高中数学论文集：数形结合文章合集

1、创设“数形结合”情境培养学生思维能力“数形结合”即是数学学科的重要思想，又是数学研究的常用方法。“数形结合”是求解数学问题的一种常用的思维方法。教师在教学中经常引导学生创设形结合”的情境，不仅可以沟通数与形的内在联系，把代数式的精确刻划与几何图形的直观同时又有利于开拓学描述有机地结合起来，力图在这种结合中，寻找到解题的思想与方法, 生解题思路，发展学生形象思维能力。“数形结合”的方法一般来说可分为以下三种：（1）将几何论证转化为代数计算的“解析法” 论形法” （3）利用形来研究数（式）的“以形促数 下面举例分别加以说明： 一、解析法：例1、 在正方形 OABC中， DOA 15 求证：DA/B

2、O;（2）利用数（式）（式）法” 。来研究形的“以数 （式）OD=OB连接DA解：建立如图1所示的直角坐标系，设正方形的边长为则D、A的坐标分别为O(f2 cos 15 , 22 sin 15 ),(从而有Kad =2sin15(2cos15 1)3 1=1又 Kob=1OA/OB总结评述：有些平面几何题用解析几何的工具证明较为方便, 二、以数论形法能发挥数形结合的优势。例2:如图2一动圆M在定圆x2+y2=r2内且与定圆上半部以及 X轴都相切，求圆心M的轨迹的方程。解：由几何条件（即形）易得如下等量关系（即数）OM = OCM C （OQ与。M内切于C）（。M与X轴切与D）OM 2= OD

3、2+ MD2 ( ODM 为 Rt )设圆心M的坐标为（x, y）于是有 OM =r-yCAQD又 OM =r-yOM = Qx2y2(图2)22、.、x y =r-y平方整理彳#圆心 M的轨迹方程是x2=-2r （y-）2总结评述：以数论形是解析几何侧重的手法，象本例这种求曲线（轨迹）方程的问题其思考方法就是几何条件解析化，即几何条件（形）等量关系（数）代数方程（式），它是求曲线方程的关键和困难之处。一、以形促数法例3：求函数y= 3)个首尾相接的向量在y轴上的投影之和为零得sin6 +sin78 +sin150 +sin222 +sin294 =0总结评述：求若干个同名三角函数值的和，学生

4、通常是应用“加法定理”来解，这样做往往比较繁琐，有时甚至难于求得正确结论。倘若我们巧用平面向量中任意n (n皂3)个首尾相接的向量在 x轴(或y轴)上的投影，投影之和为 0。这一命题创设“数形结合”的情 境，则可使这类问题的求解甚为直观且简捷。变式练习：求下列各式的值1、 cos40 +cos60 +cos80 +cos1602、sin13 +sin97 +sin103 +sin167例7求函数f()=网1的最大值与最小值cos 1分析：f ( )=sn1可以看成两点P (cos ,sin ),A(2,1)连线的斜率，而A为定点, cos 1P是圆x2+y2=1上的动点，因此，求数f ()的最

5、值问题就转化为求直线PA的斜率的最值问题了解：f ()可以看成P(cos ,sin ),A (2,1)两点连线的斜率 HP在圆x2+y2=1上运动,过定点A作圆的两条切线 求AP2的斜率APi,AP2贝U AP1的斜率最小设：AP2的斜率为k,则直线AP2的方程y-1=k(x-2)AB与圆x2+y2=1相切圆心到切线的距离为 d=两边平方后并整理得 3k2-4k=0-4k=0 或 k=3(其中k=0是AP1的斜率)AP2的斜率为4f ( ) max=3f ( ) min=0总结评述：此题是属三角问题充分利用解析几何这一工具，使问题转化为容易计算的简单问题总之，由于“数形结合”具有形象直观，易于

6、接受等优点，且对于沟通知识间的联系， 活跃课堂气氛，开阔学生思路，发展智能，提高数学水平有着独到的作用，所以，我们要积 极挖掘教材中“数形结合”的例题与习题，注重引导学生动脑筋，设计确切的数学模型，创 设“数形结合”的情境，多加强学生形象思维的训练，进而促进学生从形象思维到抽象思维 的转化；这样，我们就一定能逐步提高学生的数学水平，把学生逐步培养成具有创造思维能力和开拓精神的创造型人才。利用导数、数形结合讨论二类方程根的问题导数是高中数学的重要内容，它是研究函数、方程、不等式等的重要工具。在探求诸如x3 6x2 9x 10 0, x2 2ln x x 2 JX+2方程的根的问题时，我们利用导数

