Chapter-906年-粘性不可压缩流体流动解析

1、Chapter 9-1粘性不可压缩流体流动 1概述一、粘性不可压缩流动模型1、关于粘性粘性摩擦的存在必导致绕流阻力的存在，运动的衰减及涡量的扩散。在大Re数下，惯性力 粘性力，采用理想流体模型，理想流体理论对不脱体绕流情况下的升力，压力分布和速度分布给出了符合实际的结果，但在阻力等与粘性效应相关的问题上却无能为力。因而，在研究阻力等起源于粘性的现象时须抛弃理想流体假设。在小Re数和中Re数情况下，粘性作用不可忽略。2、关于不可压缩流动（流体的压缩性对流动的影响可略）液体压缩系数小，一般可认为不可压缩（极端情况如激波等除外）气体在低速运动（速度远小于声速）、非定常时速度变化缓慢，且重力方向上流场

2、的尺度10km时，可略其压缩性。（当研究对流层（10km）内大气运动时，不能忽略重力场引 起的压缩效应）。3、基本方程组和边界条件均质不可压缩流体rV 0 r dV FT p dt2Vconst,且温度变化小,求速度和压力场的完备方程组。const,故有dU o能量万程k 2T 2 S:S 用于求温度场dt本构方程P pl 2 S用于求应力边界条件：在固壁表面上，流体的法向和切向速度分别等于固体表面的对应速度分量。在自由表面上，PnnP0, Pn。二、粘性流动分类，求解问题的几种途径层流：流体运动规则、稳定，各部分分层流动互不掺混，质点轨迹光滑。脉线清晰湍流：流体运动极不规则、 极不稳定，伴有

3、高频扰动，各部分激烈掺混，质点轨迹杂乱无章。决定流动状态的参数是 Re数（Batchlor page255） , Re 边界条件：u(0) 0 , u(b) U 。1)若沿x轴方向无压差0 ,流动仅由上板拖动引起，即称 Couette流动，此时d2u dy2u Uy b简单剪切流动。2）上板、下板均不动,G , G const,则为 Poiseuille 流动，此时g 0、y(b y)。23)平板所受粘滞力（以y 0,b或下板受切应力Couette流为例)21p212e214）拖动单位面积上平板外力做功功率W单位体积流体机械能耗散22、(e12e21 )U2T7单位面积平板板间流体柱内的总机械

4、能耗散b Wo求解粘性流体沿倾斜平板下泻的流动（考虑重力的影响，假设自由表面与平板平行）gsin2u2 yg cos(3)边界条件:u(0)0,u(b)公式（2）g cos yPi（x），代入（1）并考虑到（3）知gsinP12u-2yconst(4)P1G ,代入（4）得u再利用边界条件得讨论:1）若上边界yUyb空（bb处是自由表面，则由于边界上g sin G2y2 Ay B。y)P(x,b)Po故 G 0；,仅考虑N-S方程的e，和）z两u有限;Ga ，一，-一 umax ，可利用此关系通过测量流 8另外一u0要求 gSin b A 0,y y b故 ugin- y(2b y)。2)上板

5、速度多大时，下板上摩榛应力为零_u0 U Ggs1n b2,此时y y 02G g sin 2u y 。22、截面均匀的圆管内的粘性层流（ Hagen-Polseullle流动）无限长圆管内压强梯度力作用下的定常层流。假设外加压差不随时间变化，不考虑入口段流动（粘性作用尚未达到充分，速度剖面随离入口的距离变化）可假设管无限长。流体在压差作用下开始流动，当进入管中充分长距离后，粘性力达到与压强梯度力平衡，速度剖面不再变化，取柱坐标系如图， 0, 0。z柱坐标系下原始方程见吴书(下册page229),此分量方程：1 上 ()0 z r r r上0 rdp d , du、，八(r ) const G

