高中数学矩阵与变换同步导学苏教版选修2

1、第一课 二阶矩阵与平面向量【考点扫描】. 了解矩阵的相关知识12 3m 80 90在数学中，把形如 这样的矩形数字（或字母）阵列称做矩阵，一般地，3132 465 85我们用大写黑体拉丁字母 A, B,或者（au）来表示矩阵，其中i,j分别表示元素所在的行和列。同一横排中按原来次序排列的一行数（或字母）叫做矩阵的行，同一竖排中按原来次序排列的一列数（或字母）叫做矩阵的列，组成矩阵的每一个数（或字母）称为矩阵和元素，所有元素都为0的矩阵称为零矩阵.平面上向量ot =（x, y）的坐标和平面上的点 P （x,y）都可以看做是行矩阵 lx y，也可以看做是列矩阵，1因此我们又称 k y】为行向量，称

2、 1为列向量，在本书中，我们把平面向量（x,y）的坐标写成 1 ly-的形式.当两个矩阵A、B,只有当它们的行数与列数分别相等，并且对应位置的元素也分别相等时，才有A=B .掌握二阶矩阵与平面列向量在乘法规则bbo仃矩阵a11 &2与列矩阵1的乘法规则：01 &2 Ll,=跖1父国+a12 Mb21b21b21a a,a1与列向量r的乘法规则：la11a12ixoLla11xxo+ai2xy0a22 1小一21a22_jy0a21Mx0 * a22 M y0一般地两个矩阵只有当前一个列数与后一个矩阵的行数相等时才能进行乘法运算.理解二阶矩阵与平面列向量乘法的几何意义一个列向量I左乘一个2X2矩

3、阵M后得到一个新的列向量，如果列向量表示一个点P（x,y）,_y_y那么列向量 左乘矩阵M后的列向量就对应平面上的一个新的点 一 y总能对应惟一的一个点 （向量）（x,y）,对于平面上的任意一个点 （向量）（x,y），若按照对应法则 T,则称T为一个变换，简记为：T： （x,y）T （x： y）或T：yj ly1一般地，对于平面向量变换 T,如果变换规则为 T: xL F+by ,那么根据二阶矩阵与 yj ly lcx + dy xx a b x平面列向量在乘法规则可以改写为T： I T | = I I 的矩阵形式，反之亦然（a、b、c、dCly 一 ly lc dy 一R）由矩阵M确定的变换

4、，通常记为 Tm,根据变换的定义，它是平面内点集到自身的一个映射，平面内的 一个图形它在Tm,的作用下得到一个新的图形.【基础训练】1、写出方程组f x2y =1 、日y 变量3x + my = -2x,y的系数矩阵.2、已知 A = a 3,B = 5d 2b c 4b ca+2d,若 A=B，求 a, b, c,d.3、某公司负责从两个矿区向三个城市送煤：从甲矿区向城市吨、160万吨；从乙矿区向城市A、B、C送煤的量分别是A、B、300万吨、C送煤的量分别是 100万吨、140万260万吨、540万吨；把上述结果分别用2X3矩阵和3X 2矩阵表示.4、分别计算下列乘法运算的结果1 2 2I

5、 II 1(2)2 3 4(3) 中(4)_1 0 40 0 2一1 1 45、求点A (3, 6)在矩阵6、已知变换【解题指导】例1、计算：(1)1 -11对应的变换作用下得到的点一 I2试将它写成坐标变换的形式112I II I 一01 _10,11 20 1.12 11解：(1)原式=|0 2 1 1(2)0 2 1 (-1)|-1原式=|1= |1x2 + 0 x(-1)2点评：掌握二阶矩阵与平面列向量在乘法规则是解题的关键例2、已知平面上一个正方形 ABCD (顺时针)的四个顶点用矩阵表示为,0，求 a, b, c, d的值及正方形ABCD的面积.解：正方形 ABCD 的四个顶点的坐

6、标依次为 A (0, 0)、B ( a,c)、C(0,4)、D(b,d),从而可求得a=-2,b=2,c=d=2,|AB|=2 2时，函数f(x)在1,2上的最小值为f(2)=4 2a.当1wxv2时，函数f (x)在1,2上的最小值为f(a)=2a a2.当x1时，函数f(x)在1,2上的最小值为f(1)=1(x -2)(1 x :二 2)(x 0)确定的变换Tm称为(垂直)伸压变换，这时称矩阵或M= 1 0 伸压变换矩阵.0 k一0 kk 0 M= 0 1当M= k 0 I时确定的变换将平面图形作沿 x轴方向伸长或压缩，当k 1时伸长，当0 k 1时压缩.P 1 一变换Tm确定的变换不是简