7、这一工具和数形结合的数学思想就可以很好的解决。此类题的一般解题步骤是：1、构造函数，并求其定义域。2、求导数，得单调区间和极值点。 3、画出函数草图。4、数形结合，挖掘隐 含条件，确定函数图象与 x轴的交点情况求解。下面利用导数讨论这二类方程根的问题。一、有关三次方程根的问题：对Ax3 Bx2 Cx D 0的根，在特殊情况下，我们可以直接猜出一根 x0,然后转化为 x x0 ax2 bx c 0 ,再展开，应用待定系数法即可求出a,b,c。再对 ax2 bx c 0求根得解。如x3 3x2 2 0 ;但大多数三次方程的根不易猜出，这时我们就可以利用导数，数形结合讨论这一类方程根的情况。例1、方

8、程x3 6x2 9x 10 0的实根的个数是A、3 B、2 C、1D、0分析：此题是一个三次方程，不易猜根。可先构造函数，再通过求导数判断函数的单调性,画出其草图,数形结合分析求解。解：令f x = x36x2 9x210 贝U f x =3x12x 9- 3时 f x 0 f x为增函数极大值一的极大值在x轴的下方，如图1,即的图象与 选C。x轴只有一个交点，原方程只有一个实根。0 f x为减函数例2、已知函数f xx3 3bx2 2b3在，0上是增函数，在 0,2上是减函数，若f x 16恰有一解，求实数b的取值范围。分析：此题给出函数的单调区间，求参数 b的范围。可通过对函数求导得出其单

9、调区间，它应包含题中给出的单调区间，初步得出b的范围。又据f x16恰有一解，即函数解：Q函数f x3bx2 2b3 在,0上是增函数，在 0,2上是减函数值16对应，ft一 x值。可先由单调性画出 f x草图，然后数形结合分析求解。由题意 0,20, 2b02b -x*由 f x 3x2 6bx 0 得 x ,0 U 2b, y2b 0 , f x 3x 6bx 0得 x 0, 2b,0和 2b,上递增,2 2b2x在0, 2b上递减。如图2f x 在 0, 2b 的值域为 f 2b , f 0 即 2b3, 2b33据图2可知，若f x 16恰有一解，只需 2b 16得b 2结合二、有关超

10、越方程根的问题：这时更不易猜根求解，但构造函数求导后，画出草图，数形结合，找到图象与x轴的交点，则可化难为易。很快得解。例3、证明方程x2 2ln x x 2& +2有惟一解。分析：这一方程形式比较复杂，观察易知 x 1是其一根，但不能说明它惟一。我们利用导 数，解题步骤基本不变， 不同之处是要首先考虑函数的定义域，在定义域的范围内求解。证明：移项得：x2 2ln x x 2 - x 2 =02ln x2x2 2.义 1 2x , x 2x x 2)f x x2xx 2x x 2 0当Jx 1 0即x 1时，f x 0, f x为增函数（图3）1 0即0 x 1时，f x 0, f x为减函数

11、。f x极小值0 如图3,此时图象与x轴相切。与x轴只有惟一交点2故方程x 2ln x例4、若关于x的方程2221 ln x 1 xx a在0,2上恰好有两个相异的实根,判断其单调性, 件即可得解。解：方程可化为x2ln x 1ln xx 0,2x 2,x在1,2上递增，在0,1上递减。要使关于x的方程x 12 ln根，只需fx的图象与x轴在0,11,2上各有一个交点。如图 4求实数a的取值范围。分析：这一方程已知根的情况，反过来要探求参变量的范围。仍可先构造函数，再利用导数然后画出草图数形结合， 根据图象与x轴的交点情况，挖掘出隐含条2ln 2 0解之得：22ln 22ln3所以有:2ln

