AR模型谱估计方法研究及其应用

1、 PAGE 33罢AR傲模型谱估计安方法研究及稗其应用摘 要拜数字信号处罢理(DSP扳)重要的应扒用领域之一邦，是建立在哎周期信号和奥随机信号基翱础上的功率鞍谱估计。在懊实际应用中板往往不能获叭得具体信号昂的表达式,昂需要根据有板限的数据样佰本来获得较叭好的谱估计癌效果，因而芭谱估计被广啊泛的应用于敖各种信号处稗理中斑1岸。芭S。百本论文研究稗了功率谱估爸计的几种常安用的方法，凹包括经典谱巴估计和现代翱谱估计的各安种方法，且澳对每种方法按的估计质量伴做了数学推敖导，并给出办仿真程序及稗仿真图。经瓣典法主要包爱括周期图法岸、自相关法耙，但这两种背方法都存在百缺陷，即认扳为观测数据绊之外的数据奥都

2、为零，所霸以对经典法鞍中的周期图爱法进行了加哀窗、平均等靶修正，因此板提出了周期瓣图法的改进巴方法；现代暗谱估计的方懊法分类比较笆多，AR模摆型法,MA阿模型法和A矮RMA模型澳法是现代功背率谱估计中白最主要的参凹数模型，本班论文着重讨翱论了AR模白型参数法办2爸。同时论文疤将通过对经板典谱估计和般现代谱估计叭的实现方法巴及仿真图的板比较，得出背经典功率谱敖估计方法的把方差性较差懊，分辨率较斑低，而现代班谱估计的目爸标正是在于昂努力改善谱按估计的分辨佰率，因此能啊得到较好的扳谱估计效果半，为此应用板更为广泛阿3扒。坝G。斑关键字按：数字信号霸处理，功率坝谱估计，周肮期图法，自佰相关法，A瓣R模

3、型法皑V。 捌ABSTR翱ACT奥Digit澳al si疤gnal 挨proce澳ssing板 (DSP暗) imp鞍ortan坝t app盎licat叭ion o巴f one暗 of t埃he fi阿eld爱. Actually袄, we 板cant吧 get 拜the e爸xpres百sion 挨of a 背speci板fic s败ignal按, so 啊we ne邦ed to把 esti扮mate 巴the power 白spect笆ral o坝f a s昂ignal暗 acco斑rding佰 to s按ome s霸ample背 data邦 sequ般ences笆.氨So坝 s捌pect

4、r肮um es凹timat唉ion w跋hich 办is wi皑dely 绊used 爱in va敖rious柏 sign霸al pr背ocess懊ing.岸 肮k。按In th爱is th板esis,拜 some吧 comm奥on me罢thods拌 of P百ower 埃Spect按ral E奥stima案tion,班 such斑 as c昂lassi埃cal s跋pectr半al es版timat胺ion a稗nd mo瓣dern 坝spect绊ral e案stima颁tion,蔼 are 拌studi半ed. T爱he qu盎ality疤 of e岸ach e熬stima扳tion 俺

5、metho氨d is 芭deriv傲ed, s暗imula佰tion 颁progr肮am an伴d sim捌ulati案on fi敖gure 盎is gi败ven. 拔Class扒ical 隘metho半ds of胺 Powe把r Spe背ctral哀 Esti绊matio邦n mai般nly i伴nclud耙e the巴 Peri盎odogr碍am an扮d the靶 BT m艾ethod蔼. But唉 both靶 of t哎hem h蔼ave a搬 comm巴on dr熬awbac伴k: th百e dat瓣a seq暗uence爸s, be埃yond 吧the a扒rea o吧f the扒

6、 obse奥rved 板seque笆nces,半 are 案all p班resum笆ed to笆 zero哎. So 胺the W安indow安s and耙 the 翱avera巴ge me阿thod 敖are i暗ntrod哎uced 背to im爸prove敖 the 矮quali蔼ty of瓣 the 翱Perio拜dogra扒m. 敖There邦fore 拌the i稗mprov巴ement稗 of 岸The P艾eriod爱o扒gram昂 esti罢matio挨n met斑hod i爱s pro柏posed叭. The般 clas哀sific爸ation佰 of m阿odern啊 s

7、pec袄tral 暗estim唉ation暗 meth柏ods are m白ore ,傲 AR把，芭MA, a巴nd AR肮MA is俺 the 邦most 百impor挨tant 百param哎eters案 of m挨odern熬 spec霸tral 肮estim哎ation瓣. Thi挨s 矮thesi搬s盎 will focu氨s on 挨discu罢ssion氨 of A版R mod扒el pa把ramet捌ers m昂ethod懊. At 安the s颁ame t邦ime ,绊 It c皑an be柏 seen安 from扳 the 肮compa碍rison唉 and 扮reali斑

8、zatio爸n氨 of 岸class佰ical 爸spect佰ral e啊stim懊ation伴 and 暗moder跋n spe傲ctral罢 estimatio芭n, 班class啊ical 氨power斑 spec办trum 唉estim摆ation拔 vari瓣ance 埃is po摆or, l霸ow re哎solut拔ion .百The g跋oal o拔f mod耙ern s柏pectr霸al es罢timat爸ion i叭s wo搬r暗king 暗to im吧prove办 the 奥resol扮ution of s扳pectr凹al es胺timat袄ion啊, bet败ter r

9、霸esult吧s of 捌the e昂stima版tion 半of th安e pow扒er sp背ectru岸m can半 be o颁btain爸ed, s捌o it 袄is捌 appl凹ied m佰ore w隘idely阿. 绊P。芭Keywords安: dig艾ital 哀signa蔼l pro背cessi拔ng挨,伴 Powe隘r Spe扮ctrum扒 Esti翱matio澳n哀,翱 The 胺Perio笆dogra啊m吧,安 the 板BT me霸thods肮，板AR mo袄del阿D。目 录TOC o 1-2 h u HYPERLINK l _Toc 八摘拜 斑要鞍 PAGEREF

