大学物理课后答案第十一章

1、第十一章机械振动一、基本要求1掌握简谐振动的基本特征，学会由牛顿定律建立一维简谐振动的微分方程，并判断其是否谐振动。掌握描述简谐运动的运动方程x二Acos（t+申），理解振动位移，振0幅，初位相，位相，圆频率，频率，周期的物理意义。能根据给出的初始条件求振幅和初位相。掌握旋转矢量法。理解同方向、同频率两个简谐振动的合成规律，以及合振动振幅极大和极小的条件。二、基本内容振动物体在某一平衡位置附近的往复运动叫做机械振动。如果物体振动的位置满足x（t）=x（t+T），则该物体的运动称为周期性运动。否则称为非周期运动。但是一切复杂的非周期性的运动，都可以分解成许多不同频率的简谐振动（周期性运动）的叠加

2、。振动不仅限于机械运动中的振动过程，分子热运动，电磁运动，晶体中原子的运动等虽属不同运动形式，各自遵循不同的运动规律，但是就其中的振动过程讲，都具有共同的物理特征。一个物理量，例如电量、电流、电压等围绕平衡值随时间作周期性（或准周期性）的变化，也是一种振动。简谐振动简谐振动是一种周期性的振动过程。它可以是机械振动中的位移、速度、加速度，也可以是电流、电量、电压等其它物理量。简谐振动是最简单，最基本的周期性运动，它是组成复杂运动的基本要素，所以简谐运动的研究是本章一个重点。（1）简谐振动表达式x二Acosgt+申）反映了作简谐振动的物体位移随时间0的变化遵循余弦规律，这也是简谐振动的定义，即判断

3、一个物体是否作简谐振动的运动学根据。但是简谐振动表达式更多地用来揭示描述一个简谐运动必须涉及到的物理量A、申（或称描述简谐运动的三个参量），显然三个参量确定后，任一时刻作简谐振动的物体的位移、速度、加速度都可以由t对应地得到。兀v=-wAsint+申）=wAcost+申+）002a二一w2Acow（+Q）=w2Acow（+Q土兀）00（2）简谐运动的动力学特征为：物体受到的力的大小总是与物体对其平衡位置的位移成正比、而方向相反，即F=-kx，它是判定一个系统的运动过程是否作简谐运动的动力学根据，只要受力分析满足动力学特征的，毫无疑问地系统的运动是简谐运动。这里应该注意，F系指合力，它可以是弹性

4、力或准弹性力。（3）和简谐运动的动力学特征相一致的是简谐运动的运动学特征：作简谐运动物体的加速度大小总是与其位移大小成正比、而方向相反，即竺=-W2x，dt2它也是物体是否作简谐运动的判据之一。只要加速度与位移大小成正比、而方向恒相反，则该物理量的变化过程就是一个简谐运动的过程。在非力学量，例如电量、电流和电压等电学量，就不易用简谐振动的动力学特征去判定，而LC电路中的电量q就满足旦=-丄q，故电量q的变化过程就是一个简谐振荡dt2LC的过程，显然用运动学的特征来判定简谐运动更具有广泛的意义。简谐振动的振幅、周期、频率和相位（1）振幅A是指最大位移的绝对值。A是由初始条件来决定的，即IV2A=

5、Jx2+4。0W22兀（2）周期T是指完成一次完整的振动所用时间。T=丝，式中w是简谐振wiT动的圆频率，它是由谐振动系统的构造来决定的，即w=,w也称为固有圆m频率。对应的T称为固有周期。T=-，式中v称为频率（即固有频率），它与v圆频率的关系w=2兀v，是由系统本身决定的。（3）相位（t+Q）和初相位甲是决定简谐振动的物体t时刻和t=0时刻运00动状态的物理量。即在A、确定后，任一时刻的x、v、a都是由（t+Q）0来确定的。一个周期内，每一时刻的相位（t+申）不同，则对应的运动状态也0不相同。对不同的两个或更多的几个简谐振动，相位还用来区分它们之间“步调”的一致与否。初相位甲决定于初始条件

