高中数学高考冲刺立体几何专题训练

1、直线、平面、简单几何体题型一 多面体中平行与垂直的证明【典例1】(2004年天津高考)如图，在四麴隹P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PDL底面 ABCD, PD=DC, E是PC的中点，作EFL PB交PB于点 F.(1)证明PA/平面EDB;(2)证明PBL平面EFD ;(3)求二面角C PB D的大小.本小题考查直线与平面平行，直线与平面垂直，二面角等基础知 识，考查空间想象能力和推理论证能力.拓展提升：(1)证明线面平行只需证明直线与平面内一条直线平行即可；(2)求斜线与平面所成的角只需在斜线上找一点作已知平面的垂线，斜线和射影所成的角，即为所求角；(3)证明线面垂直只需证此直

2、线与平面内两条相交直线垂直变可.这些从9(A)证法中都能十分明显地体现出来【变式训练】1 ( 2006年湖南卷)如图 4,已知两个正四棱锥 P-ABCD 与Q-ABCD的高分别为1和2, AB=4.(I )证明PQL平面ABCD;(n )求异面直线AQ与PB所成的角；(出)求点P到平面QAD的距离.(2007全国I 文)四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为平 行四边形，侧面 SBC_L底面ABCD,已知/ABC =45, AB =2, BC=2&, SA=SB = 布.(I)证明：SA_L BC ;(n)求直线SD与平面SBC所成角的大小.(全国1)已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形/DC

3、/DAB =90：PA_L底面 ABCD,且pa=ad=dc=1ab=i,m 是 PB 的中点.2(I )证明：面 PADXW PCD;(n)求AC与PB所成的角;(m)求面 AMC与面BMC所成二面角的大小.本小题主要考查直线与平面垂直、直线与平面所成角的有关知识及思维能力和空间想象能力 考查应用向量知识解决数学问题的能力.题型二结论探索性问题【典例2】(2006年江西高考)如图,在三锥A-BCD中，侧面ABD、ACD是全等的直角三角形，AD是公共的斜边，且AD = J3 , BD = CD = 1,另一个侧面是正三角形(1)求证：AD_LBC(2)求二面角 B ACD的大小(3)在直线AC

4、上是否存在一点 E,使ED与面BCD成30嘀？若存在 确定E的位置；若不存在，说明理由.分析：本题考查了线线关系，线面关系及其相关计算，考查了 余弦定理尤为突出的是本题采用探索式、开放式设问方式，对学生灵活运用知识解题提出了较高要求。拓展提升：1.先假设存在，再去推理，下结论：2.联想平面几何命题，运用类比猜想得出结论，或先利用条件特例 得出结论，然后再根据条件给出证明或计算。【变式训练】1. (2006年湖北卷)如图，在棱长为1的正方体ABCD - AiBiCi Di中，p是侧棱CCi上的一点，CP=m.(I)试确定 m ,使得直线 AP与平面BDDiBi所成角的 正切值为3金;(n)在线段

5、 AiCi上是否存在一个定点 Q ,使得对任意的m , DiQ在平面APDi上的射影垂直于 AP.并证明你的结论点评：本小题主要考查线面关系、 直线于平面所成的角的有 关知识及空间想象能力和推理运算能力，考查运用向量知识解 决数学问题的能力。ACBC , D是AB的中点AC = BC = a求证VAB 平面 VCD(II)试确定角使得直线 BC与平面VAB所成的角为-6如图，在三麴隹V ABC中，VC，底而ABCBCDE内的射影G是否在直线EF上，证明拓展提升：在平面图形翻折成空间图形的这类折叠问题中般来说平面内氨展开问题(2006年辽宁高考)已知正方形 ABCD . E、F分别是AB、CD的

6、中点，将ADE沿DE折起，如图所示A -DE -C的大小为6(0(I)证明BF /平面ADE;(II)若UACD为正三角形，试判断点A在平面你的结论，并求角日的余弦值【点评】本小题考查空间中的线面关系，解三角形等基础知识考查空间想象能力和思维能力1(05湖南)如图1,已知ABCDOj_ Ci变化，翻折问题常用的添辅助线的方法是作棱的垂线。下底边长分别为 2和6,高为J3的等腰梯形，将它沿对称轴OOi折成直二面角，如图2.(I)证明：ACXBOi；(n)求二面角 oacOi的大小2.如图，在直角梯形 PiDCB 中，P1D/CB, CDXPiD, PiD=6, BC=3, DC = J6 , A

7、 是PiD的中点，E是线段AB的中点，沿AB把平面PiAB折起到平面 PAB的位置，使二面角 P-CD- B成45 角.(I )求证：PAL平面ABCD;(II)求平面PEC和平面PAD所成的锐二面角的大 小.【典例4 (2006年重庆高考)如图，在正四棱柱ABCDABCD 中，AB=I,BB = J3+I , E 为 BB1上使 B1E = I 的点 平面 AEG 交DDi于F ,交Ad的延长线于G ,求:(I)异面直线 AD与CiG所成角的大小;分析：本题以棱柱为载体考查了空间线线角、面面角。属于考(n )二面角 A -CiG A的正切值;拓展提升：作异面直线所成角的常用方法有：(i)平移

8、法：在异面直线中的一条直线上选择“特殊点”，作另外一条直线 的平行线或利用中位线；(2)补形法：把空间图形补成熟悉的 几何体，其目的在于容易发现两条异面直线间的关系。一般来 说平移是最常用的，应作为求两异面直线所成角的首选方法;(3)向量法 解与二面角有关问题时要注意：(1)找出二面角的平面角，主 要是用三垂线定理或其逆定理(2)求二面角，主要是解三角形 或是用射影法。【变式训练】 如图，已知ABCD ABC1是棱长为3的正方体,点 E 在 AA 上，点 F 在 CCU：,且 AE = FC1 =i.(i)求证：E, B, F, D四点共面；(4分)2(2)若点G在BC上，BG =，点M在BB

