高中数学经典高考难题集锦解析版

1、2021年10月18日杰的高中数学组卷选择题共5小题1.2021?假设存在正数 x使2xx-a0且m Ca+b+c） 2启，那么 2a+b+c的最小值为A. Vs - 1 B, 7/3 + 1C, 2V3 + 2 D. 2/3 - Z. 2004?a2+b2=1, b2+c2=2, c2+a2=2,那么 ab+bc+ca 的最小值为A. V3-A b. 2-晶 C. -1-43 D. .i+/3二.解答题共25小题*.2007?各项均为正数的数列 an的前n项和满足 $1,且6Sn=an+1an+2，nCN .1求4的通项公式；2设数列bn满足同口（ 2bn- 1） =1 ,并记Tn为bn的前

2、n项和，求证：3Tn+1log2an+3,一 *nC N .2007?如果有穷数列a1，出,出，amm为正整数满足条件a1=am, a2=am-1,am=a1,即ai=am-i+1i=1, 2,，m,我们称其为7寸称数列.伊如，数列 1, 2, 5, 2, 1 与数列8, 4, 2, 2, 4, 8都是7寸称数列”.1设bn是7项的对称数列，其中 b1, b2, b3, b4是等差数列，且 b1=2, b4=11.依次写出bn的每一项；2设是49项的7寸称数列，其中 C25, C26,，C49是首项为1,公比为2的等比数列， 求各项白和S;3设dn是100项的，对称数列，其中d51, d52,

3、，dloo是首项为2,公差为3的等差数歹U.求dn前 n 项的和 Snn=1, 2,，100.晨.2007?数列an的前 N项和为 Sn, 0=1, an+1=2SnnCN.I求数列an的通项an；n求数列nan的前n项和Tn.2007?假设有穷数列 a1, a2- ann是正整数，满足 a=an, &=an-广4=21 即 a=an-i+1i 是正整数，且14许，就称该数列为7寸称数列.1数列bn是项数为7的对称数列，且 b1, b2, b3, b4成等差数列，b1=2, b4=11,试写出bn的每一项2是项数为2k- 1k封的对称数列，且 Ck, Ck+C2k-1构成首项为50,公差为-4

4、的等差数列，数歹U的前2k-1项和为S2k-1,那么当k为何值时，S2k-1取到最大值.最大值为多 少.3对于给定的正整数 m1,试写出所有项数不超过2m的对称数列，使得1, 2, 222m成为数列中的连续项；当m 1500时，试求其中一个数列的前2021项和S2021.2006?设等差数列an的首项a1及公差d都为整数，前n项和为Sn.I假设an=0, Si4=98 ,求数列an的通项公式；an的通项公式.n假设a1由，an0, 8497,求所有可能的数列n=1, 2, 3.2006?数列&中，$=!，点n, 2an+1-4在直线 y=x上，其中I令bn=an+1 - an - 1 ,求证数

5、列bn是等比数列;n求数列an的通项;出设Sn、Tn分别为数列4、bn的前n项和，是否存在实数 使得数列一-为 n等差数列假设存在，试求出入.假设不存在，那么说明理由.2006?a1=2,点an, 4+1在函数 fx=x2+2x的图象上，其中 n=1, 2, 3,1证明数列lg1+an是等比数列;2设 Tn=1+&1+&1+an，求 Tn 及数列an的通项;3记卜，十L ,求数列bn的前n项Sn,并证明q H2一n %+3%.2006?XX数列xn, yn满足 xi=X2=1, yi=y2=2,并且二包一，入 xn-l 。入为非零参数，n=2, 3, 4,.当A0时，证明上(nE N*)；当入

6、 1时,14.2006?XX数歹U Xn满足 Xi=X2=1 并且士里二。1假设X1, X3, X5成等比数列，求参数 入的值；证明：%为非零参数，n=2, 3, 4,.1假设X1、X3、X5成等比数列，求参数 入的值；2设 0入v 1,常数 ke N*且 k也 证明 里+士也1-一r (nE N* ) .叼工工1-尸*、.2005?数歹U &的首项 &=5,前 n 项和为 Sn,且 Sn+1=2Sn+n+5nC NI证明数列3+1是等比数列;II令fX=a1X+a2X2+- -+anxn,求函数fX在点x=1处的导数f1并比较2f1与23n2- 13n的大小.2005?数列an满足 a1=1

7、 且 8an+an- 16an+1+2an+5=0nm. ifibn=一(口)1)I求 b、b2、b3、b4 的值；n求数列bn的通项公式及数列anbn的前n项和Sn.2004?设PiXI,yi，PiX2,y2，PnXn,ynnW, n CN是二次曲线C上的点，且ai=|OPi|： a2=|OF2|2,，an=|OPn|2构成了一个公差为 dd为的等差数列，其中 O是坐标原点.记 Sn=ai+a2+-+an.Pii0, 0及S3=255,求点P3的坐标;.点Pia, 0，对于给定的自然数 n,只需当公差3请选定一条除椭圆外的二次曲线C及C上的一点Pi,对于给定的自然数 n,写出符合条件的点Pi

8、, P2, -Pn存在的充要条件，并说明理由.i8.2003?数列an为正整数是首项是 ai,公比为q的等比数列.i求和:0i 2aiC? a2 G +a3 c2 )0i 23ai C3 a2c3+a3 c3 a4c32由i的结果归纳概括出关于正整数 n的一个结论，并加以证明.3设q为，Sn是等比数列4的前n项和，求：Si - S2+S3 - S4 +,+-iSn+i i9.202i秋？周村区校级月考数列b是等差数列，bi=i, bi+b2+- +bi0=i45.i求数列bn的通项bn；2设数列4的通项an=logai+；-其中a0,且a力，记Sn是数列4的前n项和.试 %比较Sn与aOgab

