22.1一元二次方程

1、21.2.4 一元二次方程根与系数的关系源汇区空冢郭乡中1.一元二次方程的解法2.求根公式 复习提问数学活动一一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0) 的求根公式： X=(b2-4ac 0)1. 填表，观察、猜想 数学活动二 方程 x1, x2 x1,+ x2 x1. x2 x2-2x+1=0 1,121x2+3x-10=02,-5-3-10 x2+5x +4=0-1,-4-54问题：你发现什么规律？用语言叙述你发现的规律； x2+px+q=0的两根x1, x2用式子表示你发现的规律。 根与系数关系 如果关于x的方程的两根是 , ,则:如果方程二次项系数不为1呢?数学活动三 方 程x1, x

2、2 x1,+ x2 x1. x2 2x2-3x-2=0 3x2-4x+1=0 问题：上面发现的结论在这里成立吗？请完善规律；用语言叙述发现的规律； ax2+bx+c=0的两根x1, x2用式子表示你发现的规律：一元二次方程的根与系数的关系：如果方程ax2+bx+c=0(a0)的两个根是X1 , X2 ,那么X1+x2= , X1x2= -（韦达定理）注：能用根与系数的关系的前提条件为b2-4ac0韦达（15401603） 韦达是法国十六世纪最有影响的数学家之一。第一个引进系统的代数符号，并对方程论做了改进。 他生于法国的普瓦图。年青时学习法律当过律师，后从事政治活动，当过议会的议员，在对西班牙

3、的战争中曾为政府破译敌军的密码。韦达还致力于数学研究，第一个有意识地和系统地使用字母来表示已知数、未知数及其乘幂，带来了代数学理论研究的重大进步。韦达讨论了方程根的各种有理变换，发现了方程根与系数之间的关系（所以人们把叙述一元二次方程根与系数关系的结论称为“韦达定理”）。 韦达在欧洲被尊称为“代数学之父”。 一元二次方程根与系数关系的证明：X1+x2=+=-X1x2=1、 x2 - 2x - 1=02、 2x2 - 3x + =03、 2x2 - 6x =04、 3x2 = 4x1+x2=2x1x2=-1x1+x2=x1+x2=3x1+x2=0 x1x2=x1x2=0 x1x2= -示例典型题

4、讲解：例1、已知3x2+2x-9=0的两根是x1 , x2 。 求：(1) (2) x12+x22解：由题意可知x1+x2= - , x1 x2=-3(1)= =(2) (x1x2)2 x12+x22 2x1x2x12+x22 (x1x2)2 -2x1x2(- )2 -2(-3)6变式 练习：设x1，x2是方程2x2+4x- 3=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值。（2） （1）（）（x1- x2）2典型题讲解：例2、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2 , 求它的另一个根及k的值。解：设方程的另一个根为x1.把x=2代入方程，得 4-2(k+1)+3k=0解这方程，得

5、 k= - 2由根与系数关系，得x123k 即 2 x1 6 x1 3答：方程的另一个根是3 , k的值是2。试一试1、已知方程3x219x+m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值。2、设x1,x2是方程2x24x3=0的两个根，求(x1+1)(x2+1)的值。解：设方程的另一个根为x1,则x1+1= , x1= ,又x11= , m= 3x1 = 16 解：由根与系数的关系，得x1+x2= - 2 , x1 x2= (x1+1)(x2+1) = x1 x2 + (x1+x2)+1 =-2+( )+1=练习1已知关于x的方程当m= 时,此方程的两根互为相反数.当m= 时,此方程的两根互为倒

6、数.11分析:1.2.练习:2.以2和 为根的一元二次方程（二次项系数为）为：练习3 已知两个数的和是1，积是-2，则 两 个数是 。2和-1解法(一):设两数分别为x,y则:解得:x=2y=1或 1y=2解法(二):设两数分别为一个一元二次方程的两根则:求得两数为2,已知两个数的和与积，求两数练习4 已知方程的两个实数根 是且 求k的值。 解：由根与系数的关系得 X1+X2=-k， X1X2=k+2 又 X12+ X2 2 = 4 即(X1+ X2)2 -2X1X2=4 K2- 2(k+2）=4 K2-2k-8=0 = K2-4k-8当k=4时， 0当k=-2时，0 k=-2解得：k=4 或

7、k=2拓广探索1、当k为何值时，方程2x2-(k+1)x+k+3=0的两根差为1。解：设方程两根分别为x1,x2(x1x2)，则x1-x2=1 (x2-x1)2=(x1+x2)2-4x1x2由根与系数的关系得x1+x2= , x1x2=解得k1=9,k2= -3当k=9或-3时，由于0，k的值为9或-3。2、设x1，x2是方程x2-2(k-1)x+k2=0的两个实数根，且x12+x22=4，求k的值。拓广探索解：由方程有两个实数根，得即-8k+40由根与系数的关系得x1+x2= 2(k-1) , x1x2=k2 X12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=4(k-1)2-2k2=2k2-8k+4由X12+x22 =4，得2k2-8k+44解得k1=0 , k2=4经检验， k2=4不合题意，舍去。 k=0拓展3：方程 有一个正根，一个负根，求m的取值范围。解:由已知,=即m0m-100m1一正根，一负根0X1X20两个正根0X1X20X1+X20两