6、dz r dr drG 2_则 u r C11n r C24边界条件：r a, u 0,另外附加有r 0,G / 22、Ga故 u(a r )u max u r o TOC o 1-5 h z 44讨论：流量Q及平均速度u4 .,、 a G -2-Q 2 ru(r)dr u a , u HYPERLINK l bookmark131 o Current Document 08量来获得粘性系数。注关于压差（ p G 管长）的量纲分析解见余志豪习题解答page119流体层间的阻力：prz轴上:maxrGaTGr ;24 _阻力系数max8au,其中Re 。Re二、两同轴旋转圆柱间的定常流动（圆形流

7、线情形，不计重力）流体充满两无限长同轴圆柱之间（，七，万r1）,两圆柱旋转角速度分别为 W1,w2。求解启动充分长时间后的定常流动。选取柱坐标系，由流动特点可知:V V(r),V,0,0, 0, 0, p p(r) z tN-S方程:V2-(r) r rV2-2r（1）式解释：压强梯度力提供向心力;（2）式解释：粘性切应力切向加速度 0切向压强变化率d2V(2)式即一2dr1 dVdrV_-2rEuler 方程,rn代入得n 1 ,故解为V Ar边界条件:最后可得讨论:(ri)V t)2r2；2 1rL -2 r122r2 -2 r21( r1-2r12r 2222r2(3)1）应力张量分量P

8、r( r2 -B2,它代表任一流体柱壳外表面上的粘性应 r力，任一单位长流体柱壳外表面受摩擦力矩2M 2 r pr 4 B const,与 r 无关,因而该柱壳内外表面摩榛力矩平衡，故作定常运动。2） （3）式中第一项表示刚性旋转（有旋流动），第二项表示无旋运动若r1 0 （无内柱）则v 2r表示旋转的桶内流体与桶一起刚性旋转;2若无外柱壳（r20. ie,V r0 0)则U 3一(rr1),这是 N-Sr方程无旋流解的一个实例。将以上二者结合起来，即考虑一个旋转的圆柱壳浸没于无界的粘性不可压缩流体中旋V转，则得到Rankine合涡VrR2、平板的突然启动Stokes第一问题（瞬态过程）假设有

9、一无限大平板浸没在无界的静止流体中，突然平板以速度U沿其自身所在平面运动起来，并且此后一直保持这一速度不变，求解平板启动后流体运动的演化过程。u u(y,t)N S eq：2u2 y热传导方程边界条件:u(0,t)U, u( ,t)0,t 0;（任意时刻流动还没有传到的地方就可看成无穷远）初始条件:u(y,0)0, y 0(u U)ti.e.,u(0,t)/Uu(y,0).U2(u U)1,02yu(,t),U00, t解定解问题解法一：由定解问题形式知f (y,t,）,而y,t,组成唯一无量纲变数（L2T 1）；由量纲齐次性原理知f()1 f f 定解问题化为 2Cix2e 4 dxC2f(

10、0) 1, f()C21, Ci（把偏微分方程化成了常微分方程）21e 4 dx0 x2 .dxerf (y)2、 terf03、非定常的单一方向的流动0ex2dx : erf() T0e2x dx , erfc()2e x dx)解法二:用Laplace变换方法求解解法三:李新明书P220221分析：1、速度分布北大P228图;2、涡量 z-exp( y2.4 t) t涡量的产生：在启动的那一瞬间，板面上流体质点速度U ,其外的流体在瞬时的粘性作用下有加速度，但还没有速度（速度的获得需要时间）从而出现一个速度的间断面，板上这层流体在板和板外静止流体的粘性切应力的作用下被“搓”出涡量。3、速度

11、和涡量的扩散（t 时0是由于均摊，还是由于粘性损耗？）当2时， 0.01可以认为涡量和动量主要集中于2以下，即2可作为速U度和涡量已传播到的区域的边线，对应y4J1涡量和速度扩散的距离以 41 的规律增加，扩散速率dy /dt按2/7规律减小。另外 越大，扩散越快。涡量和速度都集中于板面附近的小区域内，随t ,界面上涡量场逐渐减弱。而某一0 （涡量由于粘性而扩（两无限大平板突然启动，速度均为 板附近反向涡层的扩散。）时达到u U ,涡量消失始自两y 0处，涡量先增后减。整个涡量场逐渐趋于均匀，最后达到散，（总量不变，参考教材 P455习题11外力拖板作功补充动能损耗），扩散方程中未含有耗散项，

