6、1) y=(x-1)2+5 (2) y=(x-1)2-5 (3) y=-(x-1)2+5 (4) y=-(x-1)2-5 展开成一般式即可.变式：1、已知二次函数的图像过原点，当x=1时，y有最小值为-1，求其解析式。 四、尝试练习解：设二次函数的解析式为 x = 1, y= -1 , 顶点（1，-1）。又（0，0）在抛物线上， a = 1 即： 2、已知二次函数与x 轴的交点坐标为（-1，0）,（1，0），点（0，1）在图像上，求其解析式。解：设所求的解析式为抛物线与x轴的交点坐标为（-1，0）、（1，0） 又点（0，1）在图像上， a = -1即：四、尝试练习1、已知二次函数的图像过点(0

7、, 0)，(1,3)，(2,-7)三点，则该二次函数关系式为_。2、若二次函数的图像有最高点为(1,6)，且经过点(2，8），则此二次函数的关系式_3、若二次函数的图像与x轴的交点坐标为(1,0)、(2,0)且过点(3,4)，则此二次函数的关系式为_小试牛刀4、二次函数y= ax2+bx+c的对称轴为x=3，最小值为2，且过点（0，1），求此函数的解析式。5、已知二次函数的对称轴是直线x1，图象上最低点P的纵坐标为-8，图象经过点(-2，10)，求这个函数的解析式 6、已知抛物线与X轴交于A（-1，0），B（1,0）并经过点M（0,1），求抛物线的解析式？7、已知二次函数y=ax2+bx+c的

8、最大值是2，图象顶点在直线y=x+1上，并且图象经过点（3，-6）。求a、b、c。解：二次函数的最大值是2抛物线的顶点纵坐标为2又抛物线的顶点在直线y=x+1上当y=2时，x=1 顶点坐标为（ 1 ， 2）设二次函数的解析式为y=a(x-1)2+2又图象经过点（3，-6）-6=a (3-1)2+2 a=-2二次函数的解析式为y=-2(x-1)2+2即： y=-2x2+4x 8、 已知：抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示：（1）求此抛物线的解析式；（2）当x取何值时，y0？（3）将抛物线作怎样的一次平移,才能使它与坐标轴仅有两个交点,并写出此时抛物线的解析式。xyoABDC-15-2.5课堂小结求二次