9、n+i的大小，并证明你的结论.202i?在数歹U &中，ai=i, an+i=can+i2n+inCN*，其中实数 c4.i求an的通项公式;2假设对一切kC N*有 丽在k-1,求c的取值围.202i?模拟函数y=fX的图象是自原点出发的一条折线，当 n或由+i n=0, i, 2,时，该图象是斜率为bn的线段其中正常数bE,设数列|xn|由fxn=nn=i, 2, 定义.1求Xi、X2和Xn的表达式；2求fX的表达式，并写出其定义域；3证明：y=fX的图象与y=x的图象没有横坐标大于 1的交点.2021?数列%融足 Xi=l, Xn+i=1，nCN*;1猜想数列X2n的单调性，并证明你的结

10、论；.2021?an是公差为d的等差数列，bn是公比为q的等比数列1假设an=3n+1,是否存在 m, nC N ,有am+am+1=ak.请说明理由；2假设bn=aqna、q为常数，且aq4对任意m存在k,有bm?bm+1=bk,试求a、q满足 的充要条件；3假设an=2n+1, bn=3n试确定所有的p,使数列bn中存在某个连续p项的和式数列中a 的一项，请证明.2021?对于每项均是正整数的数列A：&，an,定义变换T1将数列A变换成数列T1A： n,a1 -1, 比 - 1,，an-1;对于每项均是非负整数的数列B：b1，b2,bm,定义变换T2, T2将数列B各项从大到小排列，然后去

11、掉所有为零的项，得到数列T2B；又定义SB=2 b+2b2+mbm+b12+b22+-+bm2.设Ao是每项均为正整数的有穷数列，令 Ak+1=T2Akk=0, 1, 2,.I如果数列 A为5, 3, 2,写出数列 A1, A2；II对于每项均是正整数的有穷数列A,证明SA=SA；出证明：对于任意给定的每项均为正整数的有穷数列A0,存在正整数 K,当k浓时，SAk+1=S Ak.2007?函数fX=x2-4,设曲线y=fX在点f4处的切线与X轴的交点 为Xn+1, 0nCN*，其中X1为正实数.I用 Xn 表示 Xn+1；n证明：对一切正整数 n , Xn+1寂n的充要条件是X1或V +2出假

12、设Xi=4,记旨二I一，证明数列3成等比数列，并求数列 依的通项公式.26.2006?设数歹Ua、bn、满足：bn=anan+2,=an+2an+i+3a+2n=1,2,3,，证明：an为等差数列的充分必要条件是为等差数列且bn由n+1n=1, 2, 3, 27.2006?函数fXW曰工，bJ+c/d，其中a, b, c是以d为公差的等差数列，且a0, d0.设X0为fX的极小值点，在1。上，fx在X1处取得最大值，在X2处取得最小值，将点X0,fX0，X1, fX1，X2,fX2,fX2依次记为A, B,C.I求X0的值;n假设 ABC有一边平行于x轴，且面积为2桶,求a, d的值.28.2

13、005?数列a的各项都是正数，且满足:a0=1, an+1=-2%4 一 an，nC N.1证明 anan+10,如图，直线l: y=ax及曲线C: y=x； C上的点Qi的横坐标为&0 a1a.从C上的点QnnN作直线平行于x轴，交直线l于点Pn+1,再从点Pn+1作直线平 行于y轴，交曲线C于点Q+1. Qn=1, 2, 3,的横坐标构成数列an.I试求an+1与an的关系，并求an的通项公式;n当aFl,日时，证明E （% 一孤+1）3k+2丽； TOC o 1-5 h z 2 k=l”出当a=1时，证明 （4-且/1）盘+2 k二 130.1977?在2和30中间插入两个正数，这两个正

14、数插入后使前三个数成等比数列，后 三个数成等差数列，求插入的两个正数.2021年10月18日杰的高中数学组卷参考答案与试题解析选择题共5小题1.2021?假设存在正数 x使2xx-aK-,利用x是正数，通过函数的单调性，求出a的围即可.析：2，解 解：因为2xxa 0,所以y - 1,即a - 1,| 丁所以a的取值围是-1, +9 .应选：D.点 此题考察不等式的解法，函数单调性的应用，考察分析问题解决问题的能力.评：2.2021?小王从甲地到乙地的往返时速分别为a和bavb，其全程的平均时速为 v,那么D. v=-2A. avvv-卜，B. v=. C.-1.v v根本不等式.计算题；压轴

15、题.题: 分 析:设小王从甲地到乙地按时速分别为a和b,行驶的路程S,那么v= b,利用根本不等式及作差法可比较大小解答:那么v= J：解：设小王从甲地到乙地按时速分别为a和b,行驶白路程 S0a卯直02ab _ _ 2ab_ a2 _ ab a (b- a) L (a+b) 足=ST-v a综上可得,应选A点此题主要考察了根本不等式在实际问题中的应用，比较法中的比差法在比较大小中评：的应用.3,2021?函数 fx=2x2+4-mx+4- m, gx=mx,假设对于任一实数x,fx与gx的值至少有一个为正数，那么实数m的取值围是A. 4, 4 B.一4, 4C. C- oo 4 D.一美一4