12、粘性只导致扩散。eg：关于涡量的产生和扩散的一个规律在平板突然启动问题中证明dy U ,式中V ,该流动的速度为0u U1 erf（T=），这个积分意味着，由于平板的运动在t 0时产生了一定量的涡量, 2 x t随时间的推移，涡量在流体内部扩散，但总的涡量保持不变。2证明:代入积分即得证。e-u_y e 21 9.3相似原理与量纲分析一、模型实验的必要性：只是一些简单的流动。 实际的情形要复杂得多， 以至可以求得理论上的精确解的流动,求解一种真实的流动往往会变得非常困难，甚至无可能实现。要解决复杂的真实流动问题， 一方面依靠发展各种相似理论和数值解法；另一方面则要通过对实验观测结果的正确分析。

13、流体力学实验原则上是要研究尺度上缩小或放大了的真实流动。通过对这种模拟流动的观测与分析，去推知真实流动的特性与规律。例如，用飞机模型在风洞中作吹风试验，舰船在水槽中拖动测量等。模拟实验一方面可以降低费用，另一方面也可使实验条件容易控制。 于是就提出了 一个问题：应该如何设计模型实验，才能使模拟流动与真实的流动之间有简单 的变换关系，以及如何将有限的实验结果应用于广泛的实际流动中去。这些正是相似性原理所要回答的问题。本课程不准备讲述相似理论的全面、严格的理论内容，只着重于介绍其思想方法，故仅从一例出发进行分析。二、相似原理考虑不可压缩粘性流体定常绕流圆球的问题，动力学方程组和定解条件：rV 02

14、Vr vV V边界条件无穷远处球面上rr UivV 0将上述定解问题无量纲化,、1V(x ,y ,z ) R(x,y,z) , V 1，PV得无量纲方程r rV p (严 VUR,V i1,V0小此数绕球流动流线图由此可见，若两个不可压缩粘性流体绕球定常流动满足则此二流动无量纲UH U2R2 TOC o 1-5 h z r 11 r 方程解完全一致。此二流动之间有简单变换关系，如V UZV,一J 二,Ui2U221U12说明（相似原理主要内容）：1定义Renold数ReUR“流动相似”的概念首先是几何相似（仅强调边界的几何相似），从而无量纲化后的边界条件一致。其次在确定实验参数时要求Re数相等

15、从而保证无量纲化方程组一致。这样两个流动就是相似的。此时，两个流动的同一物理量（如V）在对应点上的值成比例，这叫作力学相似。Re数相等是“相似准则”之一。相似准则一一无量纲化方程各项的系数，不同的流动问题相似准则个数不同，要具体问题具体分析。（两个定常粘性绕球流动若 Re数相等则相似, 故Re数称为相似准则）。V , p适用于所有相似的流动。一般粘性不可压缩流动力学相似性：吴书p231-238。三、相似原理对模型实验的指导意义：对于模型实验设计的指导意义：设计实验必须保证几何相似和满足相似准则。可在相似准则允许的前提下适当选择实验参数，eg.研究飞机在空中的等速平飞，其相似准则为Re数:Re

16、V LO实验参数（风洞风速 V ,模型特征尺寸L ,风洞内介质 ）须满足：从而减小V。匕二V-L ,可增大风洞尺寸以增大L ,或增大空气密度以减小（超音速 1100km/h ,战斗机可达2倍音速，甚至接近 3倍音速）对于实验研究的指导意义：例如绕流问题中物体受力的实验测量。吴书p236o二、量纲分析.量纲的概念。（实例说明）.量纲齐次性原理。描述物理定律的等式或不等式两端的物理量必须有相同的量纲，也就是说，只有量纲相r一dVr p2r同的量才能够相加或比较。eg dV F p2Vdt应用：用于分析或检验物理量之间的关系。eg：声速是一个平衡态的热力学状态变量，在任何均质系统中，任一热力学量都是

