【学习课件】第3章离散付氏变换

1、第三章 离散傅里叶变换精选课件主要内容离散傅里叶级数（DFS）离散傅里叶变换（DFT）抽样z变换频域抽样理论精选课件一.DFT是重要的变换 1.分析有限长序列的有用工具。 2.在信号处理的理论上有重要意义。 3.在运算方法上起核心作用，谱分析、 卷积、相关都可以通DFT在计算机上 实现。 3-1引言精选课件二.DFT是现代信号处理桥梁 DFT要解决两个问题：一是离散与量化，二是快速运算。信号处理DFT(FFT)傅氏变换离散量化精选课件傅里叶变换的几种形式： 时间函数 频率函数连续时间、连续频率傅里叶变换连续时间、离散频率傅里叶级数离散时间、连续频率序列的傅里叶变换离散时间、离散频率离散傅里叶变

2、换精选课件 FT3.2 傅里叶变换的几种可能形式t00精选课件 FS 时域周期化，频域离散化0t-0精选课件时域离散化，频域周期化。DTFTx(nT)T-T0T2Tt0-精选课件但是，前三种傅里叶变换对都不适于计算机上运算，因为它们至少在一个域（时域或频域）中函数是连续的。因此，我们感兴趣的是时域及频域都是离散的情况。精选课件若时域离散并周期化，频域周期化并离散化。t0T2T1 2 N n0 0 1 2 3kNTx(nT)=x(n)精选课件四种傅里叶变换形式的归纳 时间函数频率函数连续和非周期非周期和连续连续和周期(T0)非周期和离散(0=2/T0)离散(T)和非周期周期(s=2/T)和连续离

3、散(T)和周期(T0)周期(s=2/T)和离散(0=2/T0)精选课件DFT的简单推演： 在一个周期内，可进行如下变换：精选课件精选课件视作n的函数，视作k的函数，这样,正反精选课件3.3 离散傅里叶级数DFS ( Discrete Fourier Series ) 连续周期信号:周期序列 ( r 为整数, N 为周期) 导出周期序列DFS的传统方法是从连续的周期信号的复数傅氏级数开始的一、周期序列DFS的引入精选课件因 是离散的，所以 应是周期的。代入而且，其周期为 ，因此 应是N点的周期序列。对上式进行抽样，得：精选课件 又由于 所以求和可以在一个周期内进行，即 这就是说，当在k=0,1,

4、., N-1求和与在k=N,.,2N-1求和所得的结果是一致的。精选课件二. 的k次谐波系数 的求法1.预备知识精选课件 同样，当 时，p也为任意整数，则所以亦即精选课件2. 的表达式 将式 的两端乘 ，然后从 n=0到N-1求和则：精选课件精选课件的DFS精选课件 通常将定标因子1/N移到 表示式中。即：精选课件3.离散傅氏级数的习惯表示法 通常用符号 代入，则：正变换：反变换：精选课件DFS的图示说明精选课件函数的几个性质：1.共轭对称性：2.同期性：i为整数3.可约性：4.正交性：i为整数精选课件4. 的周期性与用Z变换的关系周期性：精选课件 可看作是对 的一个周期 做z变换然后将z变换

5、在z平面单位圆上按等间隔角 抽样得到K=01234567jImRez|z|=1N=8精选课件例：周期序列 展开为DFS，求其系数。解：方法1 整理x(n)有(N=12)：与DFS定义对比知：在 和 时： 方法2 由定义式直接计算，得 精选课件-2 -1 0 1 2 10 11 nN=12-2 -1 0 1 2 11 12 k6精选课件精选课件精选课件精选课件3.4 离散傅里叶级数的性质FS性1、线性：其中， 为任意常数若则精选课件2、序列的移位精选课件3、调制特性精选课件4、对偶性证：精选课件5、周期卷积和若则讨论: 周期卷积与线性卷积的区别在于：周期卷积求和只在一周期内进行。(注意周期信号的

6、线性卷积不存在)式中的卷积称为周期卷积精选课件精选课件精选课件精选课件0 5 0 5 4 3 2 1 4 3 2 15 4 5 4 3 2 1 0 3 2 1 04 3 4 3 2 1 0 5 2 1 0 53 2 3 2 1 0 5 4 1 0 5 42 1 2 1 0 5 4 3 0 5 4 31 0 1 0 5 4 3 2 5 4 3 21 2 1 2 3 4 5 0 3 4 5 01 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 06 7 0 1 2 3 4 5 -4 -3 -2 -110 8 6 10 14 12 精选课件同样，利用对称性 若则精选课件3.5 离散傅里叶变换有限长序列的离散