16、考一元二次不等式的应用.点：专压轴题.题：分 ，“，一 2对函数fx判断4=m - 160且3 3+b+c) +bc=4一 24j,那么 2a+b+c的最小值为A.遮 T B, V3+1 C, 23+2 D. 2遮 - 2考根本不等式在最值问题中的应用. 点 专压轴题.题分 条件中出现bc,待求式子中有 b+c,引导找b, c的不等式 析解：假设a, b, c 0且a 3+b+c) +bc=4-2五,所以- 2M,4 -3-C4a-+4ab44ac+ 2bc+ 2bc)(4b2+c?)44Ca/3-2) 21,且6Sn=an+1%+2，nCN .1求an的通项公式;2设数列bn满足之口1) G

17、 ,并记Tn为bn的前n项和，求证：3Tn+1 log? 4+3,一 *nC N .考 数列的求和；等差数列的通项公式；不等式的证明.计算题；证明题；压轴题.题：1先根据题设求得 ai,进而根据an+1=Sn+1 - Sn整理得3n+l+an 3n+1 - an - 3=0求得an+1- an=3,判断出an是公差为3,首项为2的等差数列，那么数列的通项公式可得.2把1中的an代入同二1可求得bn,进而求得前n项的和Tn,代入到 3Tn+1 - log2an+3中，令 f （n）二（殳至 3n ）3,_2_,进而判断2 53n- l 3n+2出 fn+1fn，从而推断出 3+1-log2an+

18、3=log2fn0,原式得证.斛 解：1由云.二（ a +1）（色+2） 5解得a1=1或a1=2,由假设a1=S1 1,答.I ,T因此a1=2,又由%+不小%3（%+产）-2J+1）J+2），4导an+1+an an+1 an 3=0,即 an+1 % 3=0 或 an+1= an,因 an 0,故 an+1= - an 不成立，舍去因此an+1- an=3,从而an是公差为3,首项为2的等差数列,故&的通项为an=3n - 1f (nH 3ir+2 /3/3二. If (n) 3rr+5 3rd-2、3 (Sn+S) 3J 二(3n+5) (3n+2)因3n+33 3n+53n+22=9

19、n+7 0,故 fn+1fnnrr特别地 f (n)(1)二a1，从而 3Tn+1 - log2%+3=log2fn 0鼻kJ即 3Tn+1 log2&+3点此题主要考察了等差数列的通项公式.涉及了不等式的证明，综合考察了学生对数评：列知识的灵活运用.7.2007?如果有穷数列ai,a2,as,，amm为正整数满足条件ai=am,a2=am-1,，am=ai,即ai=am-i+ii=1, 2,，m，我们称其为7寸称数列”.仞如，数列 1, 2, 5, 2, 1与数列8, 4, 2, 2, 4, 8都是7寸称数列”.1设bn是7项的对称数列，其中b1, b2, b3, b4是等差数列，且b=2,

20、 b4=11.依次写出bn的每一项；2设是49项的7寸称数列，其中 C25, 026,，C49是首项为1,公比为2的等比数列，求各项白和S;3设dn是100项的对称数列，其中d51, d52,，d100是首项为2,公差为3的等差数歹U.求dn前 n 项的和 Snn=1, 2,，100.考 数列的求和；数列的概念及简单表示法.点：专 计算题；压轴题；新定义.题：*匚 1由b1,b2,bs,b4为等差数列，且b1=2,b4=11,先求b1，b2,bs,b4,然后由对析：称数列的特点可写出数列的各项.2由C25,C26,，C49是首项为1 ,公比为2的等比数列，先求出C25,C26,，C49通项，结

21、合对称数列的对应项相等的特点，可知前面的各项，结合等比数列的求和 公式可求出数列的和3由d51, d52,，d100是首项为2,公差为3的等差数列，可求该数列d51,d52,，d100的通项，由对称数列的特点，结合等差数列的特点，求数列的和解 .一、由 解：1设数歹U bn的公差为d,那么b4=b+3d=2+3d=11,解得d=3, 合：数列bn为 2, 5, 8, 11, 8, 5, 2.2S=C1+C2+ TC49=2C25+C26+ TC49 C25=2 1+2+2%+224- 1=2 225 1- 1=226-3=67108861.3d51=2,d100=2+3X501=149.由题意

22、得d1, d2, , d50是首项为149,公差为-3的等差数列.当 n1,试写出所有项数不超过2m的对称数列，使得1, 2, 222mt成为数列中的连续项；当m 1500时，试求其中一个数列的前2021项和S2021.考数列与函数的综合.点：专 计算题；压轴题；新定义.题：1设bn的公差为d,由b1, b2, b3, b4成等差数列求解d从而求得数列bn,2先得到 S2k-1=- 4k-132+4X132- 50,用二次函数求解，3按照1, 2, 222mT是数列中的连续项按照定义，用组合的方式写出来所有可能的数列，再按其数列的规律求前n项和取符合条件的一组即可.解：1设bn的公差为 d,那

23、么 b4=bi+3d=2+3d=11,解得 d=3, .数列bn为 2, 5, 8,8, 5, 2.2S2k 1=C1+C2+-+Ck 1 + Ck+Ck+1+C2k- 1=2 Ck+Ck+1+，,+C2kT Ck,S2k L 4k- 132+4X132- 50,当k=13时，&k-1取得最大值.S2k-1的最大值为626.3所有可能的对称数列是：1, 2, 2： 2m2m二2m;2： 2, 1; TOC o 1-5 h z 1, 2, 2： 2m:2m12m二2m; 2：2,1;2ml 2m: 2：2, 1,2, 2：2m: 2m，2m2m: 2：2, 1,1, 2,2； 2m二2m二对于，