10、_Toc h 班I奥P。 HYPERLINK l _Toc 翱1 岸绪论哀 PAGEREF _Toc h 捌1岸v。 HYPERLINK l _Toc 拌1.1胺功率谱简介案 PAGEREF _Toc h 拔1芭D。 HYPERLINK l _Toc 胺1.2澳经典谱估计坝 PAGEREF _Toc h 霸2邦3。 HYPERLINK l _Toc 矮1.3办现代谱估计跋 PAGEREF _Toc h 耙3办q。 HYPERLINK l _Toc 懊1.4碍功率谱估计稗应用及用途胺 PAGEREF _Toc h 挨4爸r。 HYPERLINK l _Toc 巴 _To坝c吧 昂2 安谱估计简介

11、哀 PAGEREF _Toc h 拜5板O。 HYPERLINK l _Toc 芭2.1班随机信号简把介傲 PAGEREF _Toc h 伴5隘z。 HYPERLINK l _Toc 吧2.2蔼平稳随机信安号柏 PAGEREF _Toc h 胺7捌h。 HYPERLINK l _Toc 把2.3爱估计质量的扒评价标准爱 PAGEREF _Toc h 巴10跋F。 HYPERLINK l _Toc 鞍3 俺现代谱估计板 PAGEREF _Toc h 坝12般Z。 HYPERLINK l _Toc 哎3.1氨平稳随机信搬号的参数模靶型办 PAGEREF _Toc h 癌12肮q。 HYPERLIN

12、K l _Toc 啊3.2 A疤R翱模型的正则暗方程与参数哀计算阿 PAGEREF _Toc h 捌13跋Q。 HYPERLINK l _Toc 哎3.3 M凹A翱模型谱估计罢 PAGEREF _Toc h 叭16斑5。 HYPERLINK l _Toc 靶3.4 A跋RMA肮模型谱估计颁 PAGEREF _Toc h 罢17罢1。 HYPERLINK l _Toc 百3.5 A绊R柏模型功率谱估计实验爸 PAGEREF _Toc h 摆19哎7。 HYPERLINK l _Toc 爸3.5.1板、实验内容板 PAGEREF _Toc h 吧19皑Y。 HYPERLINK l _Toc 叭3.

13、5.2霸、实验分析霸 PAGEREF _Toc h 坝20唉k。 HYPERLINK l _Toc 扳3.5.3碍、实验结果办及分析班 PAGEREF _Toc h 案20吧C。 HYPERLINK l _Toc 艾3.5.4扮、实验思考扒 PAGEREF _Toc h 背24凹Y。 HYPERLINK l _Toc 把3.5.5安、实验源代案码癌 PAGEREF _Toc h 芭25霸v。 HYPERLINK l _Toc 肮3.6 翱AR阿模型的应用班 PAGEREF _Toc h 板30啊x。 HYPERLINK l _Toc 肮 霸3.7 半小结吧 PAGEREF _Toc h 澳36

14、白F。 HYPERLINK l _Toc 啊4盎爱论文总结啊 PAGEREF _Toc h 傲36百5。 HYPERLINK l _Toc 拌参考文献拌 PAGEREF _Toc h 罢38班C。1 绪论安1.1功率阿谱盎简介邦1.蔼功率谱估计绊技术渊源流懊长，在过去案的几十年获稗得了飞速的胺发展。功率坝谱估计涉及败信号与系统爱、随机信号爱分析、概率统计、随机柏过程、矩阵拌代数等一系罢列的基础科吧学，广泛应癌用于雷达、声纳、通信矮、地址勘探捌、天文、生板物医学工程斑等众多领域坝，其内容、捌方法不断更澳新，是一个巴具有强大生败命力的研究挨领域芭4巴。哀H。阿功率谱估计坝(PSD)啊是用有限长按的

15、数据来估艾计信号的功白率谱, 它啊对于认识一氨个随机信号柏或其它应用碍方面来讲都耙是极其重要哀的, 是数颁字信号处理疤的重要研究哀内容之一，隘在军事、生芭物医学、通背信等领域得矮到了较为广安泛的应用碍5啊。芭H。瓣“皑谱搬”把最早是由英凹国科学家牛昂顿提出来的拜，后来法国爸工程师傅里安叶提出了著搬名的傅里叶巴谐波分析理岸论，该理论埃至今仍然是稗我们进行信熬号分析和处败理的理论基隘础。傅里叶办级数首先在办观察自然界霸中的周期现暗象得到应用颁，但傅里叶斑的计算比较八复杂，促使般人们研制相霸应的机器来叭计算傅里叶熬级数。在1傲9世纪末，搬Schus爸ter提出般傅里叶系数隘的平方，并挨命名为周期哎图

16、，这是经盎典谱估计的熬最早提出法佰，至今仍被盎人们沿用吧6背。后来，鉴瓣于周期图的搬起伏剧烈，叭提出了平均叭周期图的概敖念，并提出爸了在对有限芭长数据计算版傅里叶系数扒时所存在的拔边瓣问题，颁这就是后来坝我们所熟悉柏的窗函数的岸影响。周期背图较差的方奥差性能促使爱人们研究另盎外的分析方白法。Yul扳e在192败7年提出了跋用线性回归阿方程来模拟肮一个时间序挨列，从而发坝现隐含在该柏时间序列中俺的周期,从俺而发现了现俺代谱估计中拜最重要的方班法跋凹参数模型法八。Walk扳er利用Y氨ule的分柏析方法研究爱了衰减正弦昂时间序列，昂并得出了在癌对最小二乘背分析中经常般应用的Yu邦le-Wa扮lke

17、r方搬程。败7案Yule的巴工作使人们靶重新想起了扒早在179矮5年Pro哀ny提出的昂指数拟合法澳，从而Pr耙ony方法百形成了现代鞍谱估计的又笆一重要内容背。之后又陆稗续提出了W邦iener捌-khin袄tchin扳e定理、谱吧估计自相关吧法BT法等阿。所有这些岸都为现代谱背估计的发展拜打下了良好扳的基础搬7伴。哎U。吧2.扳功率谱估计案可以分为经疤典谱估计(八非参数估计隘) 和现代昂谱估计(参懊数估计)。隘经典谱估计佰的方法主要凹方法有自相斑关估计法和柏周期图法以碍及对周期图阿的改进方法扒; 现代谱皑估计的内容半极其丰富，艾涉及的学科耙及应用领域奥也相当广泛安，方法大致耙可分为参数挨模型

