高中数学新教材变式题13概率与统计

1、十三、概率与统计变式题(命题人：广州市第三中学刘窗洲)审校人张志红1 .(人教A版选修2-3第66页例4)某射手每次射击击中目标的概率是0.8,求这名射手在 10次射击中，(1)恰有8次击中目标的概率；(2)至少有8次击中目标的概率？变式1:某人参加一次考试，4道题中解对3道则为及格，已知他的解题正确率为0.4,则他能及格的概率为 . 33【解析】：他能及格则要解对4道题中解对3道或4道：解对3道的概率为：P(A)=C：0.43 .0.6,解对4道的概率为：P(B) =C：0.44 ,且A与B互斥，他能及格的概率为P(A + B)=C：0.43 0.6 +C：0.44.变式2:设甲、已、丙三人

2、每次射击命中目标的概率分别为0.7、0.6和0.5。(1)三人各向目标射击一次，求至少有一人命中目标的概率及恰有两人命中目标的概率；(2)若甲单独向目标射击三次，求他恰好命中两次的概率.【解析】(I)设Ak表示“第k人命中目标，k=1, 2, 3.这里，A, X,备独立，且 P (A) =0.7 , P (A) =0.6 , P (备)=0.5.从而，至少有一人命中目标的概率为1-P(A A2 A) =1-P(A)P(A2)P(A0 =1 -0.3 0.4 0.5=0.94恰有两人命中目标的概率为P(A a A A A2 A A A A = P(A A A3) P(A A A) P(A A A

3、) = P(A)P(A2)P(A3) P(A)P(3)P(A) p(A)p(一)p(A3) = 0.7 0.6 0.5 0.7 0.4 0.5 0.3 0.6 0.5 =0.44答：至少有一人命中目标的概率为0.94 ,恰有两人命中目标的概率为0.44 .(II )设甲每次射击为一次试验，从而该问题构成三次重复独立试验.又已知在每次试验中事件“命中目标”发生的概率为0.7 ,故所求概率为P3(2) =C；(0.7)2(0.3) =0.441.答：他恰好命中两次的概率为0.441.变式3:在2004年雅典奥运会中，中国女排与俄罗斯女排以“五局三胜”制进行决赛，根据以往3战况，中国女排在每一局赢的

4、概率为3,已知比赛中，俄罗斯女排先胜了每一局，求：5(1)中国女排在这种情况下取胜的概率；(2)求本场比赛只打四局就结束的概率.(均用分数作答)【解析】(1)中国女排取胜的情况有两种，第一种是中国女排连胜三局，第二种是在第2局到第4局，中国女排赢了两局，第5局中国女排赢，中国女排取胜的概率为(3)3 C .岛2 2 3 = 297555 5625(2)c2 (|)253 (3)3上55125变式4: 一个质地不均匀的硬币抛掷 5次，正面向上恰为1次的可能性不为0,而且与正面向上恰为2次的概率相同.令既约分数 -为硬币在5次抛掷中有3次正面向上的概率，求i + j .【解析】设正面向上的概率为P

5、,依题意:C；P(1p4 =C；P2(1 p3,1-P=2P,一r1解得：P1-,3硬币在5次抛掷中有3次正面向上的概率为C3P31-P2 ; C；402432 .(人教A版选修2-3第77页例4)随机抛掷一枚质地均匀的骰子，求向上一面的点数X的均值、方差和标准差。变式1:设某射手每次射击打中目标的概率为0.8,现在连续射击4次， 求击中目标的次数E的概率分布.【解析】击中目标的次数 E可能为0, 1,2, 3, 4。当 E =0 时，P仁=0)=C：0.24,当 E =1 时，P(f =1)=C40.81 0.23,当 E =2 时，P( =2 )=C：0.82 0.22,当七二3 时,P仁

6、=3)=C：0.83 Q21 ,当 E =4 时，P=4 )=C：0.84,所以E的分布列为:01234PC：0.24C40.81 .0.23Cj0.82 0.22C：0.83 0.21C：0.84变式2:袋中有1 2个大小规格相同的球，其中含有2个红球，从中任取3个球，求取出的3个球中红球个数E的概率分布.【解析】E的所有可能的取值为：0, 1,2.C3当 E=0 时，P仁=0)=Y， C；2C1C2当E=1时，PK=1)=竺 C32当E =2时,012PC3C10C3C12C2 c120C；C；0c；2C12120 90 10 =1 .2203 1 2 2 1评述：工+竺也+5_学 3 3

7、 3C12C12C12变式3:从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量 J表示所选3人中女生的人数(1)求的分布列;(2)求的数学期望;(3)求“所选3人中女生人数 工W1 ”的概率. TOC o 1-5 h z k3 _k【解析】（1） t可能取的值为0, 1, 2。p（C = k）= 2 4 ,k=0, 1, 2.6所以，E的分布列为012P153515 TOC o 1-5 h z 131.(2)由(1), U的数学期望为旨=0父1+1父+2父=1 555(3)由(1), “所选3人中女生人数1 W1”的概率为P( 1) = P(U =0) + P(t =1)=-. 5变式4

