数学实验曲线拟合

1、Mathematics Laboratory阮小娥博士Experiments in Mathematics李换琴数学实验办公地址：理科楼225电话：82668539-2实验报告选题:实验练习第题.实验练习第题，第题任选一题.自由选题（往年数学建模竞赛中的数据拟合问题），完成之. 根据题目难度系数及完成情况得分，数学实验分占期末成绩10%。实验13 人口数量预测模型实验2、掌握在最小二乘意义下数据拟合的理论和方法.1、学会用MATLAB软件进行数据拟合3、通过对实际问题的分析和研究，初步掌握建立数据拟合数学模型的方法实验目的据人口统计年鉴，知我国从1949年至1994年人口数据资料如下： (人口

2、数单位为：百万)（1）在直角坐标系上作出人口数的图象。（2）建立人口数与年份的函数关系，并估算1999年的人口数。实验问题年份19491954 1959 1964 1969人口数 541.67602.66 672.09 704.99 806.71 年份 1974 1979 1984 1989 1994人口数 908.59 975.42 1034.751106.761176.74 如何确定a,b?线性模型1 曲线拟合问题的提法: 已知一组（二维）数据，即平面上的n个点),(iiyx， ixni,2,1L=互不相同，寻求一个函数（曲线）)(xfy=，使)(xf在某种准则下与所有数据点最为接近，即曲

3、线拟合得最好，如图: xy0+一、曲线拟合确定f(x)使得 达到最小 最小二乘准则 . 用什么样的曲线拟合已知数据?常用的曲线函数系类型：画图观察；理论分析指数曲线： 双曲线（一支): 多项式： 直线： 拟合函数组中系数的确定二、人口预测线性模型对于开始提出的实验问题, 代如数据，计算得从而得到人口数与年份的函数关系为把x=1999代如，估算出1999年的人口数为 y=1252.1（百万）12.52亿1999年实际人口数量为.亿。线性预测模型 英国人口学家Malthus根据百余年的人口统计资料，于1798年提出了著名的人口自然增长的指数增长模型。三、人口预测的Malthus模型基本假设 : 人

4、口(相对)增长率 r 是常数设x(t) 为t时刻的人口数量,t=0时人口数为x0指数增长模型实际中，常用1. 由前100年的数据求出美国的人口增长Malthus模型。2. 预测后100年（每隔10年）的人口状况。3. 根据预测的人口状况和实际的人口数量,讨论人口模型的改进情况。美国1790年1980年每隔10年的人口记录226.5204.0179.3150.7131.7123.2106.592.076.062.9人口(百万)1980197019601950194019301920191019001890年份50.238.631.423.217.112.99.67.25.33.9人口(百万)18

5、80187018601850184018301820181018001790年份例解：取得最小值.其中,表示人口数量。表示年份,解方程组:即得参数的值.使得问题转化为求参数 prog41.m % This program is to predict the number of population %format longt1=1790;1800;1810;1820;1830;1840;1850;1860;1870;1880;t2=1890;1900;1910;1920;1930;1940;1950;1960;1970;1980;x1=3.9;5.3;7.2;9.6;12.9;17.1;23.

6、2;31.4;38.6;50.2;x2=62.9;76.0;92.0;106.5;123.2;131.7;150.7;179.3;204.0;226.5;lnx1=log(x1); lnx2=log(x2);a12=sum(t1);a11=10;a21=a12;a22=sum(t1.2); d1=sum(lnx1);d2=sum(lnx1.*t1);A=a11,a12;a21,a22;D=d1;d2;ab=inv(A)*D;disp(a=);disp(ab(1);disp(b=);disp(ab(2);for i=1:10 xx1(i)=exp(ab(1)+ab(2)*t1(i);endfor

7、 i=1:10 xx2(i)=exp(ab(1)+ab(2)*t2(i);endplot(t1,x1,r*-,t1,xx1,b+-, t2,x2,g*-,t2,xx2,m+-);a= -49.79535457790735b=0.02859807120038仿真结果表明： 人口增加的指数模型在短期内基本上能比较准确地反映人口自然增长的规律，但长期预测误差很大，需要修正预测模型。拟合曲线原始数据曲线四、人口预测的Logistic模型人口增长到一定数量后，增长率下降的原因：资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用且阻滞作用随人口数量增加而变大假设r固有增长率(x很小时)k人口容量（资源、环境能容纳的最大

8、数量）r是x的减函数例的Logistic模型留给同学们练习五、多项式拟合的Matlab指令a = polyfit（xdata，ydata，n）其中n表示多项式的最高阶数 xdata，ydata 为要拟合的数据，它是用向量的方式输入。输出参数a为拟合多项式 y = a1xn + + anx + an+1的系数a = a1, , an, an+1。多项式在x处的值y可用下面程序计算。 y = polyval (a, x) 用多项式拟合人口模型% This program is to predict the model of population by 4-degree polynomial% %p

9、rog42.m%format longt1=1790;1800;1810;1820;1830;1840;1850;1860;1870;1880;t2=1890;1900;1910;1920;1930;1940;1950;1960;1970;1980;t=t1;t2;P1=3.9;5.3;7.2;9.6;12.9;17.1;23.2;31.4;38.6;50.2;P2=62.9;76.0;92.0;106.5;123.2;131.7;150.7;179.3;204.0;226.5;P=P1;P2;n=4; % The degree of the fitting polynomial%a,s=po

10、lyfit(t1,P1,n);y=polyval(a,t);% a is the coefficients vector from n-degree to 0-degree%plot(t,P,r*-,t,y,b+-);23a =1.0e+006 * -0.00000000000014 0.00000000107892 -0.00000304878595 0.00381927346813 -1.79012132225427仿真结果表明, 人口增加的模型用多项式拟合能比较准确地反映人口自然增长的规律，对长期预测具有指导意义。例2: 海底光缆线长度预测模型某一通信公司在一次施工中,需要在水面宽为20

11、m的河沟底沿直线走向铺设一条沟底光缆.在铺设光缆之前需要对沟底的地形做初B2468101214161820986420ADC探测到一组等分点位置的深度数据如下表所示.25步探测,从而估计所需光缆的长度,为工程预算提供依据.基本情况如图所示.10.9310.809.818.867.957.959.1510.2211.2912.6113.32201918171615141312111013.2812.2611.1810.139.058.027.967.968.969.01深度(m)9876543210分点21个等分点处的深度(1) 预测通过这条河沟所需光缆长度的近似值.(2) 作出铺设沟底光缆的曲

12、线图.解： 用12次多项式函数拟合光缆走势的曲线图如下仿真结果表明,拟合曲线能较准确地反映光缆的走势图.The length of the label is L= 26.3809 (m)假设所铺设的光缆足够柔软,在铺设过程中光缆触地走势光滑,紧贴地面,并且忽略水流对光缆的冲击.% prog45.m This program is to fit the data by polynomial %format longt=linspace(0,20,21);x=linspace(0,20,100);P=9.01,8.96,7.96,7.97,8.02,9.05,10.13,11.18,12.26,13.28,13.32,12.61,11.29,10.22,9.15,7.90,7.95,8.86,9.81,10.80,10.93;a,s=polyfit(t,P,12);yy=polyval(a,x);disp(yy=);dis