6、：即由%一ACSo共同决定。或由oIv=Asm甲00甲二arctan（4）计算，但由此式算得的甲在t）,2兀或I兀,兀范围内有两个可0 x00能的取值，必须根据t=0时刻的速度方向进行合理的取舍。如能配合使用旋转矢量图示法，则会使9的确定更加简捷、方便。04.旋转矢量法简谐运动的表达式x=Acost+9）中有三个特征量A、0、9，旋转矢量法把描述简谐运动的三个物理量更直观、更形象地表示在图0示中。作匀速转动的矢量，其长度等于谐振动的振幅A,其角速度等于谐振动的角频率，且t=0时，它与X轴正向的夹角为谐振动的初位相9，t二t时0刻它与X轴正向的夹角为谐振动的位相（t+9）。旋转矢量A的末端在X轴

7、0上的投影点的运动代表质点的谐振动。5.简谐振动的能量动能E=mo2A2sin(ot+9)k20势能E=丄kA2co$(ot+9)p20机械能E=E+E=kA2kp26.同方向同频率简谐振动的合成x=AcosCot+9)和x=AcosCot+9)合成后仍为简谐振动11102220 x=x+x12二Aco6t+90其中A=A2+A2+2AAcos(99)(合振幅)12122010合振动的初相）Asin甲+Asin甲tgQ=1102200Acos甲+AcosQ110220三、习题选解11-1质量为10g的小球与轻弹簧组成的系统，按x=0.5cos（8兀t+*）m的规律振动（式中x以m计，t以s计）

8、，试求:1）振动的角频率、周期、振幅、初相、速度和加速度的最大值；（2）t=1s、2s、10s各时刻的相位;（3）分别画出位移、速度、加速度与时间t的关系曲线。解:（1）x=0.5cos(8兀t+)m与振动的标准形式x=Acos(t+q)相比可30知:圆频率=8s-1振幅A=0.5m初相位Q=03周期T=2-0.25s最大速度v=A=8x0.5m-s-1=12.56m-s-1max最大加速度a=w2A=(8)2x0.5m-s-1=3.16x102mmax-s-2相位为(8t+3)，将t=1s、2s、10s代入相位分别为8丄、16丄、80丄333由x=0.5cos(8t+)m有v=dx=4sin

9、(8t+)m-s-1dt3a=-322co8t+)m-s-2dt311-2有一个和轻弹簧相连的小球，沿x轴作振幅为A的简谐振动，其表达式用余弦函数表示。若t=0时，球的运动状态为（1）x=-A；（2）过平衡位0（23AA置向x轴正向运动；(3)x=勺处向x轴负方向运动；(4)x律处向x轴正方向运动；试用矢量图示法确定相应的初相的值，并写出振动表达式。解：四种情况对应的旋转矢量图如图所示：(1)初相位q=兀，振动0方程为x=Acosgt+兀）(2)初相位q=-，振动o2方程为x=Acos(ot-)3)初相位为0=乙振动方程为x=Acos(ot+y)(4)初相位q=-，振动方程为x=Acos(ot

10、-)04411-3质点作简谐振动的曲线x-t如图所示，求质点的振动方程式=-=Acosq20=，3解：t=0时,所以1coq=，02q0再由v=-Aosinq00，0At=1s时，x=Acosq121cosq=12q1再由v=-Aosinq10，12o=q-q=兀103振动方程为x=AcosCot+q（注意q=o+q）01=-3所以0I=13=0.04cosf2-3丿11-4两质点沿同一直线作同频率、同振幅的简谐振动,当它们每次沿相反方向互相通过时,它们的位移均为其振幅的一半,求这两个质点振动的相位差。解：设两个质点振动方程为x=Acost+申）=ACOso（+申）2速度为v=i=一Asint

11、+申）1dt1dxv=2=-Asin（t+9）2dt2依题意，两质点在t=t相遇时Ax（t）=x（t）=-122cos（t+申）=cos（t+申）=122t+9=t+9=2n23此时两质点运动方向相反，这分两种情况。(1)质点1向x轴正向运动，质点2向x轴负向运动，这时t+9=2n+TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark107 232位相差A9=(t+9)-(t+9)=-123(2)质点1向x轴负向运动，质点2向x轴正向运动，这时t+9=2n+t+9=2n- HYPERLINK l bookmark133 13232位相差A9=t+9)-t+92)=-3-两种情况

