数学奥林匹克高中训练题

1、中 等 数 学2数学高中训练题(11)与b 平行 ;过点 P 不能作一个平面同时与 a 、b平行 ;过点 P 不能作一个平面同时与 a 、b垂直 ;过点 P 不能作无穷个平面同时与a 、b相交 .第一试 、选择题(每小题 6 分, 共 36 分)1 .在 ABC 中, 如果 AB BC 0 , 则ABC 的形状为( (A)锐角三角形 (C)钝角三角形).(B)直角三角形 (D)不能确定其中 , 真命题的个数是().(D)4nk2(A)16 .将(B)2(C)32 .设 M = ,+k +1k为 1 , 2 , , 18 的 18 名乒乓球k =1n1运动员分配在 9台上进行单打比赛, 规N =

2、k .2+n +1 k =1n定每一台上两选手之和均为大于 4则 M 、N 的大小关系为().(C)M N(B)M =Np 为().(D)不能确定 , 与 n 的取值有关3 .复平面上动点(A)不可能事件(B)概率为 1 的随机事件 cos +sin , cos sin 17(R)Z1+cos sin 1 +cos sin (C)概率为 1 的随机事件的轨迹为(A)圆).3(D)必然事件二、填空题(每小题 9 分, 共 54 分).已知 、 为锐角, cos =5 , cos =.则 + = .已知数列an 的前 4 项为a1 =2 , a2 =3 , a3 =5 , a =8 .请选择下述方

3、式之一回答 :(1)写出数列的一个递推公式 ; (2)写出数列的一个通项公式 .(B)椭圆(D)抛物线(C)双曲线4 .某学校打算在暑假期间对三幢教学大楼进行维修, 现让三个建筑公司对每幢大楼 5的修理费用进行承包报价, 见表1表 1:万元). 10 10.若 f (x)在区间 t , t 2函数 , 则 t 的取值为 .已知圆心在原点、半径为 R(R 0)的2t2 上为奇由于在暑假期间每个建筑公司只能维修一幢教学大楼, 因此 , 该校必须把各教学大楼指派给不同的建筑公司.则最便宜的维修总费用为( )万元.圆与联结 M(1 , 1)、N (7 , 0)的线段有公共(A)38(B)46(C)49

4、(D)504点.则 R 的取值范围为 .5 .已知 a 、b 是异面直线, 点 P 为a 、b 外一点 , 给出下面 4 个命题:过点 P 不能作一个平面与 a 垂直且5 .联欢, 平分为准备了 2n 个两串公开吊挂在墙上 , 每个获奖者可以(也只教学1 楼教学 2 楼教学 3 楼建筑一公司132410建筑二公司171915建筑三公司202221模拟训练2008 年第 6 期321n +n能)从两串的最下方任选一个.若有 2n 11=2= 12n +n +12, 则共有种n +n +个获奖者选这 2n 个不同的选法.21nk=.N6 .已知 f(x)=x3 在 1 , b 上满足f(b) f(

5、1)2n +n +1k =13 .A .=f (t)(1 t 135.请比较 BAC 与BPC 的大小.五、(20 分)已知点 P 到定点 M(1 , 1)的13 +19 +21 =53 ,17 +24 +21 =62 ,20 +24 +15 =59 ,13 +22 +15 =50 ,17 +22 +10 =49 ,20 +19 +10 =49 .距离为 d1 , 到定直线 l :x +y2 =0 的距离可见 , 最5 .A .若过点 P价总数为 49 万元.为 d2 .当 d2 =d1 , (0 , 1 时, 求点 P 的轨迹方程.第二试 能作一个平面同时与 a 、b 垂直, 则由“ 垂直于

6、同一个平面的两条直线平行”知与“ a 、b 是异面直线”.故为真命题. 、(50 分)如图 1 , 在 Rt ABC 中, =90, CH AB , H为垂 足, O1 和O2 分别是 AHC和BHC 的内切圆 ,两圆的另外一条外C其余3 个命题均可借助正方体找出反例.6 .D .由于最大的两数之和为 18 +17 =350)与椭圆 3 + 2 =1 有公共点.求半径 R 的最小值 .三、(50 分)集合 Sn =1 , 2 , , n的子集中, 若不含两个相邻的自然数, 则称为“ 好子集” .问 Sn 中有多少个好子集 ?参 考第一试 、1 .D .由 ABBC 0 , 只能得 ABC 的外

7、角为钝角 , 不能确定 ABC 的形状 .2 .B .x +y +z =9 ,x 0 , y 0 , z 0 .16 x +7y =90 ,x 0 , y 0 , z 0 .又由 0 x16 0 ,t t 22t2解得 t = 1 . t 0 ,1010(cos cos +sin sin )2 0 .2t3t) = 20 sin2 10 1 cos(24 . 7 , 7. 2542=2 55 .sin sin =0 ,sin设 MN 的方程为 4x +3y点且与 MN 垂直的直线为 3x7 =0 .则过原4y =0 , 可求, 且当 =, =0 时, 有sin =1 ,28 , 21得原点到