12、3 0通过上面的例题分析，可以看出，对于三次方程、超越方程的根的问题（或是能转化为这二类方程根的问题），我们就可以先构造函数，运用导数这一工具，在定义域内求出其单 调区间，依题意作出草图，运用数形结合的数学思想，确定函数图象与x轴的交点情况，挖掘隐含条件求解。导数是工具、图形是核心，找根是目标 。利用数形结合法解不等式问题说明近年的高考强调不等式基础知识考查的同时也很注重数学能力的考查和数学思想方法 的应用，其中数形结合思想方法的应用不可忽视。下面列举六例说明。.数形对照，相互渗透 TOC o 1-5 h z 例1.使不等式|x 4| |x 3| a有解的实数a的取值范围（）B. a7D. a

13、1A. a7C. a1分析：|x 4| |x 3|表示数轴上x所对应的点到与4、3所对应的两点距离之和。由图1可得其和最小值为1,故选DoOk 3 a- 4 x例2.已知x, y满足x2y2 2y 0 ,欲使不等式x y c 0恒成立，求实数c的取值范围。分析：欲使x y c 0恒成立, 即 c x y恒成立，故 c (x y)min。_ .2于是问题转化为求xy2 2y 0上一点，使x y有最小值问题。由图2可知，当直线11平行于x y220且与圆x y 2y 0相切于下万时,x y取最小值12图2故 c 1 近,从而c J2 1。.由数想形，直观显现例3.解不等式v4xx7 x。分析：设

14、f (x) X14x x2 ,g(x) x(x 0),由 y V4x x2 得：(x 2)2 y2 4(y 0)因为y 44x一1表示以(2, 0)为圆心，2为半径，在x轴上方的半圆， y x(x 0)表示过原点斜率为1在第一象限的直线，如图3,由题意转化要求半圆(圆弧) 应在直线的下方，可得 2 x 4 ,图3故原不等式的解集是(2, 4例4.求使不等式log2( x) x 1成立的x的取值范围。(03年全国高考题14)解：设f (x) log 2( x),g(x) x 1因为 函数f (x) log2( x)的图象与函数y log2 x图象关于y轴对称，g(x) x 1的图象是一条过点(0

15、, 1)的直线由图4可得 1x022例5.已知a, b R且x ax 2b 0, x 2bx a 0都有实根，求a b的取值范围。解：依题意得a2 8b 0, b2 a 0 TOC o 1-5 h z 一 22即 a8b, b a(*)则满足(*)的点(a, b)在图5所示的阴影区域内。设z a b,则z a b所表示的直线系中，过点 A (4, 2)的直线在b轴上的截距 即为满足(*)的z的最小值。所以(a b)min 4 26故 a b 63.由数构形，抽象变形象例6.设f (x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x 0时，f( x)g(x) f (x)g(x) 0 且 g(3

16、) 0,则不等式 f (x)g(x) 0 的解集是()( 3, 0) (3,)( 3, 0) (0, 3)(,3) (3,)(,3) (0, 3)(04年湖南高考题12)解：设 F(x) f (x)g(x),因为当x 0时，f(x)g(x) f (x)g(x)f(x)g(x) F(x) 0所以 5他)在(,0)上是增函数因为 f(x)、g(x)分别是定义在 R上的奇函数和偶函数，所以F (x)为奇函数又 g( 3) 0所以 F( 3) f( 3)g( 3) 0又 f(x)是奇函数，所以f(0) 0故 F(0) 0根据以上特点，不妨构造如图6所示的符合题意的函数 F (x)的图象，由图直接观察出

17、所求解集是(,3) (0, 3)图6故选D。由上几例可知，在不等式的教学或复习中要有意识的注意数形结合思想方法的渗透。利用数形结合求解函数问题摘要：数形结合”思想方法是研究数学问题的重要方法， 本文对中学数学中的函 数问题，谈谈如何运用数形结合”的思想解题。关键词：数形结合、图形、函数著名的数学家华罗庚先生说过：数形结合千般好，数形分离万事休。有些繁难的代数 题，若我们借助于图形的性质，可以使许多抽象的概念及复杂的数量关系直观化、简单化， 从而探索出巧妙的解法。下面就函数的几个方面进行研究。1、利用数形结合求函数的定义域面对求函数的定义域问题， 有些人常常是顾此失彼， 所以在看到题目后， 首先

