高等数学(经管类)第6章常微分方程课件

1、第六章 常微分方程6.1 常微分方程的基本概念与分离变量法6.2 一阶线性微分方程6.3 二阶常系数线性微分方程 6.4 应用与实践6.5 拓展与提高第1页，共47页。一 知识结构第六章 常微分方程第2页，共47页。二 教学基本要求与重点、难点第六章 常微分方程 （1）常微分方程的基本概念，解、通解、特解、初始条件的概念。 （2）一阶微分方程中可分离变量方程、齐次方程、一阶线性方程的解法。 （3）二阶微分方程中可直接积分类型、二阶常系数齐次线性微分方程的解法，求解简单的二阶常系数非齐次线性微分方程。 1教学基本要求第3页，共47页。第六章 常微分方程2教学重点与难点 （1）重点 一阶微分方程的

2、类型和解法。典型二阶微分方程的类型和解法。 （2）难点 齐次方程、二阶常系数非齐次线性微分方程的求解法。第4页，共47页。6.1 常微分方程的基本概念与分离变量法 第六章 常微分方程6.1.1 微分方程的基本概念 引例 已知曲线上任意一点切线的斜率等于该点横坐标的二倍，且曲线过点(2,4)，求该曲线的方程。 第5页，共47页。6.1 常微分方程的基本概念与分离变量法 解：设所求曲线的方程为y=y(x)，根据已知条件知 两边积分 再将曲线过点(2,4)的条件代入得：C=0 第6页，共47页。6.1 常微分方程的基本概念与分离变量法 定义6.1 含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程。凡未知函数

3、为一元函数的微分方程叫常微分方程，多元未知函数的微分方程叫偏微分方程。 微分方程中出现的未知函数导数的最高阶数叫微分方程的阶。第7页，共47页。6.1 常微分方程的基本概念与分离变量法 定义6.2 代入微分方程中，使其成为恒等式的函数叫微分方程的解。解有两种形式，含任意常数的个数等于微分方程的阶数的解叫微分方程的通解，给通解中任意常数以确定值得出的解叫微分方程的特解。 第8页，共47页。6.1 常微分方程的基本概念与分离变量法 例1 验证函数 是一阶微分方程 的特解。解：因为 ，把y及 代入微分方程，得 所以函数 是微分方程 的特解。第9页，共47页。6.1 常微分方程的基本概念与分离变量法

4、6.1.2 可分离变量的微分方程定义 8.6 形如的微分方程，称为可分离变量的微分方程。求解可分离变量的微分方程的方法为：(1)将方程分离变量得 (2)等式两端求积分，得通解 第10页，共47页。6.1 常微分方程的基本概念与分离变量法 例2 求微分方程 的通解。 解: 此方程是可分离变量的，分离变量后得 两端积分 得 从而 方程的通解为 第11页，共47页。6.2 一阶线性微分方程第六章 常微分方程6.2.1 一阶线性微分方程称为一阶线性齐次微分方程。 定义6.4 形如 的方程，称为一阶线性微分方程，Q(x)称为自由项。 如果 则称为一阶线性非齐次微分方程；如果Q(x)=0 ，即 第12页，

5、共47页。6.2 一阶线性微分方程一阶线性微分方程的求解方法是常数变易法。常数变易法分两步求解：(1)求一阶齐次线性方程的通解因方程 是可分离变量的微分方程，分离变量得 两端积分得 所以 为一阶齐次线性方程的通解。 第13页，共47页。6.2 一阶线性微分方程(2)求一阶非齐次线性方程的通解 假定 是非齐次方程的通解，C(x)是待定函数。把假定解代入方程得第14页，共47页。6.2 一阶线性微分方程例3 求微分方程 满足条件 的特解。 解：将原方程变形为利用公式 故方程的特解为 第15页，共47页。6.2 一阶线性微分方程例4 求微分方程 的通解。解：令 代入方程得 用公式法得 第16页，共4

6、7页。6.2 一阶线性微分方程6.2.2一阶线性微分方程应用举例应用微分方程解决具体问题的步骤是：(1)分析问题，建立微分方程，确定初始条件；(2)求出该微分方程的通解；(3)根据初始条件确定所求的特解。第17页，共47页。6.2 一阶线性微分方程 例5 已知需求量Q对价格p的弹性为 ，且当Q=0时，p=100。试将价格表示为需求量的函数。解：因为需求量Q对价格p的弹性等于 故 分离变量得 代入初始条件得：C=100第18页，共47页。6.2 一阶线性微分方程 例6 物体冷却速度与该物体和周围介质的温度差成正比，具有温度为T0的物体放在保持常温为 的室内，求温度T与时间t的关系。 解：根据牛顿

7、冷却定律: 冷却速度与物体和空气的温差成正比，所以由分离变量法解得 由t=0时，T=T0 ，得第19页，共47页。6.3 二阶常系数线性微分方程第六章 常微分方程6.3.1 二阶常系数线性微分方程解的性质定义6.5 形如其中p，q是实常数。称为二阶常系数线性微分方程，与其对应的二阶常系数齐次线性微分方程为第20页，共47页。6.3 二阶常系数线性微分方程 若函数y1和y2之比为常数时，称y1和y2是线性相关的；若函数y1和y2之比不为常数时，称y1和y2是线性无关的。 定理6.1 若函数y1和y2是方程 的两个线性无关的解，则 是该方程的通解，其中C1，C2是任意常数。 第21页，共47页。6