24、当 m注021 时，S2021=1+2+22+-+22007=22021 - 1.当 1500V m2007 时，S2021=1+2+2m 2+2m 1+2m 2+-+22m 2021=2m 1+2m 1 22m2021=2m+2m- 122m-20211对于，当 m 注021 时，S2021=22021 - 1.当 1500vmV007 时，S2021=2m+122m 2021 1.对于，当 m注021 时，S2021=2m2m一2021.当 1500vmV007 时，S2021=2m+22021 m 3.对于，当 m注021 时，S2021=2m2m一2021.当 1500vm 0, Si

25、4M7,求所有可能的数列%的通项公式.考等差数列的通项公式；等差数列的性质.点：专计算题；压轴题.题：分 I此题是关于等差数列的根本量的运算，设出题目中的首项和公差，根据第十一析： 项和前十四项的和两个数据列出方程组，解出首项和公差的值，写出数列的通项.n根据三个不等关系，写出关于首项和公差的不等式组，解不等式组，得到一个围，根据an的首项ai及公差d都为整数得到所有可能的结果，写出通项公式.由 解：I由 Si4=98 得 2ai+13d=14,又 a11=a1+10d=0,解得 d=-2, a1=20. 2的通项公式是 an=22 - 2n,13d=C11己十lOd 0Qi 6r2a1+13

26、dLl-2 a, - 20d 0_ 2 a1 _ 12LJ由+得7d11.由+得13d w- 1即 d- -于是-d-113又dC Z,故d= - 1 将代入得10a1 1,两边取对数得 lg1+an+“ =2lg1+an）二2lg1+an是公比为2的等比数列.n由I知 lg1+an=2n 1?lg1+a1=2Tn=1+ai1+a21+a=320 . 32322 .327=31+2+22+ +2n1=32，Tin . an+1=an +2anan+1=an力+2b:2 (-) n anSn=b+b2+bn= 2 (1-1 + 十, * + -) =2 f -) a1 a2 a2 a3 an a

27、n+1 al an+lV1A Sn+3Tn-l1 ,点此题主要考察了等比关系确实定和数列的求和问题.考察了学生对数列知识的综合评：掌握.2006?XX数列xn, yn满足 X1=X2=1, yI=y2=2,并且入为非零参数，n=2, 3, 4,.1假设X1, X3, X5成等比数列，求参数 入的值;2当x 0时，证明(nf N*);当入 1时，证明:V4L %生*一+上高(口3工2一打叼%叼+17皿入一1考 等比数列的性质；不等式的证明.计算题；证明题；压轴题.题: 分 析:1根据奥二.22把Xl=X2 = 1代入求得X3,同理可求得X4=入3, X5= X ,进而根据等比2根据根据不等式性质

28、可知有进而可得出入1时得出zn解答:y_nX_n+1y_n+1原式得证.令racX_n+1X_n代入 fracX_1 卜y_1X_2 y_2+fracX_2 y_2X_3卜y_3+ +fracX_n-1解：由 X1=X2=1,且叼 町X3=入，同理可知X4= X , X5=f,假设X1、X3、X5成等比数列，那么2X3 =X1X5,即入2=f.而入=0,解得入=+.2证明：I由入0, X1=X2=1及y=y2=2,可得Xn0, yn0.由不等式的性质,另一方面,_ *、n C N.中项的性质求得入.*、n当入1 时，由I可知，ynXn*nC N.又由I秘nC N*，从而I 一巧J? 一万2 一

29、%叼门+n+l点评:此题以数列的递推关系为载体，结合等比数列的等比中项及前 等式的性质及证明等根底知识进展运算和推理论证.n项和的公式，运用不14.2006?XX数歹U Xn满足 Xi=X2=1 并且为非零参数，n=2, 3, 4,.1假设Xi、X3、X5成等比数列，求参数 入的值;2设0入v 1,常数kC N*且k也 证明_|3+一+三坟-_ （nf） K1工21n 1-尸考 等比数列的性质；等差数列的前 n项和；数列的应用；不等式的证明. 点专计算题；证明题；压轴题. 题1令n=2,3,4代入到（工为非零参数，n=2, 3, 4,中得到2设由，数列an是以=1为首项、Ki解：1解：由 X1

30、=X2=1 ,且X1、X3、X5假设它们成等比数列那么根据X32=X1X5,即求出入即可;入为公比的等比数列，化简不等式左* -边由0V入v 1,吊数k C N且kW得证.假设X1、X3、X5成等比数列,那么X32=XlX5,即 片=1.而 入/解得=.2证明：设 ,二受也，由，数列an是以竹二1为首项、入为公比的等比数列,故如二尹%那么Xk=M F+H =产-2 产-3广1K 口 维t+k - 1 Kn+k - 2 x nk (k- 3kiiH*因此，对任息n N ,人疝2n- 1因为 fx=&x+a2X2+anXn所以 fx=a1+2a2x+ - +nanxn 1从而 f1=a1+2&+n