8、MN 的垂足H225 25 ab 取到最大值2 5 .解法 2 :如图 2 ,= 40 +3 07 = 7 .OH5224 +322在椭圆 x+y 7又 OM = 2 , ON =7 .由 7 2 , 知=1 上54454取点P(5cos ,2sin )、Q(5cos ,2sin ).以椭圆的长轴 OH OM HC .但 HC HB , HB HP, HP=HP HA ,故 HQ HC HBHPHA .由此可知点 A 在O 的外部.22A1 A2 =2 5为直径作圆 x +y =5 , 与直线PQ 交于点P1 、Q1 .对圆上的点(x , y)(包括 P1 、Q1), 由2x52y2x2y5+

9、4+ 5 =1 ,知 P1 、Q1 均在椭圆的外部, 有 PQ P1 Q1 .图 4又由直径是圆中最大的弦知 P1 Q1A1 A2 .故 PQ P1 Q1 A1 A2 =2 5 , 即由圆外角小于同弧圆周角得BAC BPC =BPC .五、设点 P(x , y).依题意有22 a b = 5(cos cos )4(s n s n )25 . x +y2 22= (x1) +(y1),当 PQ 为 A1 A2 时, a解法 3 :更一般地, 如图 3 , 设 F1 、F2为椭圆的焦点 .由三角形不等式得b 取最大值25 .2 (x1)+(y1) = 2 (x1)2 +(y1)2 .平方后整理得(

10、1 22 )(x1)2 +2(x1)(y(1 22 )(y1)2 =0 .(1)当 =1 时, 由式有 (x1) (y1) 2 =0 ,点 P 的轨迹方程为直线:y =x .即1)+PQ =1 (PQ +PQ)21 ( PF1 + QF1 )+图 32( PF2 + QF2 )(2)当 = 2时, 由式 有(x1)(y1) 1 = ( PF1 + PF2 )+( QF1 + QF2 )2=2 (2a +2a)=2a .2=0, 点 P 的轨迹方程为两条直线:x =1 , y =1 . 1 2 , 1当 P 、Q 、F1 、F2 四点共线时,A1 A2 , 取最大值 2a .说明 :本题是根据“

11、椭圆的长轴是椭圆的最大弦”编拟的 , 还可有代数、几何 、三角的多种解法.四、BAC AH , A 在P、H之间 .于是 , 问题转化为比较BAC 与 BP C 的大小.设直线 PH 与 O 的另一个公共点为 Q(P、Q 、A 在BC 的同侧, P、Q 可以重合为切点).下面证明 :点 A 必在PQ 之外.如图 4 , 由 PBC = PBC 135, 得PBH 45BPH HP0), 圆周(xa)2 +(yb)2 =r 2 上的有1 .沿环形跑道设有 2 008 个理点的个数情况是( (A)至多一个).站点, 按顺时针方向依次标为 c1 , c2 ,(B)至多两个c2 008 , 它们将跑道

12、分成 2 008 个区段 .某运动员将 为1 , 2 , , 2 008 的吉祥物按照以下方式依次放置于这些站点上:他先在 c1 上放置第 1 号吉祥物, 然后顺时针跑过 29 个区段, 将第 2 号吉祥物放置于所到达的站点 c30上;再顺时针跑过 29 个区段, 将第 3 号吉祥物放置于所到达的站点 c59 上, 如此进行下去.则站点 c2 008 上所放置的吉祥物的至少两个, 个数有限无数多个5 .半径为 r 的 O1 内含于半径为 R 的O , 已知存在一个四边形 ABCD 外切于RO1 且内 接于 O .则的最小值是 r().(A)2(B)3(C)6(D)2是().222(A)2 00

13、8 (B)1 896 (C)1 732 (D)1 7316 .四面体 ABCD 中, AB =2 3 , BC = 3 ,AC =AD =BD =CD =3 , M 、N 分别是AB 、CD的中点.一只甲虫欲从点 M 出发, 沿四面体表面爬行到点 N .为使爬行的路程最短 , 则它2 .设正整数 n 2 , 用 An 表示分母为 n的全体真分数所组成的集合.那么, 集合2 007A2 008 Ak 的元素个数为().k =1必须攀越的棱是().(C)AD(A)2 007 (B)1 008 (C)1 007 (D)1 0003 .矩形 ABCD 为一张台球桌面, 其长宽比 ABBC =21 .现从 AB 的中点P 按照与 AB 成锐角 的方向朝边BC 射出一球, 顺次(A)AC(B)BC(D)BD二、填空题(每小题 9 分, 共 54 分)1 .从自然数中删去所有的完全平方数与立方数, 剩下的数自小到大排成一个数列经边 BC 、CD 、DA 、AB 各反弹一次后桌an .则 a2 008 =.面中心的一球M .则 tan =().n -1集 M添上n 所得的M =Mn, 也一定是1 + 5152=a2a1的好子集.S