8、:甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的 6题,乙能答对其中的8题.规定每次考试都从备选题中随机抽出 3题进行测试，至少答对 2题才算合 格.(I )求甲答对试题数 E的概率分布及数学期望； (n)求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率【解析】(I )依题意，甲答对试题数 E的概率分布如下：0123P1311301026甲答对试题数E的数学期望EE =0X +1 X +2X 1+3X - =9.301026 5(n)设甲、乙两人考试合格的事件分别为a、B,则P(A尸213C6C4 + C6 =60 + 20 = 2据-120 13P(B尸C；C；十C； =56

9、+ 56=14C- 120 -15因为事件A B相互独立，方法一：，甲、乙两人考试均不合格的概率为 TOC o 1-5 h z 2141P( A B)=P( A)P( B )=1 -)(1 尸一.31545144.,甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为p=1P( A,B)=1 ，= 44 .45 4544答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为 竺.45方法二：，甲、乙两人至少有一个考试合格的概率为P=P(A- B )+P( A - B)+P(A - B)=P(A)P( B )+P( A)P(B)+P(A)P(B)=2x1+1x 纪+2x 幺色4445315 315 315 45答：甲、乙两人

10、至少有一人考试合格的概率为3.(人教A版选修2-3第86页B组2)若 X - N(5,1),求 P(6 X 7) o变式1:随机变量E服从正态分布 N (0, 1),如果P ( 1) =0.8413,求P ( 130). 【解析】: EN (0, 1),P ( 130) =P (05) =1 - P (x5) =1 P (x$ =1 -F (5) =1 (5-6)2=17 (0.5)=(0.5) =0.6915.相比之下，利润超过5万元”的概率以第一个方案为好，可选第一个方案变式3：在某校举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩近似服从正态分布N(70,100).已知成绩在90分以上(含90分

11、)的学生有12名.(I)试问此次参赛的学生总数约为多少人？(n)若该校计划奖励竞赛成绩排在前50名的学生，试问设奖的分数线约为多少分？可供查阅的(部分)标准正态分布表6(x0 )= P(x 90)=1 P (上 90) = 1 F(90)=1()=1(2)= 1 -0.9772=0.228.10这说明成绩在90分以上(含90分)的学生人数约占全体参赛人数的2.28%,因此， 12参赛总人数约为 526 (人).0.0228(n)假定设奖的分数线为x分，则,x -70.50P(一次)=1 P (一 x) = 1 F(x) = 1 9 () = 0.0951,10526一 x -70. . 一 x

12、 70即6()=0.9049,查表得 =1.3,解得 x= 83.1.1010故设奖得分数线约为83.1分.4.(人教A版选修2-3第100页例2)一只红铃虫白产卵数y和温度 x有关，现收集了 7组观测数据列于表中，试建立 y与X之间的回归方程。温度x/0C21232527293235产卵数y/个711212466115325变式1:为了对2006年佛山市中考成绩进行分析，在60分以上的全体同学中随机抽出8位，他们的数学(已折算为百分制)、物理、化学分数对应如下表，学生编号12345678数学分数x6065707580859095物理分数y7277808488909395化学分数z677276

13、8084879092(1)若规定85分(包才85分)以上为优秀，求这8位同学中数学和物理分数均为优秀的概率；(2)用变量y与x、z与x的相关系数说明物理与数学、化学与数学的相关程度； TOC o 1-5 h z (3)求y与x、z与x的线性回归方程(系数精确到 0.01),并用相关指数比较所求回归模型 的效果. 88 HYPERLINK l bookmark42 o Current Document 参考数据：x = 77,5 , y =85 , Z =81 , 2 优 一x )2 % 1050 , Z (yi - y )2 牝 456 , i 1i 18888v (Zi -Z )2550,

14、x (xi -x )(yi - y ) - 688, x % - x )(乙Z ) : 755,(yi -？)2 7 , HYPERLINK l bookmark44 o Current Document i 1i 1i =1i =18” (zi -？)2 ： 94,1050 ： 32.4, 456 : 21.4, . 550 ： 23.5.i 1解答：(1)由表中可以看出，所选出的8位同学中，数学和物理分数均为优秀的人数是3人，其概率是3.8(2)变量y与x、z与x的相关系数分别是688.755八r=定0.99、 r=% 0.99 . 5 分32.4 21.432.4 23.5可以看出，物理与数学、化学与数学的成绩都是高度正相关. 6分(3)设y与x、z与x的线性回归方程分别是 ？ = bx + a、？ = bx + a.根据所给的数据，可以计算出b =匣 =0.65 ,a =85 0.65* 77.5 =34.63 ,1050