18、的应该把 所有使函数有意义的条件列出， 待求出所有满足条件的解后用相应的图形表示出来，再逐一判断，这样才能尽量避免失误，得出正确的答案。例1:已知函数f(x)的定义域是a,b其中2求函数g(x)=f(x)+f(-x) 的定义 域。分析：若g(x)的定义域为 M,f(x)f(-x)的定义域分别为 A、B,则有M=AO B,利用数轴分析得知，阴影部分即为所求。如图AABa -b 0 B 一包解：.函数f(x)的定义域为a,b a x b若使f(x)e 有意义，必须有 aw xwb,即有b xb0.a - b. 函数 g(x)的定义域x|a wxWbCx| b x a=x| bx0 时，f(x)=x

19、 22x1=(x 1)22 当 x0或kv4小结：本题是一个利用函数图象解决方程根的分布问题的的典型例题，一般地，关于根的分布问题，均可引入函数，由函数 图象的特征构造解法，使问题得 以巧妙解决。5、用数形结合求函数的最值 求函数的最值的类型题有很多种，例如：给出函数，根据 其定义域求最值。这种题型与求 函数的值域是相类似的，另一种 类型的求最值的题型则是给出 x,y所满足的方程，再求另一个 关于x,y的函数式的最值，我们 常用数形结合来解这类问题，正 确地作出图像，必要时还要配合一定的计算。2 sin x例5、求函数y 的最大值和最小值3 cosx分析：对于这种特殊的函数，应注意观察，利用其

20、特殊的性质，把函数看作是定点(-3, 2)与单位圆上的点 P (cosx,sinx )连线的斜率。即 2 sinx sinx ( 2)-斗八解：y 这可以看作是定点 A ( 3, 2)与单位圆上的点 P3 cosx cosx ( 3)(cosx,sinx )连线的斜率。因此，y的最值就是当直线 AP与单位圆相切时的斜率。单位圆x2+y2=1中斜率为k的切线方程为y kx . 1 k2由于该切线过点 A (3, 2),故3k 1 k2.33, , k43kmaxkmin3.34以上是利用“数形结合”的方法来求最值的，让我们对比一下用纯代数的方法看看它们有什 么区别。解：原式可化为：3y+ycos

21、x=2+sinxcos(x y) (2 3y)y2 1.1 |cos(x+v)| v 11I cos(x y) | |(2 3y) | 1y2 12.4 9y2 12y 12 d1y 1 8y2 12y+3w 03 .3433y max43. 3ymin4例6、求函数y 4x2x2 x2 6x 13的最小值解：y . x2 2x 2 x2 6x 13, (x 1)2(0 1)2. (x 3)2 (0 2)2，y表示x轴上点P(x,0)到A(1,1),B(3,2) 两点的距离之和，求出A关于X轴的对称点 A (1, -1)。，|AP|二|AP|又两点之间直线段最短 . |AP|+|PB|=|AP

22、|+|PB|. y 的最小值为 |AB|= V(3 1)2 (2 1)2 V13注：类似这种y= VAxBx C JAG2Bx C形式的函数求其最值，常采用这种找出对称点，并利用两点之间线段最短的形式来解。结束语“数”和“形”是数学学习的两个基本对象，对于一些问题，单纯的从“数”的角度去分析 探求需要分类讨论，运算会较繁冗，因此应当设法从“形”的角度去构造直观图形来刻划问 题的条件和结论，使错综复杂的关系变得清晰可辨，解题思路顿开。本文仅针对函数的几个问题进行讨论“数形结合”，而“数形结合”的题型远不止函数的这些题型，我们应根据题 目的结构特征，提倡使用“数形结合”。参考文献：.陈桂云：构造几

23、何图形解题.刘志联：构造几何模型巧解代数题.薛金星：中学教材全解中学数学教学1996,2中学数学月刊 2003,1陕西人民教育出版社数形结合的思想方法的解题应用技巧数形结合就是把抽象的数学语言与直观的图形结合起来，通过数与形之间的对应和转化来解决数学问题，它包含“以形助数”和“以 数解形”两个方面。利用它可使复杂问题简单化、抽象问题具体化， 它兼有数的严谨与形的直观之长，是优化解题过程的重要途径之一， 是一种基本的数学方法。数形结合是中学数学中重要的思想方法， 每年高考中都有一定量 的考题采用此法解决，可起到事半功倍的效果。在高考试题中，选择题、填空题由于不要求写出解答过程，命题 时常对掌握及

