测量误差的合成和分配

1、2.4 测量误差的合成和分配 误差合成理论研究在间接测量中，如何根据若干个直接测量量的误差求总测量误差的问题；误差分配理论则研究在给定系统总误差的条件下，如何将总误差分配给各测量分项，即如何对各分项误差提出要求，以达到系统测量精度要求。1误差传递公式 设一个被测量 由两个分项 、 ，其函数表达式为 则绝对误差传递公式为 式中 被测量 的绝对误差； 直接测量量 的绝对误差； 直接测量量 的绝对误差。 2.4.1 测量误差的合成(2-18)(2-19) 相对误差传递公式为 式中 被测量 的相对误差； 直接测量 的绝对误差； 直接测量 的绝对误差。(2-20) 同理，当被测量 由m个分项合成时,误差

2、传递公式为 式中 第i个测量分项的测量值； 直接测量量 的绝对误差。一般，若 的函数关系为和、差关系时，常先求总合的绝对误差，若函数关系为积、商或乘方、开方关系时，常先求总合的相对误差比较方便。 (2-21) (2-22)例1：用间接测量法测量电阻消耗的功率，若电阻、电压和电流测量相对误差分别为 、 和 ，问所求功率的相对误差为多少？例2：用伏安法测电阻时，若测量电压和电流的相对误差为 、 ，试问所求电阻的相对误差为多少？若 为4%， 为3%， 为多少？ 2系统误差的合成 若测量中各种随机误差可以忽略，则总和的系统误差可由各分项系统误差合成。 式中 系统误差的总和； 直接测量各分项的系统误差。

3、(2-23)3随机误差的合成 若各分项的系统误差为零，则同理可求总合的随机误差 式中 随机误差的总和； 直接测量各分项的随机误差。(2-24)已知各分项方差，求总合方差的公式为 标准差的计算公式为 (2-25)(2-26)1等准确度分配 当总误差中各分项性质相同（量纲相同）、大小相近时，采用等准确度分法，即分配给各分项的误差彼此相同。 若总误差为 ，各分项的误差为 ；标准差为 ，令 ； ，则分配给各项的误差为 2.4.2 测量误差的分配(2-27) (2-28)例：有一个电源变压器，已知初级线圈与两个次级线圈的匝数比N12:N34:N45=1:2:2，用最大量程为500V的交流电压表测量次级线

4、圈的总电压，要求相对误差小于2%，问应该选用哪个级别的电压表？2等作用分配 当分项误差性质不同时，采用等作用分配方法。在这种分配方式中，分配给各分项的误差在数值上不一定相等，但它们对测量误差总和的作用是相同的。 对于系统误差，在式（2-23）中，令 。则分配给各分项的误差为 (2-29)对于随机误差，在式（2-25）中，令 ，则分配给各分项的误差为 (2-30) 例：间接测量电阻上消耗的功率，已测出电流为100mA，电压为3V，算出功率为300mW，若要求功率测量的系统误差不大于5%，随机误差的标准差不大于5mW，问电压和电流的测量误差应在多大范围内，才能保证上述功率误差的要求。3抓住主要误差

5、项进行分配 当分项误差中某项误差特别大时，就可以不考虑次要分项的误差，或酌情分给次要分项少量误差比例，确保主要项的误差小于总合的误差。 若主要误差项有若干项，这时可把误差在这几个主要误差项中分配，考虑采用等准确度或等作用分配原则。2.5 测量结果的描述与处理 对测量结果可采用正确度，精密度和准确度三种评价方法。1正确度 表示测量结果中系统误差大小程度。系统误差愈大，正确度愈低；系统误差愈小，正确度愈高。2.5.1 测量结果的评价2精密度 表示测量结果中随机误差的大小程度，也简称为精度。随机误差的大小可用测量值的标准偏差 来衡量, 越小，测量值越集中，测量的精密度越高；反之，标准确偏差 越大，测