31、an=32T+2322-1+Tn3X2nT=32+2X22+n2n 1+2+n=3nT?2n+1一 口+6.2由上 2f1- 23n2- 13n=12n-1？2n- 122n2- n-1=12n 1?2n- 12n12n+1=12n- 12n- 2n+1当 n=1 时，式=0 所以 2f1=23n2- 13n；当 n=2 时，式=-12V0所以 2f10 又 2n=1+1n=0+1+n 1+n 注n+22n+1所以n - 12n-2n+10 即0 从而 2f123n2-13n.评： 此题主要考察了数列中等比关系确实定.往往可以通过-1=q为常数的形式来确定.16.2005?数列an满足 a1=

32、1 且 8an+an- 16an+1+2an+5=0nm. 记.求 bb b2, b3, b4II先由I中求出的b1, b2, b3, b4的值，观察规律可猜想数列b -3为等比数列, -3进而可求bn,结合1Z,从而猜想得以证明，代入求I求 b、b2、b3、b4 的值;n求数列bn的通项公式及数列anbn的前n项和Sn.考 数列的求和；数列递推式.点 专计算题；压轴题. 题法一I由a1结合递推公式可求 a2, a3, a,，代入出an?bn,进而求出前n和Sn法二I由乂二一二一+,代入递推公式可得 L+1=2%-微，代入可 =nJ% 2求 b1, b2, b3, b4II利用I中的递推关系个

33、构造数列 1b为等比数列，从而可求bn, Sn法三I同法II先由I中求出的b1,b2,b3,b4的值，观察规律可猜想数列bn+1-bn为等比数歹U,仿照法一再证明猜想，根据求通项的方法求bn,进一步求Sn解解：法一：答Iai=1,故b1:2；故,二二，一一8故：-一_8 1-3213故卜ii因（b -!）【卜-1）=Zx自3 打 33 3-为3 T故猜想L n一91是首项为233,公比q=2的等比数歹U.因an专，否那么将an=2代入递推公式会导致矛盾故小）因 =%+l& 16 - g 420- 16 a _ 1 3 6%-3 3 6%-3 22g-16a_4 ,F 3= Sa -3 =bn+

34、1 M ”一 一Fl2-1 |确是公比为q=2的等比数列.4因 bi -= 133由-1an得n 33JI，故 Sn=aibi+a2b2+ +anbn=22，鼎2喝（启1）,1（1- 20）i二，.）一，二法二:整理得bi由，代入递推关系 8an+i% 16&+i+2an+5=0,n+lr r+1 %3由ai=1,有bi=2,所以匕4b3-4 b白二山 匚3 J的二2bB 于(bj争,瓦户Q，所以fb -旦是首项为2,公比q=2的等比数歹U,回313=4P2n,即 口神241nl) .000(2、一. J故法三：I同解法一匕2 一如二争b13 3X - ( ) 2猜想bn+1 - bn是首7

35、33公比q=2的等比数列，6t一味二g,2 口又因an车，故5+2% 广 ei)因止匕b1rl_b仇二an+lI a -1 5+2%2 n 2 161；_2 _1 20Tl216Y%& IQ %36-24.16一% 2Q-16%6an _ 36 an _ 3 &a咨 - 3O bntl - b是公比q=2的等比数列J,从而 bn=bn bn-I+bn-1一 bn-2+-+ b2 bi+bi=Lt 1+zn-2+21)+2=2n4(nl)-1点此题考察了数列的综合运用：递推关系的运用，构造等比求数列通项，累加求通项，归 评 纳推理的运用，综合考察了考生的推理运算能力.17.2004?设Pixi,

36、yi，PiX2,y2，PnXn,ynnW, n CN是二次曲线C上的点，且ai=|OPi|2, a2=|O囹2,，an=|OPn|2构成了一个公差为 dd4的等差数列，其中 Od变化时，求Sn的最小值;Pi10, 0及S3=255,求点P3的坐标；只需.点Pia, 0，对于给定的自然数 n,当公差3请选定一条除椭圆外的二次曲线C及C上的一点Pi,对于给定的自然数 n,写出符合条件的点Pi, P2, -Pn存在的充要条件，并说明理由.等差数列的性质；数列的求和；椭圆的应用.计算题；压轴题.题: 分 析:I依题意可分别求得ai和a3,进而把椭圆方程和圆的方程联立求得交点即P3的坐标.2根据原点ab

37、0上各点的最小距离为b,最大2距离为a.根据ai=a,判断d0.根据双曲线的性质可知原点O到双曲线C上各点的距离h的围，进而根据|OPi|=a2推断点Pi, P2, Pn存在当且仅当|OPn|2|OPl|2符合.解 解：iai=|OPi|2=i00,由 S3述ai+a3=255,得 a3=|OR|3=70. 点P3的坐标可以为2运,石.222原点O到二次曲线C:。七二1ab0上各点的最小距离为 b,最大距离 a2 d为a.ai=|OPi|2=a2,d0故Sn的最小值为3假设双曲线 C: jd-iL=1,点 Pia, 0，那么对于给定的n,点Pi, P2, Pn存在的充要条件是 d0.2原点O到

38、双曲线C上各点的距离hC|a|, +8,且|OPi|二a,.点 Pi, P2, Pn存在当且仅当 |OPn|=ai i qac3 a2c3 +&c3 a4c3|OPi|2,即 d0.点此题主要考察了等差数列的性质.涉及了圆锥曲线和函数的知识，考察了学生综合评：分析问题和根本的运算能力.i8.2003?数列ann为正整数是首项是 ai,公比为q的等比数列.0_i _2_0_i _2_3i求和：aiC2 a2G +a3c2 , aiQ a2c3 +a3c3 a4c3 ;2由i的结果归纳概括出关于正整数n的一个结论，并加以证明.3设 q月，&是等比数列4的前 n 项和，求：Si0 - S2i+S32