24、应用数形结合的思想方法解决问题的能力提出较高的 要求，要求考生应用数形结合思想，通过数与形的转化，找到简捷的 思路，快速而准确地做出判断，从而得出结果；对于要求完整写出解 题过程的解答题，由于包含的知识量大、涉及的概念多，数形结合的 思想主要用于思路分析、化简运算及推理的过程，以求快速准确地分 析问题、解决问题。其基本模型有：1、J(x a)2 (y b)2 距离函数2、匚a斜率函数x b3、Ax + By 截距函数4、F (cos ,sin ) 单位圆 x2 y2= 1 上的点(cos ,sin )5、a2 ab b2 余弦定理6、ax bcx d双曲线例题分析例1函数y= xcosx的部分

25、图像是()例2C已知数列%满足为分析an 1考虑函数：y 1.98 . 97x 98例3已知f (x)2 axbx,满足不等式;1 f( 1)2,2 f (1) 4,试求 f (一分析：这是一道以数解形的题，显然 y= xcosx为奇函数，可排 除AOC,取x = 0.1,y= Q.1cos0.1I + aj海*廿十2T由于| AB | d（d为点A到直线l的距离）,最后得.。一一+ 2丫）（炉十+LIf I 1+ a j例13在4ABC中，巳知AB1.解关于x的不等式4 支口.627 (a lj分析此题直接求解非常困难，可创设logax-4loga2x+ 12loga3x+ + n(-2)n

26、-1loganx函数，再利用函数的图象求解不等式.由 数列求和公式可知，原不等式可变形为当n为奇数时，不等式等价于logaxloga(x2-a);当n为偶数时P不等式等价于1咤*心符(Y - Q,分别令力=1%次(x7a) Iy2=loga(x2-a),并作出它们的示意图(图13 26).由x2-a=x,解出交点的解吊口.且鼠=上哗至.由图可知：当日为奇数时，原不等式的解集为%正薜上与卜当口为偶数时，原不等式的解形数结合是研究数学问题并实现问题的模型转换的一种基本思 想和基本方法，它能沟通数与形的内在联系.在解题中学会以形论数、 借数解形、数形结合，直观又入微，提高形数联想的灵活性，有助于 思

27、维素质的发展，有利于提高解题能力.数形结合数（数量关系）和形（空间形式）是事物的两种表现形式，我们生活的世界就是一个数和形的世界，我们要认识两者的辨证关系，要认识到矛盾双方的相互转化，举一个简单的例子：黄金分割数。你是否留意过花瓣数与它的关系：3, 5, 8, 13, 21, 34,。同理，向日葵的叶片之间的夹角也与它有关系；报幕员站在舞台的位置也是在黄金分割点上；名画的主题， 乐曲的高潮，人体的比例，生活体温、饮食；生物体的构造均符合黄金分割数一一数和形 的结合是数学美的最高境界。因此，我们根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数含义又揭示其几何意义，使数和形之间巧妙和谐地结合起

28、来，并利用这种“结合”找到解题思路。数形 结合包括“以数助形”和“以形辅数”，下面我们从几个方面谈一下“以形辅数”在解题中的应用。一、 数形结合中数轴和韦恩图的应用例一：若不等式|x-1|+|x-3|a对一切实数x都成立，求实数 a的取值范围。例二：I为全集，集合M、N I,若M N=N，则（）N (D) M N练习：A =x |x 3 +3x 2 +2x 0 ,B = x |x2 +a x +b0,且 A B = x |0-2 ,求 a、b 的值。cosx法二：数形结合2、练习：求练习：1、求方程 2x = x 2的实数解的个数。3、(2003年高考题(7)已知方程(x2-2x+m ) (x

29、 2-2x+n ) = 0的四个根组成八1，一一个首项为的等差数列,4分析：+ ( 一 +d)44一3则 |m-n|= ()(A) 1 (B) (C)4+ ( +2d) +4(+3d) =4,则d= 数形结合：知42y=x 2 -2x+m和y=x2-2x+n有相同的对称轴 x=1,它们与x轴的四个交点依次为 A,B,C,D(如图)。因例五：关于(x 1)为x A =2解：原方程等价于ax= (x-1 )思路一：原方程可以变形为-(a+2) x+1=0，考查函数y= x2 - (a+2) x+1 的图象，求实数a使函数 y= x 2- (a+2)、小y /思路二：分别作出y=ax和y= (x-1