18、谱估计挨和非参数模按型谱估计，案前者有AR败 模型法(斑最大熵谱分拌析法)、M盎A模型，A爱RMA模型昂、Pron笆y 指数模耙型等；后者氨有最小方差坝法，多分量艾的MUSI鞍C方法等挨8邦。其中周期拜图法和AR奥 模型法是啊用得较多且暗最具代表性哀的方法。从跋信号的来源败分，又可分为一维谱估搬计、二维谱版估计及多维白谱估计。从奥使用的统计稗量来分，目艾前大部分工蔼作是建立在埃二阶矩基础瓣上的，但由白于功率谱密佰度是频率的俺实函数，缺案少相位信息隘，因此，建把立在高阶矩败基础上的谱靶估计方法正版引起人们的胺注意。从信伴号的特征来阿分，在这之案前所说的方绊法都是对平耙稳随机信号巴而言，其谱翱分量

19、不随时巴间变化，对盎非平稳随机罢信号，其谱绊是时变的，摆近20年来邦，以wig笆ner分析埃为代表的时绊域分析引起吧了人们的广唉泛兴趣，形稗成了现代谱隘估计的一个班新的研究领笆域。俺y。皑3.邦在通信系统敖中，往往需矮要研究具有败统计特性的凹随机信号。百由于随机信拜号是一持续澳时间无限长矮，具有无限跋大能量的功拌率信号，它爱不满足傅里斑叶变换条件百，而且也不搬存在解析表败达式，因此吧就不能够应百用确定信号蔼的频谱计算奥方法去分析凹随机信号的摆频谱靶9般。然而，虽疤然随机信号扳的频谱不存芭在，但其相鞍关函数是可碍以确定的。挨如果随机信暗号是平稳的伴，那么其相敖关函数的傅盎里叶变换就氨是它的功率翱

20、谱密度函数安，简称功率挨谱。功率谱凹反应了单位芭频带内随机暗信号的一个埃样本信号来邦对该随机过敖程的功率谱按密度函数做澳出估计。坝B。胺1.岸2邦经典谱估计隘直接法：又把称周期图法啊，它是把随奥机序列颁的N个观测澳数据视为一暗能量有限的败序列，直接按计算柏的离散傅立班叶变换，得捌，然后再取败其幅值的平懊方，并除以百N，作为序瓣列爸真实功率谱阿的估计。周隘期图这一概巴念早在19叭89年就提跋出了，但由捌于点数N一疤般比较大，霸该方法的计盎算量过大在颁当时无法使白用，在19按65年FF稗T出现后，奥此法才变成伴谱估计的一搬个常用方法哎。周期图法坝包含了下列艾二条假设：叭3。稗认为随机序罢列是广义平

21、氨稳且各态遍百历的，可以翱用其一个样瓣本拜中的一段来扮估计该随机扳序列扒的功率谱,岸这当然必带背来误差。罢4。疤由于对有限安序列采用D扒FT，就默袄认此有限序懊列时域是周吧期的，以及八该有限序列摆在频域是周癌期的。这种盎方法把随机肮序列样本鞍看成是截得懊一段的有限跋序列的周期耙延拓，这也暗就是周期图班法这个名字疤的来历。捌C。靶间接法：也稗叫相关法。熬间接法先由笆序列绊估计出自相埃关函数颁，然后对疤进行傅立叶瓣变换，便得拔到颁的功率谱估傲计。板q。摆周期图法与俺相关法相比哎，相关法在白求相关函数吧时将有限长拔序列以外的办数据看做是爸零，因此相扒关法认为除疤有限长序列稗外摆是全零序列扮，这种处理

22、邦方法显然和坝周期法不一敖样。但是，班当相关法被爸引入基于F扒FT的快速拌变换后，相笆关法和周期盎图法开始融翱合。改进的案周期图法：拜对于直接法爱的功率谱估霸计，当数据凹长度N太大背时，谱曲线隘起伏加剧，奥若N太小，搬谱的分辨率靶又不好，因罢此需要改进摆。其又有以岸下几种方法捌：埃2。傲1.Bar扮tlett败法罢Bartl疤ett平均斑周期图的方败法是将N点瓣的有限长序叭列奥分段求周期白图再平均。蔼U。啊Welch坝法哎Welch矮法对Ba办rtlet蔼t法进行了疤两方面的修哀正:一是选啊择适当的窗稗函数把，并再周期艾图计算前直按接加进去，哀加窗的优点罢是无论什么哀样的窗函数傲均可使谱估昂计

23、非负。二百是在分段时版，可使各段挨之间有重叠扮，这样会使斑方差减小。败不同窗函数霸的welc癌h谱估计在按选择窗函数半时，一般有胺如下要求：扒g。胺1) 窗口捌宽度M要远罢小于样本序颁列长度N，拌以排除不可安靠的自相关办值；矮T。癌2) 当平背稳信号为实暗过程时，为熬保证平滑周啊期图和真实邦功率谱也是背实偶函数，靶平滑窗函必办须是实偶对澳称的；跋M。翱3) 平滑氨窗函数应当捌在按是峰值，并阿且m随绝对笆值增加而单肮调下降，使百可靠的自相皑关值有较大般的权值；皑d。办4) 功率罢谱是频率的板非负函数且背周期图是非扳负的，因而办要求窗函数罢的four白ier变换吧是非负爱的。矮6。俺在经典谱估阿计

24、中，无论靶是周期图法拌还是其改进百方法，都存耙在着频率分捌辨率低、方捌差性能不好盎的问题，原因是谱估计皑时需要对数叭据加窗截断捌，用有限个懊数据或其自翱相关函数来绊估计无限个啊数据的功率唉谱，这其实阿是假设了窗埃以外的数据艾或自相关函澳数全为零，矮这种假设是胺不符合实际巴的，正是由唉于这些不符肮合实际的假案设造成了经哀典谱估计分斑辨率较差。昂另外，经典鞍谱估计的功哀率谱定义中既无求均值奥运算又无求般极限运算，翱因而使得谱瓣估计的方差俺性能较差，埃当数据很短安时，这个问挨题更为突出颁，如何选取矮最佳窗函数案、提高频率百分辨率，如何在数据情搬况下提高信坝号谱估计质巴量，还需要案进一步研究坝10唉。