12、都说明其中一个质点的运动比另处一个质点的运动超前或落后2-3。两质点在-A；2处相向相遇时有同样的结论。11-5在一平板上放质量m=1.0kg的物体，平板在竖直方向上下作简谐振题11-5图动，周期为T=0.5s，振幅A=0.02m，试求：在位移最大时，物体对平板的压力；(2)平板应以多大振幅作振动，才能使重物开始跳离木板。解：(1)选择物体平衡位置为坐标原点，向上的方向为x轴正向。由牛顿第二定律有N-mg=ma当系统运动到最高位置时，加速度为负的最大值。即a=a=Aw2max2兀此时N=mgma=m(gAw2)=mg()2A=6.6NmaxT当系统运动到最低位置时a二a二Aw2max此匕时N=

13、mg+ma=m(g+Aw2)=1.0 x(9.8+3.2)N=13Nmax物体跳离木板，应在最高位置时受木板的力N=mgma-m(gAw2)=0maxA-g-gT2-0.062mTOC o 1-5 h zw24兀211-6如图所示，一质量为M的盘子系于竖直:悬挂的轻弹簧的下端，弹簧的倔强系数为k。|现有一质量m的物体自离盘h高处自由落下掉在盘中，没有反弹，以物体掉在盘上的I瞬时作为计时起点。求盘子的振动表达式。八(取物体掉在盘子后的平衡位置作为坐标原点，位题11-6图移取向下为正)。解：取物体掉在盘子里的平衡位置为坐标原点，y轴向下建立坐标系这时弹簧伸长九为2(m+M)g-k九2m+M九-g当

14、t-0时，弹簧伸长九为12k所以，t-0时系统的位移为y-(九九)-(M+m)gmg-mg021kkk设此时系统的速度为v0，由动量守恒定律有m、；2gh-(M+m)v且速度向下与y轴方向相同，v取正值。当物体落入盘中，且系统运动至坐标y处时，系统运动方程为(M+m)g-T=(M+m)dydt2此时弹簧伸长为y+九，因而T=k（y+九）22(M+m)g-k(y+X)=(M+m)d-2dt2由于kX=(M+m)g有2d2ydt2+厶y=0M+m方程解为y=Acos(t+申)0由初始条件k=0时,mj2ghM+mA=Jy2+驚=mg)2+m22gh(M+m)20o2kk(M+m)mgi+2khk(

15、M+m)gmiVTv、-m+M12ghi2kh申=arcta-n-()=arctg=arctan0yoJkmg)g(M+m)M+mk所以盘子的振动表达式为mgi2kh.Ik2kh、y=1+cos(.-1+arctan)kT(M+m)gM+mg(M+m)11-7如图所示，一弹簧振子由倔强系数k的弹簧和质量M的物块组成,将弹簧一端与顶板相连。开始时物块静止，一颗质量为m速度u的子弹由下而上射入物块，并留在物块中。求:01）振子以后的振幅和周期；2）物体从初始位置运动到最高点所需的时间。题11-7图解：（1）以子弹射入物块后的平衡位置为原点，y轴向下，建立坐标系，这时弹簧伸长M+my=g2k子弹未射

16、入物块时，弹簧伸长为y=Mg。此时物体在坐标系中的位置1k题11-7图y0OyM+mMgmgy0=-(y2-yi)=-(g-)=-T物块和子弹共同运动的速度v（M+m）v=-mu000-mv=u0M+m0当子弹射入物块，并且运动到y处时，系统的运动方程为负号表示方向向上）(M+m)g-T=(M+m)ddt2此时弹簧伸长为y+y，故T=k（y+y）22于是有(M+m)g-k(y+y)=(M+m)2d2ydt2由于ky=(M+m)g2-ky=(M+m)ddt2_Ik=：M+md2y+ky=0dt2M+m系统的振动方程为y=Acosot+申）0由初始条件t=0时，y=yomg-m，v=uk0M+m0

17、-v:y廿(屮2(-罕)2+1k故系统振幅为周期为mg)2+m2uk(M+m)kv=arctan(一)=arctan(0=arctan(-)M+mgmu0M+m)i1k(一mg)：M+mka=、：(m)2+二二k(M+m)k2M+mt=2r2)系统的振动方程为ku、亠)g；mg、m2u2y=()2+0cosk(M+m)kkt+arctan(-IM+m物块从初始位置运动到最高点时，y=-AcoskIk_t+arctan(-.M+mM+m=-1第一次到达最高点时kkut+arctan(一一)=兀M+mM+mgiM+m.kut=兀一arctan(-)kM+mg11-8一水平放置的弹簧振子，已知物体经