7、频域表示在进行DFS分析时，时域、频域序列都是无限长的周期序列周期序列实际上只有有限个序列值有意义长度为N的有限长序列可以看成周期为N的周期序列的一个周期（主值序列）借助DFS变换对，取时域、频域的主值序列可以得到一个新的变换DFT，即有限长序列的离散傅里叶变换精选课件另外一种写法是其中 表示对 n 取模N 运算(或模 N的余数)。对周期信号而言, 或 。精选课件举例：设周期为 N=6。则有周期序列和求余运算： 或 这是因为： (19=36+1) 同理 或 这是因为： (-2=-16+4) 同样：X(k)也是一个N点的有限长序列精选课件有限长序列的DFT定义式精选课件关于离散傅里叶变换(DFT

8、)：序列x(n)在时域是有限长的(长度为N)，它的离散傅里叶变换X(k)也是离散、有限长的(长度也为N)。n为时域变量，k为频域变量。离散傅里叶变换与离散傅里叶级数没有本质区别，DFT实际上是离散傅里叶级数的主值，DFT也隐含有周期性。离散傅里叶变换(DFT)具有唯一性。DFT的物理意义：序列x(n)的Z变换在单位圆上的等角距取样。精选课件x(n)的N点DFT是 x(n)的z变换在单位圆上的N点等间隔抽样； x(n)的DTFT在区间0,2上的N点等间隔抽样。精选课件例1、计算 (N=12)的N点DFT.解： 精选课件精选课件精选课件精选课件N=4点的DFT？精选课件3.6 离散傅里叶变换的性质

9、1、线性这里，序列长度及DFT点数均为N若不等，分别为N1，N2，则需补零使两序列长度相等，均为N，且若则精选课件 有限长序列的圆周移位导致频谱线性相移，而对频谱幅度无影响。时域序列的调制等效于频域的圆周移位2、圆周移位精选课件其中 ；同理可证另一公式。证：推论：精选课件从图中两虚线之间的主值序列的移位情况可以看出：当主值序列左移m个样本时，从右边会同时移进m个样本好像是刚向左边移出的那些样本又从右边循环移了进来因此取名“循环移位”。显然，循环移位不同于线性移位 精选课件若则证：3、对偶性精选课件4、圆周共轭对称性第二章 2.9小节讨论了共轭对称序列与共轭反对称序列的概念，那里的对称性是指关于

10、坐标原点的对称性。DFT也有类似的对称性，但DFT中涉及的序列x(n)是及其离散付立叶变换X(k)均为有限长序列，且定义区间为0到N-1，因此若用2.9小节关于对称性方法定义，算出的共轭对称分量与共轭反对称分量都是(2N-1)点。对于DFT来说，其对称性是指关于N/2点的对称性。精选课件其中：共轭反对称分量：共轭对称分量：任意周期序列：精选课件定义：则任意有限长序列：圆周共轭反对称序列：圆周共轭对称序列： 这表明长为N的有限长序列可分解为两个长度相同的两个分量。精选课件证明： 则 共轭对称特性之一精选课件共轭对称特性之二精选课件共轭对称特性之三证明：精选课件共轭对称特性之四证明：精选课件共轭对

11、称特性之五、六X(k)圆周共轭对称分量与圆周共轭反对称分量的对称性精选课件实、虚序列的对称特性 当x(n)为实序列时，根据特性之三，则 X(k)=Xep(k)又据Xep(k)的对称性： 当x(n)为纯虚序列时，根据特性之四，则 X(k)=Xop(k)又据Xop(k)的对称性：精选课件序列 DFT共轭对称性精选课件序列 DFT实数序列的共轭对称性纯虚数序列的共轭对称性精选课件 例：设x1(n)和x2(n)都是N点的实数序列，试用一次N点DFT运算来计算它们各自的DFT: 精选课件精选课件五、Parseval Theory若令 y(n) = x(n)表明序列时域、频域能量相等精选课件六、圆周卷积和

12、圆周卷积A：设则实际上，圆周卷积为周期卷积的主值序列。即圆周卷积B：设圆周卷积记为NN精选课件圆周卷积过程：1）补零2）周期延拓3）翻褶，取主值序列4）圆周移位5）相乘相加NN精选课件证明： 相当于将 作周期卷积和后，再取主值序列。将 周期延拓：则有：精选课件在主值区间 ，所以：同样可证：NN精选课件2.时域圆周卷积过程N-10nN-10n精选课件0m0m0m0m精选课件精选课件0233211N-1nN最后结果：精选课件七.有限长序列的线性卷积与圆周卷积1.线性卷积 的长度为 的长度为 它们线性卷积为精选课件 的非零区间为 的非零区间为 两不等式相加得 也就是 不为零的区间. 例如:1012n