7、单地把平面上的点 (向量)沿x轴方向“向下压”或“向外伸”，它是x轴方向伸 长或压缩，以0 k 1时伸长，当0 k 0时沿x轴正方向移勺 1 _1。 1 _动，当kyvo时沿x轴负方向移动，当 ky=O时原地不动，切变变换有如下性质：（1） x轴上的点是不动点；（2 ）保持图形面积大小不变 ，点间的距离和夹角大 小可以改变且点的运动是沿坐标轴方向进行的.切变变换的实质是横（纵坐标）成比例地运动.理解二阶矩阵对应的几何变换是线性变换，了解单位矩阵一般地，二阶非零矩阵对应变换把直线变为直线，把直线变为直线的变换叫做线性变换，本节中所研究的6种变换均为线性变换，在研究平面上多边形或直线在矩阵的变换作

8、用后的图形时，只需考察顶点（或端点）的变化结果即可.了解恒等、伸压、反射、旋转、投影、切变变换这六个变换之间的关系如恒等变换可以看做伸压、旋转、切变变换的特殊情形；关于坐标原点的中心反射变换可以看做是绕原点作了（2k +1） n（k w Z）角度的旋转变换，它还可以看做是先作关于x轴的反射再作关于 y轴的反射的复合；绕原点作了 a +P角度的旋转变换可以看做是先绕原点作了a角度的旋转变换再绕原点作了P角度的旋转变换等等.【基础训练】1、已知四边形 ABCD的顶点分别为 A （-1, 0）, B （1, 0）, 0（1, 1）, D （-1, 1）,四边形ABCD在矩变换作用下变成正方形，则A、

9、BC、3D、2、已知矩阵M1= 1,0011M2=1一0010,则由M1，M2, M3确定的变换分别是（0A、恒等变换、反射变换、投影变换 C、投影变换、反射变换、恒等变换B、恒等变换、投影变换、反射变换D、反射变换、恒等变换、投影变换3、直线x+y=5在矩阵F 01_11对应的变换作用下得到的图形是（4、A、直线x+y=5 B、直线y=5C、直线x=5D、点（0, 5）将向量a =1绕原点按逆时针方向旋转1一得到向重b ,则向重b的坐 4-1-1 B5、图中正方形AB0D在由矩阵11_01【1所确定变换的作用后的图形的面积为6、若直线y=4x-4在矩阵M对应的伸压变换下变成另一条直线y=x-

10、1 ,则M=.【解题指导】例1、求圆C： x2 +y2 =4在矩阵A = ,2 0 对应的伸压变换下的曲线方程，并判断曲线的类型 ：0 1 一解：设P(x,y)是圆C： x2 +y2 =4上的任一点2 o-0对应的伸压变换下的曲线上的对应点2 o-HIX y, 11J o 1x = 2xy= yx，所以Jx= 2 y = y1 TOC o 1-5 h z ox2o代入x +y =4得+ y =44 HYPERLINK l bookmark23 o Current Document 22方程土 +L =1表示的曲线为椭圆164点评：通过变换矩阵建立所求曲线上的点的坐标之间的关系是解决这类问题的关

11、键.例2、若曲线y=x2 (x0)在矩阵M对应的反射变换作用下得到的曲线为y=x2 (x0),求矩阵M.解：由两曲线之间的关系知：矩阵M对应的反射变换是以 y轴为轴的反射变换，所以 M=1 01。1 一点评：这类问题在求解时应先确定两曲线之间的反射变换是中心对称反射变换还是是轴对称变换.如 果是轴对称变换再进一步确定对称轴，进而写出变换矩阵.例3、若 ABC在矩阵M对应的旋转变换作用下得到A B，C ,其中 A (0, 0), B (1, 73), C(0, 2), A (0, 0), C (-J3, 1),试求矩阵 M 并求 B的坐标.解、由题意旋转中心为原点，设逆时旋转角为a (0 a 1

12、32 cosa = 1 TOC o 1-5 h z |sin 二cos： HYPERLINK l bookmark110 o Current Document cosa -sina0 I- V3I|=| HYPERLINK l bookmark114 o Current Document sin acosa _ ? _1ji故而二3一15M=2 一 2|v311 1 -22 .l, cos - -sin = , 一点评：逆时针旋转角为口时的旋转矩阵为I,若顺时针旋转角为口时，则将上述矩阵sin： cos-中的ot换为一 u即可.例4、已知在矩阵 M的作用下点A (1, 2)变成了点A (11,