25、搬1。版1.佰3绊现代谱估计唉现代谱估计凹与经典谱估疤计的主要区半别就在于，埃现代谱估计扒一般采用信叭号模型法，拜信号模型法碍将原始信号案视为白噪声鞍通过一系统氨的输出信号蔼，通过对输白出信号的观罢测，按照一敖定的准则，柏求出相应的扳系统函数，把这样再由输芭入白噪声和昂以求得的系癌统函数就很跋容易得到输笆出信号的功率谱。由已芭知白噪声和奥系统函数求伴得的输出序爱列，实际上啊是对原始观鞍测到的输出拌信号的两端袄进行了估计或延拓。数阿据长度加宽碍以后，频谱半分辨率会得叭到改善！因凹此现代谱估扒计优于经典吧谱估计。昂w。岸1.跋4半功率谱估计啊应用及用途熬功率谱估计啊有着极其广半泛的应用，拌不仅在认

26、识凹一个随机信邦号时，需要爸估计它的功捌率谱。它还拜被广泛的应半用于各种信安号处理中。昂在信号处理般的许多场所般，要求预先败知道信号的佰功率谱密度邦。例如，在颁最佳线性过八滤问题中，白要设计一个佰维纳滤半波器就首先芭要求知道信鞍号与噪声的艾功率谱密度俺，根据信号跋与噪声的功蔼率谱才能设拜计出能够尽熬量不失真的扮重现信号，败而把噪声最矮大限度抑制败的维纳滤波板器常常利用邦功率谱估计蔼来得到线性笆系统的参数把估计。例如澳，当我们要拜了解某一系袄统的幅频特艾性稗时，可用一邦白色噪声通巴过该系统，吧再从该系统爸的输出样本般估计功率谱唉密度，故通巴过估计输出阿信号的PS八D，可以估肮计出系统的埃频率特性

27、。俺从宽带噪声背中检测窄带哎信号。这是奥功率谱估计办在信号处理傲中的一个重奥要用途。但板是这要求功拌率谱估计有柏足够好的频隘率的分辨率版，否则就不盎一定能够清叭楚地检测出拔来。所谓谱搬估计的分辨笆率可以粗略版的定义为能哎够分辨出的二个分立的稗谱分量间的碍最小频率间懊隙，提高谱按估计的分辨拔率已成为目爱前谱估计研究中的一个八重要方向。耙G。伴功率谱估计阿就是通过信俺号的相关性袄估计出接受巴到信号的功拜率随频率的瓣变化关系，唉实际用途有罢滤波、信号安识别、信号肮分离、系统斑辨识等。谱傲估计技术是胺现代信号处哀理的一个重摆要部分，还肮包括空间谱隘估计、高阶艾谱估计等斑11爱。案3。绊2 谱估笆计扳简

28、介案2.1随机耙信号简介耙2.1.1澳 随机变量翱随机变量（敖rando稗m var疤iable凹）表示随机跋现象（在一哎定条件下，把并不总是出搬现相同结果疤的现象称为坝随机现象）澳各种结果的瓣变量（一切疤可能的 HYPERLINK /view/.htm 败样本点埃）。例如某奥一时间内公斑共汽车站等百车乘客人数败，电话交换吧台在一定时懊间内收到的巴呼叫次数等芭等，都是随暗机变量的实暗例。拌C。阿随机变量在唉不同的条件拔下由于偶然跋因素影响，拔其可能取各八种不同的值扮，具有 HYPERLINK /view/.htm 挨不确定性拔和 HYPERLINK /view/.htm 版随机性斑，但这些取半

29、值落在某个稗范围的概率碍是一定的，岸此种变量称稗为随机变量傲。随机变量氨可以是 HYPERLINK /view/.htm 八离散叭型的，也可碍以是 HYPERLINK /view/.htm 挨连续鞍型的。如 HYPERLINK /view/.htm 白分析百测试中的测伴定值就是一肮个以概率取拔值的随机变颁量，被测定叭量的取值可唉能在某一范盎围内随机变哀化，具体取伴什么值在测熬定之前是无胺法确定的，氨但测定的结邦果是确定的稗，多次重复挨测定所得到爱的测定值具巴有 HYPERLINK /view/8163.htm 俺统计爸规律性。随颁机变量与模笆糊变量的不碍确定性的本袄质差别在于捌，后者的测岸定结

30、果仍具阿有不确定性拔，即 HYPERLINK /view/.htm 隘模糊性暗。敖p。凹按照随机变扮量可能取得百的值，可以爸把它们分为肮两种基本类柏型：埃 HYPERLINK /view/.htm 蔼离散型随机蔼变量矮，即在一定盎区间内变量稗取值为有限白个，或数值班可以一一列瓣举出来。例鞍如某地区某巴年人口的出艾生数、死亡矮数，某药治安疗某病病人啊的有效数、懊无效数等。巴 HYPERLINK /view/.htm 拔连续型随机笆变量白，即在一定傲区间内变量鞍取值有无限捌个,或数值爱无法一一列搬举出来。例按如某地区男哀性健康成人伴的身长值、奥体重值，一笆批传染性肝叭炎患者的血板清转氨酶测隘定值等

31、。芭c。蔼1笆.唉随机变量的熬分布函数靶设X是随机案变量，对任肮意实数埃，事件昂Xx搬的概率唉称为随机变矮量X的分布阿函数。记为啊，即阿，易知，对鞍任意实数a霸,b,翱,傲。把s。俺分布函数的耙性质凹(1) 单哎调不减性：爸若瓣, 则昂；板(2) 归颁一性：对任翱意实数百，爱，且 ，碍(3) 左坝连续性：对皑任意实数x爸，疤2班.办数学期望、埃方差、标准耙差癌定义：昂 ,为拜的数学期望扒值，或简称碍为均值。；办以上分别称安为X的标准唉差和方差。巴若澳为离散型随靶机变量，则败上述的求均艾值运算将有摆积分改为求案和。例如傲，式中的熬是岸取值为翱时的概率俺12哎。背M。爱3.扳随机向量吧在某些实际敖

32、问题中，往啊往需要同时柏用两个或两罢个以上的随懊机变量来描挨述试验的结敖果。碍w。傲设E是一个叭随机试验,熬 样本空间翱是澳，设捌和癌是定义在盎办上的随机变案量， 由它唉们构成的一拔个向量靶叫做二维随拔机向量或二败维随机变量捌。哎E。跋（耙注: 半二维随机向拜量 爱的性质不仅跋与罢和安有关,而且盎还依赖于这佰两个随机变翱量的相互关跋系。）阿i。伴4阿.岸概率密度函白数扮概率密度函啊数是为了表隘示瞬时数据袄落在指定幅暗值范围的概俺率。斑其定义为：扒。办瞬时值爸小于或等于背某值x的概百率定义为概百率分布函数摆或累计概率把分布函数胺c。奥5白.按相关函数熬表征了一个爸随机过程自矮身在不同时扳刻的状态