30、例六：设 f (x) =x2+ax+3-a,若f (x)在卜2 , 2上的值恒为非负数，求实数 a的取值范围（x-1）恒成立，设-a=k ,作出y=x 2 +3与y=k答案:（此时有三个根）e分析：由题意知 f （x）恒为非负数，则 x2+ax+3-a恒大于或等于零，即 x2 +3a（x-1）的图象（如下图）三、数形结合在求最值方面的应用例八：实数x,y满足等式（x-2） 2 +y2 =3,求 y的最大值及x+2y的最大值。xcosx 2例九：求丫=的最大值淇中xC （0,兀）。sin x分析：由 k=Y2一左可知 x2 x1合（如图）可知ymax =- .3 .cosx 2sin x表示两点

31、（sinx,cosx）和（0, 2）的斜率，数形结1 Z例（H）:关于 的方程 V3 cos +sin +a=0在（0, 2兀）内有两个不等实数根a、3,求 a 的范围。答案：aC （-2, -V3）（-V3 , 2）例(十二)如果对满足|m|2mx-m,求x的最大值简析：原不等式可以化为Ji xm(2x-1)(2x-1) m-J1 x,则由条件可知f (-1),f (1)，变形为 m (2x-1) -J1 x0)例(十三)求 f (x) =x+/1 2x2的值域。分析:令y=、.1 2x2，则2x2 + y 2=1 (y0),该问题可以转化有公共点时，求m的取值范围。如图可知，当直线与椭圆相

32、切时 m取最大值上6，最小值-立例(十四)若0分析：该题用纯代2.)，则a 25=4,a=4例(十五)求y=Jx2 4x 13+(x2 2x 5的最小值。若求y= &4x13 &2x15 的最小值例(十六)f (x) = Jx4 3x2 6x 13 -2 2练习(2):若 x , y , z 6 R+,且_1_ _1_ _1_ = 1 ,求证：x y z 81 x 1 y 1 z略证：设 x = tan2 a , y = tan2 3, z = tan2 丫，则问题转化为 1题.2、设 a,b, c R+,且 a2 +b2+ c2 = 1，求证 V1 a2 + v1 b2 +、1 c2 3-

33、( a+b+c)略证： 1 b2 +b 1 ,1 a2 +a 1 ,1 c2 +c 13、证：、a2 b2 +、c2 d2 K a分析：三个根号分别表示三个距离:(a,b),(0,0) ; (-c,-d) , (0,0) ; (a,b) , (-c,-d).4、若 x , y , z C R+,求证：、x2 y2 V2xy+ y2 z2 . 2yz z2 x2 2zx分析：该不等式类似于三角形的三边关系,又每个根号内的多项式具有余弦定理的结构式。故构造四面体O ABC/ AOB=45/ BOC=30/ COA=60OA=x ,OB=y ,OC=z .,CA= z x2 J2zx 。 ?ABC

34、中，则有：AB=、：x2 y2 AC 。(cd0,a0,b0)5、求证： b2 d2 + 0,b0)6、求证：Ji a 2 b2 + v 1 b 2 a2 v1217、zi = cosx + i sinx,Z2 = tgx+i ctgx , xC ( 0,一)2（写于2004年5月5日）数形结合思想方法的运用恩格斯指出：“纯数学的对象是现实世界的空间形式和数量关 系。” “数”与“形”是数学的基本研究对象，它们之间存在着对立统 一的辩证关系。数形结合，就是在解决代数问题时，揭示出隐含在它 内部的几何背景，启发思维，找到解题途径；或者在研究几何图形时, 注意从代数的角度，通过数量关系的研究解决问

35、题。例1、例1、在正三角形ABC外接圆的弧BC上任取一点P,求证：（1） PB PC使分析：a, PA x, PB用余弦定理，222y xy x a 0z2 xz x2 a2 0PA; PB PC AB2PA2。 ABC 边长为z ,对 PAB 和 PAC2 22x y xy a2 22 一x z xz a 即：这说明y, z是关于u的方程u2 xu x2 a2 0的两个根。由韦达、122定理，有：y z x，y z x a即：PB PC PA, PB PC AB2 PA2。例2、值，那么例2、对每个实数 f （x）的最大值是（x,设f(x)取4x 1, x 2, )。2x 4中的最小是sin