39、 - S43+-+ - i&+；考数列的求和；等比数列的性质.点 专 计算题；证明题；压轴题.题分i利用组合数公式和等比数列的通项公式进展化简，再利用平方差和立方差公式合 析并.:2利用归纳推理和i的结果进展推理出结论，利用二项式定理从左边到右边证明.3由题意知数列%是等比数列，而且 q力，求出sn代入所给的式子，进展整理和分组，再利用二项式定理求解.解. .、- 0i 22软解：i aiC2 a2c2+a3c2 =ai 2aiq+aiq 合那么 ai0- a21+&2 a；+ 一 1nan+in=ai1 qn, n 为正整数证明： a1 - a21+a32 - a43+ , , + 一 1“

40、an+J=a一 a1q1+aq22 a1q33+- +一1 na1 qnn=ai0 - q1+q22 - q33+ - + 一 1 nqnnn=a 1 一 q；，左边=右边，该结论成立.3.数歹收n为正整数是首项是 a1,公比为q的等比数列，而且 q月.-八仇f 1 _ ega i a I q a1 qJS- S21 + S3 2 - S43+-1”与+3+T n1-qn+1n0 q1- qC：-qc*q%； -+ (-1)%点此题为等比数列和二项式定理的综合应用，还用到组合数公式，计算量大；在化简式 评子时根据特点进展分组求解，利用二项式定理进展化简.19.2021秋？周村区校级月考数列bn

41、是等差数列，b1=1, b1+b2+- +b10=145.1求数列bn的通项bn；2设数列4的通项an=loga1工其中a0,且a力，记Sn是数列4的前n项和.试比较Sn与nOgabn+1的大小，并证明你的结论. J考 等差数列的通项公式；数列的求和；数学归纳法.点计算题；证明题；压轴题.1根据数列bn是等差数列，建立 bl与d的方程组，解之即可；2因此要比较Sn与gogabn+1的大小，可先比较1+11+11+一1一与辆由 14 3n 2的大小，利用用数学归纳法证明此式，当 a1时，Snllogabn+1,当0vav 1时，-lOgabn+1.3bt-l解:1设数列bn的公差为d,由题意得，

42、10 1Q-1)10b +*145,所以 bn=3n - 2 .2由 bn=3n- 2,知Sn=loga1+1+loga= loga1+1 1+工4因此要比较Sn与1logabn+1的大小，可先比较1+11+1134小.取 n=1 有1+1 聚ai+,取 n=2 有1+11工，由此推测1+11+11匕1 一纲而.4 3n 一 2J假设式成立，那么由对数函数性质可断定:当 a 1 时，Snlogabn+1.当 0V av 1 时，Snvgogabn+1.卜面用数学归纳法证明 式.i当n=1时已验证式成立.ii假设当n=kkm时，式成立，即因为IrrTTiLV3k+1%+lrj/3ET3k+l（3

43、k+2-叼3k+43（3k+Z）3-（3k+4）（3k+l）（3kH） 29k+4（3k+D203 ,所以笔学3k+2%3k+4 二劭（k+1） +1 31c 十 _L一，、，1、， I 1 、， I 1 、+,因而1 + 111+-1+-回（MlW4 3k-2 3k+l W 11这就是说 式当n=k+1时也成立.由i， ii知式对任何正整数 n都成立.由此证得：当 a 1 时，Sn logabn+1.当 0 V aV 1 时，SnV log abn+1 .3点 本小题主要考察等差数列根本概念及其通项求法，考察对数函数性质，考察归纳、推 评理能力以及用数学归纳法进展论证的能力.+120.202

44、1?在数歹U &中,a1=1, an+1=can+ 2n+1nCN*，其中实数 c4.1求an的通项公式；2假设对一切kC N*有a2k湫-1,求c的取值围.考数列递推式；数学归纳法.点：专计算题；压轴题；探究型；归纳法.题：21根据白，%和a3猜想an=n2- 1+”,进而用数学归纳法证明.2把1中求得的 an代入 a2kazk-1,整理得4k2-1c2-4k2-4kTc- 10,分别表示Ck和又Ck,根据CkV （4k?-+qk2+求得c高，再根|2 （4k2-1）|据Ckv。，判断出单调递增知Cki求得v -hh,最后综合答案可得.| 6 |解：1由 ai=1, a2=cai+c23=2

45、21c2+ca3=ca2+c3?5=32 - 1c3+c2,猜想 an= n2 - 1+ 1,下面用数学归纳法证明，当n=1是，等式成立假设当n=k,等式成立即ak= Ck2- 1ck+c那么当 n=k+1 时 ak+1=cak+ck+12k+1=k2+2kck+1+ck=k+12 1ck+1+ck,综上an=n2-1+ 对任意nCN都成立.2由 a2kazk-1 得2k2- 1c2k+c2k S2kT2- 1c2k，c2k 之,因 c 0,所以4k1c 4k 4k 1c 1 0解此不等式得c ck,或c ck,其中（4k-4kT）短 Mk?一以一。（%？T）2 （4k2-l）（4籍一曲_1）

46、 _ 4（妹2_4广口 北巳32（4k2 -1）易知又由V 乂谓-独-l)+4 C4ka -D J “J _)M(n2 -D =4k2+1 知(41 -4k-l) +“汩ck； ck对一切kC N成立得c声从而c的取值围是-壬u i, +06点此题主要考察了数列的递推式.考察了学生综合运用所学知识和实际的运算能力.评：21.2021?模拟函数y=fX的图象是自原点出发的一条折线，当n或由+1n=0, 1,2,时，该图象是斜率为bn的线段其中正常数bE,设数列|xn|由fxn=nn=1, 2, 定义.1求X1、X2和Xn的表达式；2求fX的表达式，并写出其定义域；3证明：y=fX的图象与y=X的