33、间奥，或者两个背随机过程在哀某个时刻状按态间线性依佰从关系的数斑字特征。邦Q。把相关函数是挨两随机变量绊之积的数学拌期望，称为百相关性。统阿计学中用相安关系数xy皑来描述变量癌x，y之间艾的相关性，疤函数的相关芭系数，简称般相关函数：罢y。捌2.1.2扮随机信号的办特征啊随机信号具吧有不重复性矮、不确定性挨，通常用概颁率与统计方啊法研究其中盎是否存在某白些重复、确暗定的成分。稗D。拔随机过程在般某一时刻爱的均值（一按阶矩）可将扮总体中各样绊本函数在瓣的瞬时值相癌加，然后除凹以样本函数唉的个数而得跋到鞍。昂J。版自相关函数挨即为随机过绊程两不同时癌刻之值的相艾关性，又称霸二阶矩。用白和般两时刻瞬

34、时哀值乘积的总摆体平均值得罢到埃。颁d。埃自相关函数的性质：傲(1) 自奥相关函数是背 的偶函数罢 ；懊(2) 当阿 时，自相斑关函数具有皑最大值，霸；办(3) 周案期信号的自坝相关函数仍哎然是同频率霸的周期信号矮，但不保留颁原信号的相疤位信息。霸R。熬(4) 当扳随机信号中肮含有周期信邦号时，矮中也必定有凹周期性分量案，且周期相般同。柏9。拌(5) 对肮变化迅速的扮信号（宽带蔼随机过程）捌，相关的程阿度在耙很小时就完皑全丧失。爱f。拜2.2平稳般随机信号哎2.2.1捌平稳随机信鞍号的定义隘平稳信号分皑严平稳和宽罢平稳，严平扒稳的条件在皑信号处理中太严格，不巴实用，一般背所说的平稳八是指宽平稳

35、唉，满足三个安条件：阿7。板(1) 均肮值为与时间败无关的常数碍；癌(2) 均芭方有界；碍(3) 自凹相关函数与暗信号时间的佰起始点无关哀，只和时间耙差有关（宽扳平稳信号的半方差和均方把也是与时间佰无关的）。扳d。拜(1) 平疤稳随机过程搬的定义:蔼如果对于任胺意n和稗以及俺有熬则称岸为严平稳随昂机过程，或懊称狭义平稳哎随机过程。瓣(2) 平邦稳随机过程把的数字特征哀：挨1) 啊,平稳随机艾过程的数学绊期望与时间案无关；芭2) 败，平稳随机熬过程的方差霸与时间无关翱；芭3) 傲其中：哀；4) 。叭平稳随机过翱程的数学期拌望及方差与懊无关，它的癌自相关函数凹和协方差函癌数只与时间稗间隔斑有关；随

36、机柏过程的这种板“昂平稳八”敖数字特征，疤有时就直接班用来判断随阿机过程是否班平稳。即若隘一个随机过芭程的数学期翱望及方差与绊时间无关，凹而其相关函蔼数仅与白有关，即我半们就称这个罢随机过程是肮广义平稳的按。芭H。把(3) 宽摆平稳随机过鞍程（广义平昂稳）:般若昂的数学期望鞍为常数，且扒自相关函数爸只与拜有关，则称巴为宽平稳随拜机过程，或瓣称广义平稳翱随机过程。般不难看出，板严平稳过程敖一定是宽平暗稳过程，反扳之不一定。白但对于正态拔随机过程两凹者是等价的跋。本论文若颁不加特别说半明，平稳过艾程均指宽平摆稳过程邦13唉。背s。捌2.2.2邦 平稳随机安信号的自相暗关函数隘实随机信号捌的自相关函

37、岸数定义：唉，巴由于平稳随挨机信号的统唉计特性与时板间的起点无笆关，设懊, 则有氨。所以，平澳稳随机信号蔼的自相关函啊数是时间间袄隔翱霸的函数，记跋为摆。埃w。耙平稳随机信耙号自相关函白数的性质：昂设傲为平稳随机斑过程，其自靶相关函数为昂，自协方差板函数碍，则它们有懊如下性质：袄癌8。艾（1）盎时的自相关唉函数等于均敖方差，自协奥方差函数等吧于方差， 扮即 霸(2) 当巴平稳随机信熬号是实函数八时，其相关佰函数是偶函暗数，即： 隘(3) 隘邦=0时的自班相关函数、拜自协方差函岸数取最大值俺，即 班(4) 若蔼X(t)=摆X(t+T盎)，则其自肮相关函数也般是周期为T爸的周期函数敖，即 奥E。柏

38、(5) 若巴均值吧，当翱时，百与唉相互独立，按有 安 ，即对于把零均值的平哎稳随机信号版，当时间间翱隔肮伴很大时，佰与班相互独立，爱互不相关。阿M。把2.2.3埃 平稳随机昂信号的功率哀谱功率谱密度跋定义：设颁,笆鞍澳是均方连叭续的随机过凹程，称芭为扒的平均功率芭。称阿为耙的功率谱密佰度，简称谱挨密度。爱功率谱密度爸的性质耙（1）若佰 ，则 跋是爸 的傅里叶矮变换；癌SX(胺)是澳的非负实函隘数；稗实平稳过程班的谱密度是坝偶函数；蔼当 百是稗的有理函数班时，其形式背必为，挨其中肮,办为常数，且氨, 佰，分母无实霸根。澳3.随机序颁列的功率谱傲随机序列拌，它的相关颁函数扮满足其功率蔼谱密度哎 具

39、有如下矮式子：哀2.3估计澳质量的评价袄标准1.无偏性斑对于待估参坝数，不同的搬样本值就会叭得到不同的安估计值，这班样，要确定碍一个估计量拔的好坏，就罢不能仅仅依捌据某次抽样哎的结果来衡安量，而必须埃由大量抽样暗的结果来衡熬量对此，袄一个自然而哀基本的衡量岸标准是要求袄估计量无系昂统偏差。也蔼就是说，尽叭管在一次抽案样中得到的佰估计值不一坝定恰好等于般待估参数的安真值，但在芭大量重复抽佰样时，所得颁到的估计值白平均起来应安与待估参数背的真值相同耙换句话说凹，我们希望扳估计量的均挨值（数学期疤望）应等于皑未知参数的碍真值，这就哎是所谓无偏碍性(Unb背iased案ness)败的要求。奥F。隘定义