36、 x 1例3、例3、求函数y cosx 2的最值分析：y可看成两点P（cosx，sinx）与A（2,1）连线的斜率，其中A是定点，动点 .22P在圆x y 1上，过点A作。O的切线AB、AC （如图），则 ymin kAB, ymaxkAC o4易求得kAB，kAC3,4 y min y max 二 3。例4、例4、求函数f(x) x2 4 Jx2 2x 1的最小值 TOC o 1-5 h z -7-27 Z2:27 7-2分析：f(x) (x 0)2 (0 2)2 (x 1)2 (0 0)2f（x）的值是动点P（x，0）到两个定点A（0,2）与B（-1,0）的距离之和。由图知（图略），当且仅

37、当P与B重合（即x=-1）时，f（x）min f（ 1）5推广：若把动点P的活动范围从x轴上放宽到整个坐标平面，就 可解下面的2222思考题：求函数 f（x，y）x y 4y 4 Jx y 2x 1的最小请读者不妨一试。 HYPERLINK l bookmark22 o Current Document 22例5、右对于满足x y 2y 0的一切头数x, y,不等式x+y+mn 0恒成立，求实数m的取值范围。分析：当x, y满足x2 y2 2y 0时，有 序实数对（x, v）对应的点是一个圆（如图）， 要所给不等式恒成立，就是要圆上的所有点 都在直线l: x+y+m=0的上方（含直线上）即 可

38、。显然，极限位置是相切。设直线I。：x+y+m0=0是位于圆的下方且与圆相切的直 线，可求得m0运1，I, I0的y截距是-m, -m0,故-mW-m0,即 mAm0。 m 22 1。思考：已知cos22msin 3m 2 0对一切R恒成立，求实数m的取值范围。（答案是m2）数形结合数（数量关系）和形（空间形式）是事物的两种表现形式，我们生活的世界就是一个数和形的世界，我们要认识两者的辨证关系，要认识到矛盾双方的相互转化，举一个简单的例子：黄金分割数。你是否留意过花瓣数与它的关系：3, 5, 8, 13, 21, 34,。同理，向日葵的叶片之间的夹角也与它有关系；报幕员站在舞台的位置也是在黄金

39、分割点上；名画的主题， 乐曲的高潮，人体的比例，生活体温、饮食；生物体的构造均符合黄金分割数一一数和形 的结合是数学美的最高境界。因此，我们根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数含义又揭示其几何意义，使数和形之间巧妙和谐地结合起来，并利用这种“结合”找到解题思路。数形 结合包括“以数助形”和“以形辅数”，下面我们从几个方面谈一下“以形辅数”在解题中的应用。二、 数形结合中数轴和韦恩图的应用例一：若不等式|x-1|+|x-3|a对一切实数x都成立，求实数 a的取值范围。例二：I为全集，集合M、N I,若M N=N，则（）N (D) M N练习：A =x |x 3 +3x 2 +2x

40、 0 ,B = x |x2 +a x +b0,且 A B = x |0-2 ,求 a、b 的值。cosx法二：数形结合2、练习：求练习：1、求方程 2x = x 2的实数解的个数。3、(2003年高考题(7)已知方程(x2-2x+m ) (x 2-2x+n ) = 0的四个根组成八1，一一个首项为的等差数列,4分析：+ ( 一 +d)44一3则 |m-n|= ()(A) 1 (B) (C)4+ ( +2d) +4(+3d) =4,则d= 数形结合：知42y=x 2 -2x+m和y=x2-2x+n有相同的对称轴 x=1,它们与x轴的四个交点依次为 A,B,C,D(如图)。因例五：关于(x 1)为x A =2解：原方程等价于ax= (x-1 )思路一：原方程可以变形为-(a+2) x+1=0，考查函数y= x2 - (a+2) x+1 的图象，求实数a使函数 y= x 2- (a+2)、小y /思路二：分别作出y=ax和y= (x-1例六：设 f (x