18、过平衡位置向右运动时速度。=ISs-1周期T=l0s，求再经过1s时间物体的动能是原来的多少倍,设弹簧的质量不计。解：取向右的方向为X轴的正向，设物体平衡位置为坐标原点，物体的振动方程为x=Acost+申)02兀由于T=1.0s,=2兀Tx=AcoS2$t+申)0将物体经过平衡位置向右运动时取为t=0时刻v=1.0m-s-1二A=2kA0 x=Acos申=000TOC o 1-5 h z人1n兀A=,co甲=0申=一2兀002因而物体振动方程为X=丄co颈t-殳)2兀2物体的振动速度为v=dx=-sin(2Kt-)dt2211v=-si-)=-sin6)=-m-s-1121JE=mv2=mJ2

19、811E=mv2=mJ202=1当t=3s时,此时物体动能为初始时刻物体动能为E=4即13秒后物体动能是原来的14。11-9一质量10g的物体作简谐振动，其振幅为24cm，周期为4.0s，当t=0时，位移为+24cm，求：（1）t=0.5s时，物体所在的位置；（2）t=0.5s时，物体所受力的大小与方向；（3）由起始位置运动到x=12cm处所需的最少时间；（4）在x=12cm处，物体的速度、动能以及系统的势能与总能量。解：令振动方程为x=Acoso（+申）02由题意有A=24cm，T=4.0s，=T2且t=0时，x=A,cos申=1初相位申=0000兀振动方程为x=(24costcm)2所以(

20、1)t=0.5s时，x=24cos(：)=122cm=17.0cm2)F=ma=m仝dt2=-m2Acos(t+申)0r兀兀t=0.5s时，F=-10 x10-3x24x10-2x()2xcosN=-4.19x10-3N24负号表示力的方向沿x轴负向。_Irrrrrr(3)当x=12cm时，cos(qt)=，位相t取值为2兀y,(n=0,1,2,.)。最少的时间殳t=-,t=2sTOC o 1-5 h z233dx“兀J3，/(4)x=12cm时,v=-12ksint=12兀cm-s-1=32.6cm-s-1dt22正负号表示物体可能向x轴正向或负向运动。此时动能：E=1mv2=1x10 x1

21、0-3x(32.6x10-2)2J=5.33x10-4Jk22势能：Ep=2履2,由，有k=m21=m2x2=210 x10-3x2x(12x10-2)2J=1.78x10-4J总能量：E=E+E=7.11x10-4Jpk11-10如图所示，一个水平面上的弹簧振子，弹簧的倔强系数为k，所系物体的质量为M，振幅为A，有一质量m的物体从高度h处自由下落。当振子在最大位移处，物体正好题落在M上并粘在一起，这时振动系统的振动周期、振幅和振动能量有何变化？如题11-10图果物体m是在振子到达平衡位置时落在M上，这些量又如何？解：粘土未落在M上时系统的振动周期为粘土落在M上时，系统的振动周期为当M正好处于

22、最大位移处，即x=A时，此时v=0，粘土落下后，x方向速度仍为零，此时振子仍处于最大位移处，振幅不变。系统能量为kA22也不变。当M处于平衡位置时，系统在平衡位置x=0，此时v=v=Awmax0M=A,A为系统原来的振幅。粘土落下与M碰撞后的速度M，可由动量守恒定律求出(M+m)V=Mv卄亠v=旦工=込4M+mM+MM+m若粘土落下后M的振幅A，由初始条件x=0,v=v00,vA=.x+()20wTOC o 1-5 h zAi HYPERLINK l bookmark97 M+m=IMikM+mM+mAA此时系统能量为E=1kA=1kA2=1kA2=E HYPERLINK l bookmark

23、103 22M+mM+m2M+mE=1kA2为粘土未落下时系统的能量，211-11在光滑的桌面上，有倔强系数分别为k与k的两个弹簧以及质量为12m的物体，构成两种弹簧振子，如图所示，试求这两种系统的固有角频率。题1111图解：(1)由图(b)所示，设弹簧原长分别为l、l，平衡时弹簧的伸长量12分别为&和M，如不计物体尺寸。则12l+A1+1+Al=L1122kAl=kAl1122以平衡点O为坐标原点，x轴向右建立坐标系，当小球向x轴正向移动x时，物体受力f=f+f=-k(Al+x)+k(Al一x)121122由于kAl=kAl，122因而f=(k+k)x12物体运动方程为-(k+k)x=mdx