8、.3 二阶常系数线性微分方程定理6.2 若 是方程 的一个特解， 是方程 的通解，则是方程 的通解。 第22页，共47页。6.3 二阶常系数线性微分方程形如的方程，其中p,q是实常数。6.3.2 二阶常系数齐次线性微分方程的求解方法设 是方程的解(r为待定常数)代入方程得称其为原方程的特征方程，其根称为特征根。 第23页，共47页。6.3 二阶常系数线性微分方程 特征方程的两个根有三种不同情况；相应地，微分方程的通解也有三种不同的情形：1特征方程有两个不相等的实根： 2特征方程有两个相等的实根： 3特征方程有一对共轭复根： 第24页，共47页。6.3 二阶常系数线性微分方程求二阶常系数齐次线性

9、微分方程的通解的步骤： (1)写出微分方程的特征方程；(2)求出特征根；(3)根据特征根，写出所给微分方程的通解。第25页，共47页。6.3 二阶常系数线性微分方程例7 求微分方程 的通解。 解：特征方程为 ，它有两个不相等的实根：r1= -1, r2=3故微分方程的通解为第26页，共47页。6.3 二阶常系数线性微分方程6.3.3 二阶常系数非齐次线性微分方程的求解方法 求二阶非齐次线性微分方程的通解可按如下步骤进行： (1)求出对应的齐次方程的通解 ； (2)求出非齐次方程的一个特解 ； (3)所求方程的通解为 。 第27页，共47页。6.3 二阶常系数线性微分方程待定系数法求微分方程特解

10、 其中P(x)是多项式， 是常数，则方程具有形如(1)若 与两个特征根都不等，取k=0；(2)若 与一个特征根相等，取k=1；(3)若 与两个特征根都相等，取k=2。 第28页，共47页。6.3 二阶常系数线性微分方程例8 求微分方程 的通解。 解 ：(1)其对应的齐次方程的特征方程为：所以齐次方程的通解为(2) 设特解为 代入原方程得 (3)所求方程的通解为第29页，共47页。6.4 应用与实践第六章 常微分方程6.4.1 应用1Volterra模型大鱼吃小鱼，生态平衡问题 设x(t)表示t时刻小鱼的数量，于是在由时刻t到时刻t+t中它的变化由以下关系决定 大鱼的数量用y(t)表示。 第30

11、页，共47页。6.4 应用与实践同理可得大鱼数量变化情况第31页，共47页。6.4 应用与实践分离变量积分后得通解 由初始条件 可得到特解。第32页，共47页。6.4 应用与实践2马尔萨斯人口方程 英国人口学家马尔萨斯提出了人口指数增长模型。他的基本假设是：单位时间内人口的增长量与当时的人口总数成正比。根据马尔萨斯的假设，时间与人口总数之间的函数关系为：由分离变量法解得 由初始条件可得第33页，共47页。6.4 应用与实践6.4.2 用Mathematica解常微分方程在Mathematica中求解微分方程的格式为： Dsloveeqn,yx,x求解yx的微分方程eqn，x为变量；Dsolve

12、eqn1,eqn2,y1,y2,., x 求解微分方程组eqn1，eqn2，x为变量； Dsolveeqn1,y0=x0,yx,x 求解微分方程eqn满足初始条件y0=x0的解。 第34页，共47页。6.4 应用与实践解： 例9 用Mathematica系统求解下列微分方程：(2)求方程 的通解。(1)求方程 满足初始条件y(0)=1的特解。第35页，共47页。6.5 拓展与提高第六章 常微分方程1齐次方程 定义6.6 形如 的一阶微分方程，称为齐次微分方程。 此类题的求解方法为：用变量替换y=ux把原方程化为关于x和u的可分离变量的微分方程，具体如下：第36页，共47页。6.5 拓展与提高两

13、端求导得 所以原方程变为 分离变量得 两端积分后，再把u换为 就可得到原方程的通解。 第37页，共47页。6.5 拓展与提高例10 求微分方程 的通解。解：把方程变为 分离变量为 等式两端积分得 通解为 第38页，共47页。6.5 拓展与提高 求解某些微分方程的时候，有时用“凑导数”的方法求解更为快捷，当然，“凑”的前提是必须熟悉各种导数组合式。2凑导数两种最常用的导数组合式：第39页，共47页。6.5 拓展与提高例11 微分 方程的通解。解：方程左边恰好等于 第40页，共47页。6.5 拓展与提高例12 求微分方程 的通解。解：方程两边同除 得 第41页，共47页。6.5 拓展与提高3. 其他类型微分方程的解法 若遇到不属于基本类型微分方程时，应按以下两种思考方法重新判别： (1)把x当作未知函数，把y当作自变量，再判别。(2)用适当的变量代换把方程化为可解方程。第42页，共47页。6.5 拓展与提高例13 求微