9、上，3GM BF ,垂足为H ,求证：EM，平面BCCB； (4分)(3)用6表示截面EBFD1和侧面BCCB所成的锐二面角的大小，求 tan6 . (4分)本小题主要考查平面的基本性质、线线平行、线面垂直、二面角等基础知识和基本运算,考查空间想象能力、逻辑推理能力和运算能力.满分 12分.题型六求空间距离【典例5 （2004福建卷）在三棱锥 S ABC中， ABC是边长为4的正三角形，平面SAC，平面 ABC, SA=SC=2 J3 , M、N 分别为 AB、SB 的中点.（I）证明：ACXSB;（n）求二面角 N CM B的大小； （m）求点B到平面CMN的距离.分析：本小题主要考查直线与

10、直线、直线与平面、二面 角、点到平面的距离等基础知识，考查空间想象能力和逻辑推理能力.若按常规方法解，（1）需作辅助线再构造一平面， 可得线面垂直结论，即可证得线先垂直；（2）由三垂线定理作出二面角的平面角，再由直角三角形知识即可求解；（3）由等体积转换VB CMN =VNCMB即可求解.但解此题用 下面的空间向量知识解更简捷 .解析：本小题主要考查直线与直线 ，直线与平面，二面角，点到平面的距离等基础知识：考查空间想象能力和逻辑推理能力.拓展提升：此题三个小问题层层深入，由（1）证明线线垂直，（2）又利用三垂线定理及勾股定理求二面角，（3）由三角形等面积转换求线段，进而由等体积求点到平面距离

11、.这是一道 考查立体几何知识较全面立体几何中的求距离， 也是高考中的命题热点， 其中点到平面的距离的计算是立体几何中的 一个难点.求点到平面距离，一般方法是先由该点向平面引垂线确定垂足，把点到平面的距离转化为解三角形求解，需要作辅助线，然后通过逻辑推理论证及计算，（一作，二证，三计算）或用向量法。 【变式训练】.（07 辽宁）如图，在直三棱柱 ABCA1B1G 中，NACB=900, AC = BC = a , D, E 分 别为棱AB, BC的中点，M为棱AA上的点，二面角 M - DE A为30 .证明：AB 1C1D ；（II）求MA的长，并求点 C到平面MDE的距离.本小题主要考查空间

12、中的线面关系，解三角形等基础知识，考查空间想象能力与思维能力.BE.（ 06福建）如图，四面体 ABCD中，O、E分别BD、BC的中点，CA=CB=CD=BD=2 （I ）求证：AOL平面BCD ;（n ）求异面直线 AB与CD所成角的大小； （出）求点E到平面的距离.本小题主要考查直线与平面的位置关系、异面直线所成的角以及点到平面的距离等基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力 .3. （2006湖北高考）如图,已知正三棱柱 ABC-A旧iCi的侧棱长和底面边长均为 1,M是 底面BC边上的中点，N是侧棱CCi上的点，且CN=2CiN.（I ）求二面角 Bi AM N的平面角的余弦

13、值；（n）求点Bi到平面AMN的距离.本小题主要考查线面关系、二面角和点到平面距离的有关知识及空间想象能力和推理运算能 力.考查应用向量知识解决数学问题的能力.方法与技巧（一）位置关系：.两条异面直线相互垂直证明方法：证明两条异面直线所成角为90。；能证明两条异面直线的方向量相互垂直。.直线和平面相互平行证明方法：证明直线和这个平面内的一条直线相互平行；（2）证明这条直线的方向量和这个平面内的一个向量相互平行；（3）证明这条直线的方向量和这个平面的法向量相互垂直。.直线和平面垂直证明方法：证明直线和平面内两条相交直线都垂直，（2）证明直线的方向量与这个平面内不共线的两个向量都垂直；（3证明直线

14、的方向量与这个平面的法向量相互平行。.平面和平面相互垂直证明方法：d证明这两个平面所成二面角的平面角为90。； （2）证明一个平面内的一条直线垂直于另外一个平面；证明两个平面的法向量相互垂直。（二）求距离：求距离的重点在点到平面的距离， 直线到平面的距离和两个平面的距离可以转化成点到 平面的距离，一个点到平面的距离也可以转化成另外一个点到这个平面的距离。.两条异面直线的距离.| AB n |-求法：利用公式 d =一 （其中a、b分别为两条异面直线上的一点，n为这两|n|条异面直线的法向量）.点到平面的距离求法：“一找二证三求”，三步都必须要清楚地写出来。等体积法。向量法，利r -,| AB

15、n|用公式d = 一 （其中a为已知点，b为这个平面内的任意一点，n这个平面的法向|n|量）（三）求角.两条异面直线所成的角求法：先通过其中一条直线或者两条直线的平移，找出这两条异面直线所成的角，然后通过解三角形去求得； 通过两条异面直线的方向量所成的角来求得，但是注意到异面直线所成角得范围是（0/,向量所成的角范围是0,n,如果求出的是钝角，要注意转化成2相应的锐角。.直线和平面所成的角求法：“一找二证三求”，三步都必须要清楚地写出来。向量法，先求直线的方向量于平面的法向量所成的角 “，那么所要求的角为 工a或口 工。223.平面与平面所成的角求法：“一找二证三求”，找出这个二面角的平面角，然后再来证明我们找出来的这个角是我们要求的二面角的平面角，最后就通过解三角形来求。（2）通过射影面积来求. S 射影 一一 ，一一,. 一, COSa = （在其中一个平面内找出一个二角形，