24、12dt2题11-11图d2xk+k门+2x=0dt2mk+k物体作简谐振动，振动角频率为=.JT-2m其周期为仃2兀小|mT=2兀k+k112(2)由图(c)所示，以物体不受力，弹簧自然伸长时，物体位置为原点建立坐标系。当物体在位移x处时，右弹簧k的伸长为Ax，弹簧k的伸长为Ax，1122则Ax+Ax=x12kAx=kAx1122解得Ax=2x1k+k12Ax=ix2k+k12物体受力kkf=-kAx=-12x22k+k12物体的运动方程为kkd2x一4x=m-(k+k)dt212d2xkk+x=0dt2m(k+k)12物体同样作简谐振动，振动角频率为振动周期为T二兰二2叭k-)Vkk112

25、11-12如图所示，轻质弹簧的一端固定，另端系一轻绳，轻绳绕过滑轮连接一质量m的物体,绳在轮上不打滑，使物体上下自由振动，已知弹簧的倔强系数为k，滑轮的半径为R，转动惯量为J1)证明物体作简谐振动2)求物体的振动周期题11-12图(3)设t=0，弹簧无伸缩，物体也无初速度，写出物体的振动表达式。解:(1)以系统静止时，物体m的位置为坐标原点，坐标轴垂直向下建立坐标系，设此时弹簧伸长为x,由牛顿运动定律有1mg一T=01TR-TR=012T=kx21可得mg=kx1题11-12图当物体在x处时，物体和滑轮的运动方程为mg-T=m空1dt2TR-TR=J012T=k(x+x)21dt2解方程-，可

26、得(+m)dX=mg-k(x+x)TOC o 1-5 h zR2dt21由于mg=kx1Jd2xR2dt2d2x+dt2由此证明物体做简谐振动。2)振动圆频率为o=：_m+JR2物体振动周期为=2叭m+JR2o3)设振动方程为x=Acosot+申)0其中J由初始条件，t=0时，v0=0,x=-x=-m01kcos9=-10物体振动表达式为x=mgcos；(k11-13如图所示，一长为1、质量为m的均匀细棒，用两根长L的细绳分别拴在棒的两端，把棒悬挂起来，若棒绕通过中心的竖直轴OO/作小角度的摆动，试确定其周期。解：细棒受力分析如图所示。将绳中张力分解，在竖直方向上有2Fcos0=mg在水平方向

27、上的分力构成一对力偶，力矩的大小为M=Flsin0结合式有M=2mgltan0题11-13图力矩的方向与细棒角位移方向相反，由定轴转动定律M=J0d2_mglta0=Jdt2在小角度近似下有tan0L9代入式有7lTd2_mgl-=J2Ldt2细棒绕中心轴转动惯量八12ml2丄ml2凹+丄mgl2=012dt24L旦+竺=0d2tL振动角频率为拝振动周期为T=字竺壬11-14在简谐振动中，当位移为振幅的一半时，总能量中有多大一部分为动能，多大一部分为势能？在多大位移处动能与势能相等？解：在简谐振动中物体总能量TOC o 1-5 h z厂1171E=mv2+kx2=kA2其中A为振幅当x=-时2

28、222厂111-1厂E=2=kA2=Ep242E=EE=kA2kA2=二kA2=二Ekp24即总能量中有34为动能，14为势能。若E=E，kp由于E+E=EkpE=E=E=kA2pk222这时若物体位移为x，则丄kx2=丄kA2,12122即在位移土字处，动能和势能相等。11-15两个同方向的简谐振动，周期相同，振幅分别为A=0.05m,1A=0.07m，合成后组成一个振幅为0.09m的简谐振动，求两个分振动的相位2差。解：由同方向、同频率振动合成公式AA+AT2A1A2C0S加A2A2A2(0.09)2(0.05)2(0.07)22x0.05x0.07cosAp=1=0.12AA12Ap=841611-16一质点同时参与两个在同一直线上