13、 5),点B (3,-1)变成了点B (5, 1), 点C (x, 0)变成了点 C (y, 2),求(1)矩阵M;求(2) x、y彳1.解：(1)设矩阵mJ1a b1 匕d.a c.71J-1 2,a c-3-1一71J 5 1 -IJLa +2b =11c+2d =53a -b =53c -d =1解之得a =3b=4飞 4i ，二 M= 1c =1 I1 2 一d = 23一14 xyI I 1= | I2 _023x = yx =2点评：求变换矩阵通常用待定系数法.证明：M ： = M 二 M例5、给定二阶矩阵 M ,对任意向量证明:设T,工计b,十乂2 _和X +x2）+b（y1十丫

14、2）1dy +y2 _1c（x +x2）+d（y +yz）_M=Mh，a外卜1 +叫I产+啊+曾+如!c dy1 - t dy2_ 1cx+dyI _ c&+dy2:ax +ax2 +by +by2：a（x +%）+b（y + y2） cxi +cx2 +dy +dy2 _ cj +x?）+d（y + y2）.得证点评：更一般地，可以证明：M(%1+,20) =%m3+%M0,其中%,%为任意实数。【本课小结】.基础知识：用矩阵来表示平面中常见的几何变换，掌握恒等、伸压、反射、旋转、投影、切变变换的矩阵表示及其几何意义.基本技能：会根据各种变换矩阵确定已知图形的对应变换之下的图形，会根据两个图

15、形之间的关系求出变换矩阵.基本思想或方法：灵活运用等价转化、函数与方程的思想和待定系数法以及用代入法求曲线方程等方法解决变换问题【能力测试】1、点(一1, k)在伸压变换矩阵 m 01之下的对应点的坐标为 (-2, -4 )，则m、k的值分别为()：0 1 一A、2, 4B、一2, 4C、2, 4D、一2, 42、设T是以ox轴为轴的反射变换，则变换 T的矩阵为()A、01B01011c、01一11【 03、设A是到ox轴的正投影变换,A把点P (x, y)变成点P(x, 0) , B是到oy轴的正投影变换 B把点P (x, y)变成点P (0, y),则变换A和B的矩阵分别为()o o,、B

16、-111-01o o,-lbl-001 o_、A011010C、0010D、F 01, F 110 0_ 11 0_4、在某个旋转变换中，顺时针旋转？所对应的变换矩阵为 .35、曲线y = jx在矩阵 0 1 作用下变换所得的图形对应的曲线方程为J 0 一6、曲线xy=1绕坐标原点逆时针旋转90。后得到的曲线方程是,变换对应的矩阵是M.17、已知曲线y = cos3x经过伸压变换 t作用后变为新的曲线 y=cosx,试求变换T对应的矩阵 28、求出椭圆x2+(y2) =1在矩B$ l1 0 I作用下变换所得的图形4I。 -1_JT一的旋转变换，求旋转变换 T对应的矩阵, 39、设点P的坐标为(

17、1 , - 2) , T是绕原点逆时针方向旋转 并求点P在T作用下的象点P的坐标.1 0、已知经过点 A ( 1 , 2),平行于向量 1 = 11 I的直线l，考察下列矩阵把直线l变成什么?11一 11 1b 0_11、若有一矩阵把右图中 ABO变成 A B O,其中点A的象 点为点A ,点B的象点为点B ，试求该矩阵.第三课变换的复合与矩阵的乘法【考点扫描】1 .熟练掌握二阶矩阵与二阶矩阵的乘法(1 )两个二阶矩阵相乘的结果仍然是一个矩阵，其乘法法则如下：a11a12 1,1b)2 I a11 bn a12 b21a1 b2 a12 b22?21a22俗21b22 1因21bn+ a22

18、父 b21a21父匕2+ a22 M b22两个二阶矩阵的乘法满足结合律，但不满足交换律和消去律即(AB)C=A(BC),AB : BA, 由ab=ac不一定能推出 B=C.2.理解矩阵的乘法运算与变换的复合之间的内在联系(1)两个二阶矩阵相乘的结果从几何的角度来看它表示的是原来两个矩阵对应的连续两次变换(2) 一般地两个变换之间是不能随意交换位置的，只有在特殊情况下才可以交换位置(3)矩阵AB对应的复合变换顺序是先进行矩阵B对应的变换再进行矩阵 A对应的变换.如果连续对一个向量实施n次矩阵A对应的变换可以记为 A n的形式.(4)在数学中，一一对应的平面几何变换都可以看是伸压、反射、旋转、切