40、:白设来自总体百X的一个样爸本，是总体半参数矮 的一个估把计量，若 懊 ,则称案是碍 的无偏估鞍计量(Un安biase碍d Est拜imato跋r)。一个哀估计量如果澳不是无偏的罢就称它是有芭偏估计量。扳称为拜估计量的偏佰差。无偏估挨计的实际意叭义就是无系啊统偏差，估啊计量是否无斑偏是评价估暗计量好坏的安一个重要标办准，若白 ，但有挨，则称碍是爸的渐近无偏艾估计。 澳f。2.有效性隘比较两个无艾偏估计量优埃劣的一个重袄要标准就是埃观察它们哪懊一个取值更八集中于待估爱参数的真值捌附近，即哪挨一个估计量懊的方差更小斑，这就是下埃面给出的有奥效性(Ef摆fecti挨venes癌s)概念。佰3。 定义

41、:盎设与搬都是总体参挨数埃的无偏估计半，若奥 ,则称摆比埃 更有效。疤在敖的所有无偏斑估计量中，盎如果存在一哀个估计量霸，它的方差霸最小，则此班估计量应当罢最好，并称笆此估计量颁为 办的最小方差吧无偏估计，翱也称其为最板有效的百V。3.相合性估计量扮的无偏性和爱有效性都是翱在样本容量矮n固定的情邦况下讨论的斑。由于估计艾量按和样本容量拜n有关，我氨们自然希望鞍当碍很大时，一安次抽样得出班的的扳值能以很大啊的概率充分扒接近被估参斑数癌，这就提出安了相合性(袄Consi板stenc坝y)（一致埃性）的要求败。癌I。定义：般设懊 是总体参爱数靶的估计量，暗如果对任意笆都有袄, 则称颁是拌的相合估计扒

42、量（或一致翱估计量）。癌是鞍的相合估计矮就意味着坝依概率收敛把于胺.根据大数爸定律，无论按总体X服从摆什么分布，颁只要其绊阶原点矩 昂存在，则对熬任意绊 都有扳，所以样本败的拜阶原点矩凹始终是总体盎阶原点矩拔的相合估计叭。 进一步疤地, 可以袄证明：只要邦相应的总体芭矩存在，矩霸估计必定是把相合估计。艾特别地，疤 总是罢 的相合估搬计, 样本岸方差佰 和样本的俺二阶中心矩巴都是总体方搬差拜 的相合估疤计斑和颁又都是案的相合估计疤。由相合性懊定义可以看袄出，若搬是拌的相合估计扳，当样本容氨量很大时，袄一次抽样得哎到的哎值便可作为罢的较好近似碍值安14耙。爸S。哎3扮 现代谱估计斑3懊.1平稳随笆

43、机信号的参佰数模型板由上一章讨爱论可知，经稗典功率谱估办计方法的方隘差性较差，般分辨率较低颁。方差性能矮差的原因是扮无法实现功氨率谱密度原熬始定义中的拔求均值和求俺极限的运算敖。分辨率低叭的原因，对澳周期图法是哀假定了数据癌窗以外的数懊据全为零，氨对自相关法颁是假定了在扳延迟窗以外挨的自相关函盎数全为零。捌当然，这种肮假定是不符办合实际的，邦正是由于这肮些不符合实奥际的假定产板生了经典谱把估计较差的分辨率。阿n。霸在第一章已绊经简洁的介澳绍了现代谱斑估计的基本方法，这些耙方法技术的矮目标在于努暗力改善谱估斑计的分辨率氨。参数模型澳法是现代谱扮估计的主要跋内容，也是唉本章讨论的八重点，参数吧模型

44、法的思氨路如下：蔼o。隘（1）假定疤所研究的过罢程按是由一个输奥入序列班激励一个线奥性系统办的输出。唉n。版（2）由已拔知的八，或其自相蔼关函数蔼来估计蔼的参数。瓣（3）由啊的参数来估佰计邦的功率谱。把是一个因果扳的线性移不傲变离散时间笆系统，当然半，它应该是跋稳定的，其颁单位抽样响芭应叭是确定的。柏输出序列罢可以是平稳俺的随机序列傲，也可以是八确定性的时霸间序列。若版是确定性的俺，那么拌是一个冲激佰序列，若哎是随机序列挨，那么胺应是一个白跋噪声序列。矮工程实际中霸所遇到的功稗率谱大体分吧为三种，一盎种是安“坝平滑翱”笆，即白噪声稗的谱，另一岸种是罢“暗线谱柏”暗，这是由一哀个或多个纯盎正弦信

45、号所稗组成的信号傲的功率谱，笆这两种是极扮端的情况；岸介于二者之斑间的是既有盎峰值又有谷懊值，这种谱俺称为ARM柏A谱。显然案，由于AR俺MA模型是翱一个零极点哎模型，它易矮于反映功率暗谱中的峰值唉和谷值。不癌难想象，A斑R模型易于阿反映谱中的伴峰值，而M把A模型易于板反映谱中的阿谷值。拔9。版AR,MA矮和ARMA把是功率谱估扳计中最主要埃的参数模型鞍。本章将会靶详细的讨论百AR模型参敖数的计算、按谱的性能及案其他算法（矮如线性预测矮、最大熵谱巴估计等）的瓣关系，最后拌简要给出M捌A模型及A爸RMA模型颁谱估计算法板23胺。版m。稗3矮.2 AR柏模型的正则版方程与参数疤计算蔼3颁.2.1半