47、图象没有横坐标大于 1的交点.考数列的极限.点：专综合题；压轴题.题：士匚 1依题息f0=0,又由fX1=1,进而利用斜率公式得 X1=1 ,再由当n或许+1n=0, 1, 2,时，该图象是斜率为 bn的线段其中正常数 b力，可得Xn的递推关系，再利用累加法求得Xn的表达式.2先求出fX的表达式，再根据 b的取值情况分别求得 fX的定义域.3法1:分情况用数学归纳法证明.法 2：分情况利用当 Xn X - Xn n 封，从而fX- XfXn- Xn.进而得解.解：1依题意f0=0,又由fX1=1,当0可词时，函数y=fX的图象是斜0门町F1Q).率为b0=1的线段，故由-二1又由fX2=2,当

48、1可V时，函数y=fX的图象是斜率为 b的线段，故由n - 1记X0=0.由函数y=fX图象中第n段线段的斜率为b ,故得所以V广中口 ”由此知数列Xn - Xn_ 1为等比数列，其首项为 1 ,公比为工r因E ,得O二（/-其_ I）k=12当09岗，从I可知y=x,当0a1时，fX=x.当 ny1时，y=fX的定义域为0, 7b T当0vbv1时，y=fX的定义域为0, +8 .3证法一：首先证明当 b1, 1了 b 时,恒有fxx成立.b _ 1用数学归纳法证明：i由2知当 n=1 时，在1, X2上，y=fx=1+bx 1,所以 fx- x=x- 1bT 0 成立ii假设n=k时在xk

49、, xk+1上恒有fx x成立.可得 fxk+1=k+1xk+1,在xk+1, xk+2上，fx=k+1+bk+1xxk+1.所以 fx- x=k+1+bk+1x- xk+1- x=bk+11xxk+1+k+1 xk+10 也成立.由i与ii知，对所有自然数 n在xn, xn+1上都有fxx成立.即1工 卜时,恒有fx x. b T其次，当bv1,仿上述证明，可知当 x1时，恒有fxvx成立.故函数y=fx的图象与y=x的图象没有横坐标大于1的交点.证法二：首先证明当b1, 1工时，恒有fxx成立.b - 1对任意的工 (1, b ),存在xn,使xnVx叔n+1,b - 1此时有 f x f

50、 xn=bn x x。 x - xn n m，所以 f x xfxn- xn.所以 f xn- xn 0,所以 f x xfxn xn 0,即有f x x成立.其次，当bv1,仿上述证明，可知当 x1时，恒有fxvx成立.故函数fx的图象与y=x的图象没有横坐标大于 1的交点.本小题主要考察函数的根本概念、等比数列、数列极限的根底知识，考察归纳、推 理和综合的能力.点此题主要考察函数与数列以及极限的综合知识，考察知识的归纳、推理和综合运用评： 的能力，能力层次要求高，要理解掌握此题的思想方法.2021?数列仇刚足口博1猜想数列右的单调性，并证明你的结论;n证明:I孙+1 一 %忌（看）n 1考

51、数列的函数特性；数学归纳法. 点 专证明题；压轴题. 题皿1对于数列Xn的单调性的证明，我们可以根据数列的前假设干项，归纳推理出数列的:单调性，然后再利用数学归纳法进展证明.2我们可以将待证的问题进展转化，变形成的形式,然后结合条件解 证明：1由 Xi=, Xn+1=-,答,一:，:.上 352_13七一3，厂5注一2广由X2X4X6猜想：数列X2n是递减数列下面用数学归纳法证明：1当n=1时，已证命题成立2假设当n=k时命题成立，即X2kX2k+2易知X2k 0,那么1_1K2i+3 - s2k41算 2k+22k+4 =节Ej5工如十 1iTX2k+3 叼 MH， K2k+3 ；即 X2k

52、+1X2k+1+2也就是说，当n=k+1时命题也成立，结合1和2知，命题成立2当n=1时，|孙+i 一 二|全一工1 I，结论成立.I. 一 JI，- L I二11+1I+n-1 U + 4)|xn- Zn-1K C-|)2 lln-l- Xn-2K*(|)n 1|x2-3：il二： 6 5点此题1中的证明要用到数学归纳法，数学归纳法常常用来证明一个与自然数集N相关评的性质，其步骤为：设 Pn是关于自然数n的命题，假设1奠基Pn在n=1:时成立；2归纳 在Pkk为任意自然数成立的假设下可以推出 Pk+1成立， 那么Pn对一切自然数n都成立.23.2021?4是公差为d的等差数列，bn是公比为q

53、的等比数列*1假设an=3n+1,是否存在 m, nC N ,有am+am+1=ak.请说明理由；2假设bn=aqna、q为常数，且aq4对任意m存在k,有bm?bm+1=bk,试求a、q满足 的充要条件；3假设an=2n+1, bn=3n试确定所有的p,使数列bn中存在某个连续p项的和式数列中a的一项，请证明.考等差数列的性质；等比数列的性质.点：专综合题；压轴题.题：灯 1把an的通项公式代入am+am+1=ak,整理可得k和m的关系式，结果为分数，根据*m、k N,可知k- 2m也应该为整数，进而可判te不存在n、k N ,使等式成立.2利用特殊值法，令 m=1,那么可知b1?b2=bk