19、变变换的一次或多次复合, 而伸压、反射、切变等变换通常叫做初等变换，对应的矩阵叫做初等变换矩阵【基础训练】1.10 01【1A、B、-1 11!0 kC、1【0D、102.已知矩阵X、M、1【12【-3,则下列X中不满足：XM=N，的一个是(A、X =-12 1-2B、X=1IL-21 1-1C、X =013 1-3D、X =-3 51：033.已知A=,B=2 13-2贝U AB=,BA=.对任意的二阶非零矩阵 A、B、C,下列命题中：(1) AB=BA ; (2) B=C; (4) A (BC) = (AB) C; (5) A2*0； (6)当 E 为单位矩阵时恒有： 号为ABW0; (3

20、)若 AB=AC ,则 AE=EA=A.,其中真命题的序.设 A = g【解题指导】0 L 分另I求 A2, A3 ,A4, a5.T(1)求证：MN=NM(2)说明M、勾4i22和N=22N3122J2一 22 1I.22 1例1、已知矩阵M=N所表示的几何变换，并从几何上说明满足MN=NM .2,2回一逅2 +而一1解：(1) MN=2_10时，矩阵S对应的变换Ts有何几何意义？(4)研究Ts与伸压变换的关系？. 工十 ka kbka kb解：(1)由于 SA=I AS =kc kd|t_kc kd运算结果有何规律是：S与任一矩阵A乘积可交换，其Z果是将矩阵A的每个元素的同乘以实数 kk=

21、1时，S为单位矩阵，k=0时，S为零矩阵.Ts的几何意义为：以原点为中心作相似比为OP - kOPk的位似变换，将每个点P (x, V)变换到点 P (x , y)(3)由于Ts：02 0Jk 01：0 k0 1b k 一Ts相应于在x轴方向的伸压变换-Ik 0 与y轴方向的伸压变换 1 01的复合10 11I。kJ点评：仔细体会两个二阶矩阵乘法可交换的条件。从矩阵乘法的代数运算和几何意义两个不同的方面理解矩阵乘法和变换复合之间的内在联 系。)复杂的变换都可以通过简单的初等变换复合而成。例3、利用矩阵变换的几何意义，请构造满足下列条件的矩阵，并给出几何解释：(1)构造两个矩阵 M, N,它们不

22、满足 MN=NM ;（2）构造两个不同的矩阵 A,B,使等式1B0成立;（3）构造两个不同的矩阵 A ,B,使等式0 0一0 10一001 1B成立.解：（1） M =1210N =,1矩阵M表示向x轴压缩为一半的变换矩阵N表示逆时针旋转90的变换,(MN) x =M (N_y1 =M,y(NM ) x =N(M x ) =N_y_y1 一 yl MN WNM2 o-B,1J1 110-PL-A2o o,y轴方向投影到y=x ,即（x, y）变为（y, y）表示的变换为将纵坐标不变，横坐标依纵坐标比例增加,且（y, y） f （y+y, y） = （2y, y）2 0】表示的变换为将平面内的点

23、纵坐标不变，横坐标沿一0 1（2y, y），原等式成立x轴方向拉伸为原来 2倍，即（y, y）A0一1B = 201A对应的变换表示恒等变换，即（x, y）变成（x, y）,中一0垂直投影到y轴，即（x, y）变成（0, y）,这样0 0 A把点（x, y）变成（0, y）一0 1B对应的变换为将平面内的点纵坐标不变，横坐标沿1rr(x, y)变为(x , y),再在2x轴方向压缩为原来的一，即20 0 变换作用下将（入，y）变成（0, y）0 12，原等式成立点评：一般地，把一个矩阵分解为几个矩阵的乘积是不唯一的，同样把一个变换分解为几个变换的复合的 分解也是不唯一的。例4、求关于直线y=3x的反射变换对应的矩阵A.解：在平面上任取一点P (x, y),点P关于y=3x的对称点P (x , y)匕白3 = 一1则有：x -x,y + yx + x-二3父工22解得:4一53IL 535 ；xl4 k5A=点评：一般地若过原点的直线 m的倾斜角为口，则关于直线m的反射变换矩阵为：A=:0s2asin2 1| sin 2：- cos2：【本课小结】.基础知识：掌握二阶矩阵与二阶矩阵的乘法运算法则，理解二阶矩阵的乘法的几何意义.基本技