46、 正则方程扒的求导艾参数模型法皑功率谱估计暗的主要思想袄是：将广义笆平稳的过程皑表示成一个颁输入序列把激励线性系拜统袄的输出；由拔已知的哎或其自相关扮函数斑来估计爱的参数；由白的参数估计稗的功率谱。摆l。百AR模型又称为自回归傲模型，它是百一个全极点八模型，其当艾前输出是现在输入和过败去输入的加啊权和，表示扒如下(其中氨为白噪声序跋列；p为A叭R模型的阶败数):背j。傲 (4-1啊)巴 (4-八2)芭由随机信号矮通过线性系摆统理论知输半出序列的功鞍率谱板 (4-奥3)鞍其中拔为白噪声序矮列的方差，坝因此进行功癌率谱估计，办必需求得A凹R模型的参爸数扮(k=l，肮2凹澳p)及阿。笆x。碍假定埃、

47、把都是平稳的岸随机信号，安为白噪声，伴方差为柏，现在，我版们希望建立蔼AR模型的哀参数艾和耙的自相关函凹数的关系，柏也即AR模埃型的正则方伴程拌24埃。爱F。颁将方程（4霸-1）两边案同乘以，并求得均绊值，最后得敖到埃 (4罢-4)又因为挨 (4-唉5)佰由Z变换的懊定义，安，在（4-扳2）式中，拌当埃时，有敖，综合（4邦-4）和（岸4-5）两翱式，有把7。伴 (4-笆6)爸在上面的推蔼导中，应用稗了自相关函隘数的偶对称澳性。上式写俺成矩阵形式熬，即版W。翱上述两式即唉是AR模型按的正则方程败，又称Yu爱le-Wa按lker方安程背25把。叭h。颁3百.2.2 疤A拔R模型参数岸求解的典型罢算

48、法办用线性方程澳组的常用解鞍法(例如高昂斯消元法)袄解Yule伴罢Walke般r方程，需扳要的运算量哎数量级为隘，但若利用翱系数矩阵的疤对称性和T啊oepli蔼tz性质，安则可构成一班些高效算法伴，Levi颁nson疤袄Durbi罢n算法是其盎中最著名、凹应用最广泛按的一种，这哀种算法的运挨算量数量级碍为跋。这是一种艾按阶次进行板递推的算法蔼，即首先以败和案模型参数作稗为初始条件癌，计算熬模型参数；办然后根据这暗些参数计算捌模型参数等傲，一直到计奥算出半模型参数为蔼止，当整个哎迭代计算结般束后，不仅懊求得了所需靶要的P阶A翱R模型参数澳，而且还得盎到了所有各版低阶模型的盎参数。伴F。碍根据线性

49、预碍测理论知：敖一个P阶A坝R模型的版个参数同样埃可用来构成岸P阶的最佳班线性预测器摆，其预测的靶最小均方误凹差等于AR巴模型激励白安噪声的能量版，即AR模隘型是在最小阿方差意义上安对数据碍的拟合。疤Z。胺“斑前向预测班”隘是利用n之芭前的P个值挨对爱性预测，如埃公式(4-胺8)、(4班-9)、(班4-10)疤所示；与之暗对应的捌“斑后向预测氨”芭公式为(4拌-11)、敖(4-12耙)、(4-扮13)，其坝中翱为为预测误颁差，P预测摆误差功率，拌f表示前向艾预测，b表瓣示后向预测柏。模型参数艾算法就是基吧于上述最小拜均方误差时盎由模型参数搬估计信号功半率的方法，熬主要有以下败几种经典算拜法：背

50、Y。稗自相关法(爸BT法)。敖用自相关法把进行功率谱挨估计，但估疤计时令前向懊预测误差功癌率最小，即败对罢前后都加窗板构成，Wi百ener绊班Hopf方疤程系数为T捌oepli靶 tz矩阵疤，使用Le肮vinso皑n班疤Durbi扒n算法可方便快速的求扒解AR系数隘。因此自相巴关法也是已拌知所有AR拔系数求解方白法中简单的罢一种，但谱奥分辨率相对摆较差蔼26颁。安T。暗Burg算瓣法。用Bu拔rg算法进稗行功率谱估搬计时令前后霸向预测误差版功率之和最艾小，即对阿、捌前后都不加芭窗，使用L半evinson巴阿Durbi碍n递推可快哎速的求解A爸R系数。B搬urg算法鞍是建立在数按据基础之上扮的，

51、避免了熬先计算自相按关函数从而坝提高计算速巴度；是较知胺为通用的方昂法，计算不把太复杂，且背分辨率优于敖自相关个法伴，但对于白癌噪声加正弦疤信号有时会挨出现谱线分爱裂现象。俺K。跋计算步骤如袄下：凹搬由初始条件隘 拔，再由式扒 (4-7)求出；罢唉由版 得蔼时的参数癌,唉百求出 和疤，再奥由估计班；捌邦依照Lev拌inson澳递推关系，隘求疤时的参数 叭及碍；澳白重复上述过板程，直到败，求出所有坝阶次时的A澳R参数。 鞍改进协方差暗算法。同B熬urg算法办一样，改进绊协方差算法扮进行功率谱般估计时令前胺后向预测误蔼差功率之和肮最小，即对澳、稗前后都不加稗窗，但得到叭的协方差矩唉阵不是To扳ep

52、lit癌z矩阵，因芭此正则方程凹不能用Le敖vinso袄n递推算法靶求解。Ma搬rple于拌1980年邦提出实现协耙方差方程求扳解的快速算暗法，大大提叭高了谱估计按的性能百27暗。耙u。案3百.疤3挨 MA模型坝谱估计暗给出芭模型的三个吧方程 笆由（4-1八）得吧 将上式两颁边同乘以熬，并求均值罢，得矮 耙 瓣 八 背 白 隘 班 氨 矮 袄 搬 （4-8颁）式中。因为埃 爸 半 奥 班 肮 稗 傲 巴 (4-八9)岸对办模型，由式班(2) 式暗得俺 ; 所以俺，可以求出把模型的正则昂方程，即有扳 败W。安 (4-斑10)邦的功率谱为败 澳 (4-奥11)挨等效于经典案谱估计中的爱自相关法，肮

53、即MA谱估败计等效为信氨号长度为绊的自相关法啊谱估计。 捌j。扳3矮.扒4板 ARMA昂模型谱估计盎ARMA(肮p,q)模败型的差分方澳程摆 (4-俺12)跋式中澳。类似地，绊可导出其正隘则方程如下把：芭 (4-啊13)伴式中拔是系数埃和罢的函数，前懊个方程是高哎度非线性的皑。从第扳个方程开始袄是线性的，哀可以解出A哀R部分的系耙数，将上式柏中的第二个鞍方程写成如氨下展开形式懊：板Y。般上式虽然可矮解出AR部罢分的系数，稗但存在以下熬两个问题：氨瓣由于式中的挨真实自相关佰函数挨是未知的，版因此只能使碍用估计值矮来代替，且颁要用到大延板迟的估计值昂（最大延迟板是佰），而对于耙给定的信号吧长度，这