13、1012n3精选课件m-1-2-3mm1012m精选课件mn2103145233211012m精选课件2.用圆周卷积计算线性卷积 圆周卷积是线性卷积的周期延拓序列的主值序列. 的长度为 , 的长度为 先构造长度均为L长的序列, 即将 补零点;然后再对它们进行周期延拓 ，即 所以得到周期卷积：精选课件精选课件 可见,周期卷积为线性卷积的周期延拓,其周期为L.由于 有 个非零值,所以周期L必须满足: 又由于圆周卷积是周期卷积的主值序列,所以圆周卷积是线性卷积的周期延拓序列的主值序列,即结论：若则L点圆周卷积能代表线性卷积。精选课件八、线性相关与圆周相关线性相关：自相关函数：精选课件相关函数不满足交

14、换率：精选课件相关函数的z变换：相关函数的频谱：精选课件圆周相关定理当 时，圆周相关可完全代表线性相关类似于线性卷积与圆周卷积之间的关系精选课件 3-7 抽样Z变换-频域抽样理论一.如何从频域抽样恢复原序列1.两种抽样 时域抽样: 对一个频带有限的信号,根据抽样定理对其进行抽样,所得抽样信号的频谱是原带限信号频谱的周期延拓,因此,完全可以由抽样信号恢复原信号。 频域抽样: 对一有限序列(时间有限序列)进行DFT所得x(k)就是序列傅氏变换的采样.所以DFT就是频域抽样。精选课件2.由频域抽样恢复序列 一个绝对可和的非周期序列x(n)的Z变换为 由于x(n)绝对可和,故其傅氏变换存在且连续,也即

15、其Z变换收敛域包括单位圆。这样,对X(Z)在单位圆上N等份抽样,就得到精选课件对 进行反变换,并令其为 ,则精选课件 可见,由 得到的周期序列 是非周期序列x(n)的周期延拓。 也就是说,频域抽样造成时域周期延拓。1 , m=n+rN , 0 , 其他m精选课件3.频域抽样不失真的条件 当x(n)不是有限长时，无法周期延拓； 当x(n)为长度M,只有NM时,才能不失真的恢复信号,即精选课件1.由X(k)恢复X(Z) 序列x(n),（0nN-1）的Z变换为由于 ，所以（下页！）二.由X(k)表达 X(Z)与 的问题内插公式精选课件精选课件上式就是由X(k)恢复X(Z)的内插公式,其中称作内插函数

16、。精选课件2.内插函数的特性 将内插函数写成如下式:。精选课件 令分子为零,得 ； 所以有N个零点。令分母为零,得 为 一阶极点, Z=0为(N-1)阶极点。但是极点 与一零点相消。这样只有(N-1)个零点,抽样点 称作本抽样点。因此说,内插函数仅在本抽样点处不 为零,其他(N-1)个抽样点均为零。精选课件3.频率响应 单位圆上的Z变换即为频响, 代入4.内插函数的频率特性精选课件 可见, 既是 的函数又是k的函数,其可表示为 当k=0时,则有精选课件 时, 时, ，所以 求极限方法解之精选课件 当N=5时, 的幅度特性 和相 位特性 ,如下图：其中，精选课件N=5此抽样点处相位突变精选课件精

17、选课件 由于i与k均为整数,所以i k 时 这就是说,内插函数在本抽样点 上 , 而在其他抽样点上 精选课件5. 与X(k)的关系 由于 的特性可知,在每个抽 样点上其值为1, 故 就精确等于X(k)。即精选课件 而在抽样点之间, 等于加权的内插函数值 叠加而得。精选课件 3-8 利用DFT对连续时间信号的逼近一.用DFT计算连续时间信号的傅氏变换可能造成的误差 1.混叠现象 为避免混叠,由抽样定理可知，须满足 其中, 为抽样频率; 为信号的最高频率分量； 或者 其中,T为抽样间隔。 精选课件例 有一频谱分析用的FFT处理器，其抽样点数必须是2的整数幂。 假定没有采用任何特殊的数据处理措施，已

18、知条件为（1）频 率分辨率为 ，（2） 信号的最高频率 ，试确定 以下参量：（1）最小记录长度 ;(2) 抽样点间的最大时间 间隔T; (3) 在一个记录中的最小点数N。解：（a） 最小记录长度（b）最大的抽样时间间隔T(c) 最小记录点数N精选课件2.频谱泄漏 在实际应用中，通常将所观测的信号 限制在一定的时间间隔内,也 就是说，在时域对信号进行截断操作,或称作：加时间窗,亦即用时间窗函数乘以信号,由卷积定理可知，时域相乘,频域为卷积,这就造成拖尾现象,称之为频谱泄漏.精选课件0n0nn精选课件3.栅栏效应 用DFT计算频谱时，只是知道为频率 的整数倍处的频谱。在两个谱线之间 的情况就不知道,这相当通过一个栅栏观察 景象一样，故称作栅栏效应。 补零点加大周期 ，可使 变小来提高分辨力，以减少栅栏效应。精选课件二.DFT与连续时间信号傅氏变换间相对数值的确定 1.连续时间非周期信号傅氏变换对2.连续时间周期信号傅氏级数变换对精选课件3.DFT变换时: 精