洛伦茨吸引子

1、转到：导航，搜索洛伦茨吸引子维基百科，自由的百科全书跳p =28、O =10、P =8/3时的洛伦兹系统轨迹洛伦茨吸引子是洛伦茨振子(Lorenz oscillator)的长期行为对应的分形结构，以爱德 华诺顿洛伦茨的姓氏命名。洛伦茨振子是能产生混沌流的三维动力系统，以其双纽线 形状而著称。映射展示出动力系统(三维系统的三个变量)的状态是如何以一种复杂且不 重复的模式，随时间的推移而演变的。目录隐藏1简述2洛伦茨方程3瑞利数4源 代码 4.1 GNU Octave4.2 Borland C4.3 Borland Pascal4.4 Fortran4.5QBASIC/FreeBASIC(fbc

2、-lang qb)5 参见 6 参考文献 7 外部链接简述洛伦茨方程的一条轨迹被描绘成金属线，以展现方向以及三维结构洛伦茨吸引子及其导出的方程组是由爱德华诺顿洛伦茨于1963年发表，最 初是发表在大气科学杂志(Journal of the Atmospheric Sciences)杂志的论文Deterministic Nonperiodic Flow中提出的，是由大气方程中出现的对流卷方程简化得到的。这一洛伦 茨模型不只对非线性数学有重要性，对于气候和天气预报来说也有着重要的含义。行星和 恒星大气可能会表现出多种不同的准周期状态，这些准周期状态虽然是完全确定的，但却 容易发生突变，看起来似乎是

3、随机变化的，而模型对此现象有明确的表述。从技术角度看 来，洛伦茨振子具有非线性、三维性和确定性。2001年，沃里克塔克尔(Warwick Tucker) 证明出在一组确定的参数下，系统会表现出混沌行为，显示出人们今天所知的奇异吸引子 这样的奇异吸引子是豪斯多夫维数在2与3之间的分形。彼得格拉斯伯格(Peter Grassberger)B于 1983年估算出豪斯多夫维数为2.06 土 0.01,而关联维数为2.05 土 0.01。此系统也会出现在单模激光(Haken 1975)和发电机(Knobloch 1981)的简化模型 中。除此之外，闭环对流、水轮转动等物理模型也有此系统的应用。洛伦茨方程

4、标出刻度的轨迹洛伦茨方程是基于纳维一斯托克斯方程热传导方程和连续性方程简化得出， 最初的形式为：备+印）祁=乎+ gy +g胃+ 伽）=09T：._流速，T一流体温度，T0上限温度（也可以写成T0 + T），p 密度，p压强，重力，Y、X、 v 依次为热膨胀系数、热扩散率和动黏滞系数。简化后的形式称为洛伦茨方程，是决警=如咐）噂=P瑚-必一瑚油定洛伦茨振子状态的方程为一组常微分方程:万万 dzO称为出*含时间参数的形式：普兰特尔数，p称为瑞利数。所有的。，p，p 0，但通常。=10，p =8/3，p不定。 若p 1，则吸引子为原点，没有任何其他稳定点。1p 13.927时，螺线轨迹接近两点（这

5、y=b(p- 1)、相当于存在阻尼振子），两点的位置由下列式子决定：二=-、, =。系统在p =28时表现出混沌特性，但p为其他值时会显示出具纽结的周期轨道。例如，当p = 99.96时，图像变为一个T（3,2）环面纽结。初始条件的敏感依赖性时间t=1 （放大）时间t=2 （放大）时间t=3 （放大）这三幅图是在p=28,。=10, P = 8/3的条件下生成的，展示出洛伦茨吸引子中的两 条轨迹（蓝色、黄色各一）的三维演变的三个时段，这两条轨迹的初始点只在x 坐标上相差10-5。开始时，两条轨迹似乎是重合的（蓝色轨迹被黄色遮盖，因此只 能看到黄色轨迹），但一段时间后，分离就变得明显了。洛伦茨吸

6、引子的Java动画展示了振子状态连续不断的演变瑞利数不同p值时的洛伦茨吸引子p=14, o=10, p=8/3 （放大）p=13, o=10, p=8/3 （放大）p=15, o=10, p=8/3 （放大）p=28, o=10, p=8/3 （放大）p值较小时，系统是稳定的，并能演变为两个定点吸引子中的一个；当p大于24.28 时，定点变成了排斥子，会以非常复杂的方式排斥轨迹，演变时自身从不交叉。Java动画显示了不同p值时振子状态的演变参见混沌映射列表Takens定理曼德布洛特集合参考文献（英文）Jonas Bergman, Knots in the Lorentz. Equation,

7、学士毕业论文，Uppsala University 2004.（英文）Fr0yland, J., Alfsen, K. H. Lyapunov-exponent spectra for the Lorenz model. Phys. Rev. A, 1984, 29: 2928 - 2931. doi:10.1103/PhysRevA.29.2928.（英文）P. Grassberger and I. Procaccia. Measuring the strangeness of strange attractors. Physica D. 1983, 9: 189 - 208. doi:10

8、.1016/0167-2789（83）90298-1.（英文）Haken, H., Analogy between higher instabilities in fluids and lasers, Physics Letters A. 1975, 53 （1）: 77 - 78, doi:10.1016/0375-9601（75）90353-9.（英文）Lorenz, E. N. Deterministic nonperiodic flow. J. Atmos. Sci. 1963, 20: 130 - 141. doi:doi:10.1175%2F1520-0469%281963%290

9、20%3C0130%3ADNF%3E2.0.CO%3B2l10.117 5/1520-0469（1963）0202.0.CO;2.（英文）Knobloch, Edgar, Chaos in the segmented disc dynamo, Physics Letters A. 1981, 82 （9）: 439 - 440, doi:10.1016/0375-9601（81）90274-7.（英文） Strogatz, Steven H. Nonlinear Systems and Chaos. Perseus publishing. 1994.（英文）Tucker, W. A Rigor

10、ous ODE Solver and Smales 14th Problem . Found. Comp. Math. 2002, 2: 53 - 117.外部链接相关的维基共享资源洛伦茨吸引子（英文）Eric W. Weisstein, 洛伦茨吸引子,MathWorld.（英文）洛伦茨吸引子，作者为 Wolfram Demonstrations Project 的 Rob Morris（英文）洛伦茨吸引子，（英文）用于绘出洛伦茨吸引子或处理类似情况的源代码，使用ANSI C及gnuplot实现（英文）同步混沌与私人通信，由MIT林肯实验室的Steven Strogatz与Kevin Cuomo讲解电子电路中洛伦茨吸引子的实现（英文）洛伦茨吸引子交互式动画（需Adobe Shockwave插件）（英文）L:计算艺术与设计（英文）3D Attractors:三维方式显示和研究洛伦茨吸引子 Mac 程序（英文）3D VRML Lorenz attractor （需 VRML 浏览器插件）（英文）J语言实现洛伦茨吸引子演示的短文-见J语言（英文）非线性模拟的Java小程序（选择预设“Lorenz attractor”），作者Viktor Bachraty， 编写语言Jy