54、将哎造成胺估计很不准颁确。因而，百也就不能得败到AR部分傲系数的准确伴估计。挨4。凹搬式中按阶次和伴都是未知的绊，需要事先斑指定。案实际上是式袄中自相关阵阿的维数，盎和敖决定了扳的选用范围唉。因此挨和耙的不正确指跋定有可能导哎致自相关阵班出现奇异。胺s。把因此，在实拌际应用中，安对自相关阵斑采用更一般摆的形式，即爱取L个方程凹，这里 跋，即昂，式中扒，肮S。八由此得到翱的最小二乘搬解为 澳求得ARM啊A(p,q罢)模型中的暗AR参数，霸余下的任务办就是求解M蔼A部分的参柏数蔼30班。袄2。办利用求得的爸AR系数先版得到一个F盎IR系统为艾序列经此FIR岸系统滤波，啊得到一个输罢出序列靶，ARM

55、A岸(p,q)俺模型与FI半R系统败级联，近似瓣于模型板。因此，可暗以利用输出伴序列奥估计自相关摆序列安并按MA(邦q)模型谱佰估计公式来耙得到MA谱柏，即半，得到MA搬谱估计邦后，利用下氨式即可求得凹ARMA谱疤估捌计：案X。柏3.5 A挨R模型功率哎谱估计实验懊3.5.1隘、实验内容邦AR叭过程的线性皑建模与功率捌谱估计。考搬虑半AR阿过程：佰是单位方差碍白噪声。翱(a) 艾取敖b胺(0)=1吧, 坝a稗(1)=艾2捌.7半607, 颁a般(2)=佰-3摆.8白106碍, 埃a哎(3)=拜2熬.班6535扳, 柏a鞍(4)=白-办0.鞍9238，哎产生靶x霸(扮n跋)的败N拜=64个样颁点

56、。瓣I。败(b)俺 计算其自叭相关序列的背估计芭，并与真实案的自相关序班列值相比较胺。跋q。按(c) 拔将蔼的伴DTFT败作为佰x爸(n俺)的功率谱般估计，即：。斑(傲d爸)凹 利用所估伴计的自相关隘值和昂Yule-奥Walke瓣r矮法(自相关百法)，估计拌和败的值，并讨瓣论估计的精埃度。蔼I。哀(e)叭 用安(d)柏中所估计的百和佰来估计功率岸谱为：捌。敖(f)阿 将蔼(c)百和翱(e)佰的两种功率埃谱估计与实奥际的功率谱班进行比较，办画出它们的拜重叠波形。阿I。伴(疤g版)袄 重复上面霸的(d)胺(f)，只办是估计AR岸参数分别采昂用如下方法拌：(1) 瓣协方差法；拔(2) B伴urg方法

57、唉；(3) 唉修正协方差盎法。试比较跋它们的功率伴谱估计精度八。爸Z。般3.5.2八、实验分析靶计算真实的艾自相关值时坝，采用逆L熬evins碍on-Du熬rbin递半归方法，由蔼a、b参数哎得到霸，俺，氨，班，其中靶为滤波器的袄阶数，再采吧用公式盎外推得到稗的自相关值矮；佰4。捌实际功率谱八，耙可调用Ma版tlab中皑的FFT算笆法得到；般自相关序列的估计值采皑用公式拜得到；般采用各种功扳率谱估计方蔼法对功率谱拔进行估计。搬3.5.3稗、实验结果搬及分析百稗仿真参数设昂置：采样点白数为64，巴频域采样点啊数为128坝自相关序列昂的估计办与真实自相拜关序列值的伴比较见图1吧，由图可知按估计值与

58、真岸实值存在一凹定的误差，般但整体变化安趋势相差不爸大。罢5。碍图1 自岸相关序列办氨题目（c）翱中功率谱的败估计方法实岸际为周期图捌法，周期图唉法估计的功熬率谱与自相凹关法估计的靶功率谱的比矮较见图2，胺由图可知，俺周期图能辨笆认出两个峰罢值，而自相熬关法不能，搬说明周期图吧的分辨率大霸于自相关法埃。搬1。扳图2 周傲期图法和自霸相关法得到肮的功率谱俺图3袄叭图7的（a氨）部分分别哎为采用周期暗图法、自相跋关法、协方爸差法、Bu胺rg方法、颁修正协方差艾法进行功率拌谱50次估爸计的交叠图氨，（b）部疤分给出了其背整体平均及碍真实的功率啊谱。由这些凹图可以看出邦，对于这一扳AR（4）埃过程，除

59、自八相关法外，鞍所有估计都罢能分辨出两吧个峰值，且爱峰值的位置吧大致相似。扮此外，周期熬图法的方差爸大于其它估昂计方法。拜H。（a）(b)碍图3 周期图法估计挨AR(4)挨过程的功率白谱（a）(b)白图4 自皑相关法估计邦AR(4)斑过程的功率敖谱（a）(b)稗图5 协芭方差法估计懊AR(4)疤过程的功率爱谱（a）(b)皑图6 B盎urg法估班计AR(4氨)过程的功挨率谱（a）(b)扳图7 修隘正协方差法板估计AR(艾4)过程的氨功率谱搬表1为采用安自相关法、板协方差法、案Burg方背法、修正协安方差法得到拔的a参数和按b参数，表稗中平方误差坝和的计算公式为啊，从表中可案以看出，自瓣相关法估计

60、矮的参数与真搬实值相比相矮差较大，协百方差法、B澳urg方法澳、修正协方瓣差法参数估半计的性能相氨当。哀2。a(1)a(2)a(3)a(4)b(0)平方误差和真实值2.7607-3.81062.6535-0.923810自相关法1.5371-1.32120.36348-0.134374.728913.5619协方差法2.7324-3.73732.5794-0.88852设为10.0129Burg方法2.7083-3.66992.5098-0.8569设为10.0477修正协方差法2.7071-3.66752.5069-0.85566设为10.0495爱表1 各奥种方法估计板的a参数和氨b参数八