6、量值越分散，测量精密度越低。3准确度 是测量结果系统误差与随机误差的综合，表示测量结果与真值的一致程度。在一定的测量条件下，总是力求测量结果尽量接近真值，即力求准确度高。图2.3 测量结果的图形评价（a）正确度高、精密度低 精密度、正确度均高（b）精密度高、正确度低 1.误差位对齐法 误差位对齐法采用的方法是测量误差的小数点后面有几位，则测量数据的小数点后面也取几位。2.5.2 测量数据的整理例：用一块0.5级的电压表测量电压，当量程为10V时，指针落在大于8.5V的附近区域，这时测量数据应取几位？例：用一块0.5级电压表的100V量程进行测量，指示值为85.35V，试确定有效数字位数。2有效

7、数字表示法（1）有效数字 所谓有效数字，是指在测量数值中，从最左边一位非零数字算起到含有存疑数字为止的各位数字。一般数据的最后一位是欠准确度的估计字，称为存疑数字。（2）数字的舍入规则（1） 小于5舍去舍去部分的数值小于所保留末位的0.5个单位时，末位不变。（2） 大于5进1舍去部分的数值大于所保留末位的0.5个单位时，末位增1。（3） 等于5时，取偶数舍去部分的数值恰好等于所保留末位的0.5个单位时，则当末位是偶数，末位不变；末位是奇数，末位增1（将末位凑成偶数）。例：将下列数据舍入到小数第二位。12.434412.43 63.7350163.740.694990.69 25.325025.

8、3217.695517.70 123.1150123.12需要注意的是，舍入应一次到位，不能逐位舍入。 上例中0.69499，正确结果为0.69 ，错误做法是： 0.694990.69500.6950.70。在“等于5”的舍入处理上，采用取偶数规则，是为了在比较多的数据舍入处理中，使产生正负误差的概率近似相等。 常用被测量的量值和它的不确定度共同表示测量结果，表达式为 式中 测量值的算术平均值； 被测量的不确定度，一般为 在实际应用中，常以绝对误差的形式表示。 2.5.3 测量结果的表示方法(2-31)(2-32)1将测量数据按先后次序列表。2用公式 求算术平均值。3用公式 求每一次测量值的

9、剩余误差。4用公式 计算标准差的估计 值 。 2.5.4 等精度测量结果的数据处理5.按莱特准则判断粗大误差，即根据 剔除坏值。6.重新计算 和 ，再判别有无粗大误差。7.用公式 求算术平均值的标准 差估计值。8.用公式 求算术平均值的不确定度。9.写出测量结果的表达式 。 实验曲线的绘制，通常采用平滑法和分组平均法。1平滑法作图 如图2.4（a）所示，先将实验数据 标在直角坐标上，再将 各点用折线依次相连，然后从起点到终点作一条平滑曲线，使其满足以下等量关系 式中 曲线以下的面积和； 曲线以上的面积和。2.5.5 实验曲线的绘制(2-33)平滑法作图示意0 xy0 xy 如图2.4(b)，将

10、所有实验数据 标在坐标上，先标出相邻的两个数据点连线的中点，再将所有中点连成一条光滑的曲线；或用3个数据点连线的重心点连成一条光滑曲线。由于取中点（或重心点）的过程就是取平均值的过程，所以减小了随机误差的影响。2分组平均法 分组平均法作图示意0 xy2.6 最佳测量方案选择 最佳测量方案是使总误差为最小的测量方案，是使系统误差和随机误差都减少到最小的测量方案。即做到即上述和式中每一项都达到最小时，总误差就会最小。例：测量电阻R消耗的功率时，可间接测量电阻值R，电阻上的压降U，流过电阻的电流I，设电阻、电压、电流测量的相对误差分别为R=2%，U=2%， I=3%，试确定测量的最佳方案。本章小结 由于仪器误差、人身误差、方法误差和环境误差的原因，所有的测量结果与真值都会有误差。 误差有绝对误差和相对误差两种表示方法。 绝对误差仅能说明测量结果偏离实际值的情况；相对误差可以说明测量的准确度，可分为实际相对误差、示值相对误差、满度相对误差。 根据测量误差的性质，可分为系统误差、随机误差和粗大误差。 在实际测量时应根据误差性质进行判断和处