54、,把等比数列的通项公式代入整理可得2=疝，其中c是大于等于-2的整数；反之a=qc时，其中c是大于等于-2的整数，那么bn=qn+c,代入bm?bm+1中整理得bm?bm+1=bk,进而可判断a、q满足的充要条件是a=qc,其中c是大于等于-2的整数3设bm+1+bm+2+-+bm+p=ak,先看当p为偶数时等式左边为偶数，右边为奇数，等式不可能成立；再看当p=1时，等式成立，当 pm且为奇数时，根据bm+1+bm+2+-+bm+p=ak,整理可得 3m+13p 1=4k+2,进而可知 3m+12G2+Cp2?22+Gp?2P一2+p=2k+1 ,此时，一定有 m和k使上式一定成立.综合可知当

55、p为奇数时，命题都成立.解：1由 am+am+i=a,得 6m+6+3k+1,整理后可得一2-1;小-*k- 2m为整数不存在n、kC N ,使等式成乂.2当 m=1 时，那么 bi?b2=bk,.a2?q3=aqk，a=q3,即a=qc,其中c是大于等于-2的整数反之当a=qc时，其中c是大于等于-2的整数，那么bn=qn+c,显然 bm?bm+i=qm+c?qm+1+c=q2m+1+2c=bk,其中 k=2m+1+ca、q满足的充要条件是a=q。，其中c是大于等于-2的整数3设 bm+1+bm+2+-+bm+p=ak当p为偶数时, 当p为偶数时,*式左边为偶数，右边为奇数,*式不成立.整理

56、得 3m+131 1=4k+2当p=1时，符合题意.当p用，p为奇数时，3P-1=1+2p- 1=Cp0+Cp1?21+Cp2?22+Cpp?2p- 1=Cp1?21+Cp2?22+Cpp?2p=2G1+G2?2+Cpp?2p1=22 Cp2+G2?22+G”2P 2+p由 3m+13p1=4k+2,得 3m+12Cp2+Cp2?22+Gp?2P+p=2k+1当p为奇数时，此时，一定有 m和k使上式一定成立.当p为奇数时，命题都成立.点此题主要考察了等比数列和等差数列的性质.考察了学生综合分析问题和解决问题评：的能力.24.2021?对于每项均是正整数的数列A: ai,%，%,定义变换Ti,

57、Ti将数列A变换成数列TiA： n, ai- 1, & - 1,，an-1;对于每项均是非负整数的数列B： bi, b2,bm,定义变换T2, T2将数列B各项从大到小排列，然后去掉所有为零的项，得到数列T2B；又定义SB=2 bi+2b2+mbm+bi2+b22+-+bm2.设Ao是每项均为正整数的有穷数列，令 Ak+i=T2TiAkk=0, 1, 2,.I如果数列Ao为5, 3, 2,写出数列 Ai, A2；n对于每项均是正整数的有穷数列A,证明STiA=SA；出证明：对于任意给定的每项均为正整数的有穷数列Ao,存在正整数 K,当k浓时，SAk+1=S Ak.考 数列的应用.点：专压轴题；

58、探究型.题：皿 I由 A0： 5, 3, 2,求得 TiAo再通过 Ak+1=T2TiAk求解. 析：n设有穷数列 A 求得 TiA再求得 STiA，由 SA=2 ai+2a2+n%222+ai +a2 +an,两者作差比较.出设A是每项均为非负整数的数列ai, a2, an.在存在1Mvj由，有aQj时条件下，交换数列 A的第i项与第j项得到数列B,在存在i0可得到必要性的证明;由用数学归纳法可证明Xn+1虫n对一切正整数n成立.3先由丁丁与+；得到J+i+2= 工和0+i 一斤 %，然,. ,. 一 环*+2,%+2、？ 上”一心后两式相除可得到 二（-） 后再两边取对数，求得 an+1=

59、2a,进而可3 - 2 Kn-2J ，皿口、,巾+2 口 -知数列an成等比数列，根据等比数列的通项公式求得an,代入即可求X. 一 上得数列Xn的通项公式.解 解：I由题可得fX=2x答：所以过曲线上点X0, fX0的切线方程为y- fXn=fXnX- Xn，即 y一 Xn 4=2XnX Xn令 y=0,得一Xn24=2XnXn+1 Xn,即 Xn2+4=2XnXn+1显然Xn用，,而 xi0, . .xi2k，,即有n证明：必要性假设对一切正整数n, Xn+ian,那么X2a1,即充分性假设X1凄 。，由4用数学归纳法易得Xn0,从而工金2 51）2 xn又Xi或，Xn或n凄2_ Kn 2

60、 _4 .拄rrH 工n-亍二 3 2宣nn（2 -耳丘）（2+ =即Xn+1Xn对一切正整数n成立m（、6卷FT2-,同理%2n-hl - 2从而1gn+liv+l+2 k +2一=21g-2 J,即 3n+12an所以，数列an成等比数列，故all=2n1a1=2Il-1lg万#2I-2=2n-1lg3,月计+2 n-1g-=21售3,从而、一 2%”所以xn=2 （产111）/T _此题综合考察数列、函数、不等式、导数应用等知识，以及推理论证、计算及解决评：问题的能力.26.2006?设数歹U &、bn、满足：bn=anan+2, =an+2an+1+3an+2n=1, 2, 3,证考点