17、两个独立热力学变量的确定函数，我们取p和 为独立热力学变量，于是 f（p, ,c） 0c f （p, ）, f （p,）为关于p,的多项式，设备次分别为、按量纲齐次性原理c p其中c LT 1, p L 1T 2M , L 3M1于有0,31 , 21,信 一， 一（为唯一一组可能值）2因此，我们得到c2 p或c-（可能的关系式中的一种）这里 为常数，只能由热力学理论或实验求得。实验测量时，只需测量数据组根据数据拟合出二者之间的线性关系，而不是测（p, ,c）,大大简化测量与分析。例1,用1 : 30的模型在水槽中研究潜艇阻力问题。 研究摩阻时，模型拖拽速度多大。若实际潜艇水下航速为10kno

18、t,试确定答：研究摩阻时，相似准则为Re数:ReULU2LiUil2300knot参见吴望一：P232方程VSt t2VRe定常绕流St数消失，不计重力 F数消失,潜艇在水下,不考虑自由表面,E数消失，只剩下Re数。例2, 一模型港尺度比为 280: 1, 模型实验波的特征量。设真实storm wave振幅1.524m,波速9.144m/s。试确定答：几何相似要求模型波浪尺寸:A21.524/280,波长 i/280。考虑重力起作用的表面波（重力波）特征量周期T,tt工；波高无量纲化方程:Strouhal 数:Froude 数:cTStFrcT2cgHp zz一,H粤kc波速 c, w w/c

19、, V V,/c 及 pp/ c2H 若满足几何相似，则Strouhal数自然相等。O（特征惯性力/特征重力）故模型波速为c2 9.144V280m/So粘性流体的不可压缩流动习题课小结：粘性不可压缩流动基本方程组和边界条件 典型的精确解及流动规律：平面Couett航动和Poi secc川e流动 圆管 Hagen Poi secclle流动 圆形流线流动非定常的平板启动流Stokes和Ossen近似，绕球流动。Eg1、柱坐标系下求解是定常的单一方向的流动粘性系为的流体沿水平圆管作定常流动，速度q,压强梯度不为零；1)试证：_(为空 r r2)给出通过管子的体积流量证明：1)连续性方程 ! 工上

20、 0r rz rVr V0 故 Vzq(r)B 0(1)一、- rN-S方程22纪(器1工)T心)(2) z r r r r r r(1)式表明(2)式两端均为常数，令 了 p0 z2 则小r/(Y)得证。r r r r2)积分上式并考虑到边界条件 (q(a) 0,q(0)有限)得：P , 22q (r a ) 4 4 ap0a体积流量为Q a 2 rdr 08eg2：自由表面界面问题一皮带通过一液体池沿直线向上以匀速V。运动，由于粘性带走一层流体(厚度 h,密度，粘性系数 )而重力使其下流，试给出流体运动速度所满 足的边界条件、带走的流体层的厚度内的速度分布和流量。假定 流动定常，铅直方向无

21、压差，略大气摩擦。解：速度只有y分量v v(x),从而连续性方程自然满足边界条件：v(0) Vov(h)N-S方程0 TOC o 1-5 h z 1 p2vg2 HYPERLINK l bookmark125 o Current Document yx已知-P 0故可解得v gx2 ghx V0 y2hvdx0eg3、两流体界面边界条件如图，两层不同密度，不同粘性的流体成层放置，设水平方向无压差，上板以U0向右匀速移动，求速度分布。解：Ui Ui(y) U20N-S方程：上层：0U2(y)21 Pi1Ui21 x1 yg 31 y% %,% Pv公巧“飞, PRh %777777777777777770下层：021P22U2工2 x2 yRg3 G2 y解得 U1Gy C2, U2 C3y C4衔接条件：U1(h) u2 (h),U11 - y y hU22 一y y h边界条件:5(% h1) U0U2 (0)0故得：U12U0Z ( 1h22工)U21U0Z ( 1h22、)0h1( 21)( 1h22h1)eg4：椭圆边界。考虑椭圆边界的管子内不可压缩粘性流体的定常流动。管子截面周线方程22为，31a b1)证明：uz Ax2 By2 C满足该情形下的粘性流动方程;2)已知G、a和b