空间向量及其坐标运算A

1、空间向量及其坐标运算（A）9.7空间向量及其坐标运算(B)【教学目标】掌握空间点的坐标及向量的坐标和向量的坐标 运算法则、空间中两点间距离及两向量的夹角公式的坐标、ab,a / b,的坐标表示；会求平面的法向量。培养学生的建系意识，并能用空间向量知 识解决有关问题。【知识梳理】1.空间向量的直角坐标运算律：rrr r(1)若a (&e2自)力(bQh) , 贝U a b (& ha 4自 b3) ?r ra b (a b,a2 b2,a3r ra b a1bl a2b2 a3b3 ,r ra ba1bl a2b2 a3b3b3)r r a/bra ( a, a2, a3)(R)ab1,a2b2

2、,a34( R),r r3夹角公式：c。相端a1b22b32 .a1bla2b2a3b3222222a2a3b2b34.两点间的距离公式：若若庆区八乙)，B(x2,y2Z)UULT则 | AB |UUU 2AB,72 72 2.(X2 Xi) (y2 yi)(Z2 Zi)或dA,B ,(X2 K) (V2 yi) % 4)，【点击双基】1若2!= (2x, 1, 3), b= (1, -2y, 9),如 果a与b为共线向量，则A.x=1, y=1B.x=；, y=一；C.x=6, y=-| D.x= y=|解析：. a= (2x, 1, 3)与 b= (1, -2y, 9)共线，故有牛=匕哼

3、y x=1, y=- 3.应选 C.答案：C.在空间直角坐标系中，已知点P (x, y, z), 下列叙述中正确的个数是点P关于x轴对称点的坐标是P1 (x, y, z) 点P关于yOz平面对称点的坐标是 P2 (x, -y, -z) 点P关于y轴对称点的 坐标是P3 (x, y, z) 点P关于原点对称 的点的坐标是P4 (x, y, z)A.3B.2C.1D.0解析：P关于x轴的对称点为Pl (x, y,z),关于yOz平面的对称点为P2( x,y, z),关于y轴的对称点为P3 (x, y, z).故 错误.答案：C.已知向量 a= (1 , 1 , 0), b= ( 1 , 0, 2)

4、, 且ka+b与2ab互相垂直)则k值是A.1BC.jD.5解析：ka+b=k (1 , 1 , 0) + ( 1 , 0, 2) =(k1) k, 2), 2ab=2 (1 , 1 , 0)(1 , 0, 2) = (3, 2, 2):两向量垂直， .3 (k1) +2k-2X2=0./.k=|.答案：D.已知空间三点 A (1, 1, 1)、B ( 1, 0, 4)、C (2, 2, 3),则AB与ca的夹角0的大小 是.解析：ab= (2, -1, 3), CA= (-1, 3, 2),cosab, caJ1万 3 (2),14 . 14=9=(, CA =120答案：120.已知点 A

5、 (1 , 2, 1)、B ( 1, 3, 4)、D (1 ,1 , 1),若对，PB,则|pD |的值是解析：设点P (x, v，z),则由 ap=2pb,得(x 1, y 2, z 1) =2 ( 1 x, 3 y, 4 z),1x 3,x 12 2x,3. l即 y 2 6 2y,解得 y 8,贝/玩| = )( 1 1)2 (8 1)2 (3 1)2 =4.311333z 1 8 2z,z 3,答案：【典例剖析】例1.773已知Q= (2, 2, 1), aC= (4, 5,3),求平面ABC的单位法向量.解：设面ABC的法向量n= (x, y, 1)则nLAB且n.?Pnx1、，、,

6、 ， 一乎三听其nf=01)即单位法向量n0=(2x+2y+1=01 = _4x+5y/31=0)3特别提示一般情况下求法向量用待定系数法.由于法 向量没规定长度，仅规定了方向，所以有一个自 由度，可把n的某个坐标设为1,再求另两个坐 标.平面法向量是垂直于平面的向量，故法向量 的相反向量也是法向量，所以本题的单位法向量应有两解.【例2】 在三棱锥SABC中，/ SAB=/ SAC=/ACB=90 ) AC=2, BC=3, SB=，区.(1)求证：SCBC;(2)求SC与AB所成角的余弦值.解法一：如下图，取A为原点，AB、AS分别 为V、z轴建立空间直角坐标系，则有 AC=2, BC=炳，

7、SB=29,得 B (0,折，0)、S (0, 0, 26)、C(2后,京,0)，函=(2后,奈，一 2石),CB= ( 2后，亲,0)A/JB yxC(1). SC . CB=0) . SCX BC.(2)设SC与AB所成的角为*/ AB= (0)后)0), SC - ab=45 |sc| =4而).二cos / =叵)即为所求.17解法二：(1) /SAX面 ABC, ACXBC, A 是斜线SC在平面ABC内的射影，SCBC.(2)如下图，过点 C作CD/AB,过点/ 作AD / BC交CD于点D ,连结SD、SC,则/SCD为异面直线SC与AB所成的角.四边形ABCD 是平行四边形，C

8、D= SA=2套，SD=sa求 cos BAr,CBr的值； 求证：AiBXCiM.解：依题意得 B (0, 1, 0), N (1, 0, ad2=Ji2 13=5），在ASDC 中）由余弦定 理得cos/ SCD=也，即为所求.17 S特别提示本题（1）采用的是“定量”与“定性”两 种证法.题（2）的解法一应用向量的数量积直接 计算，避免了作辅助线、平移转化的麻烦，但需 建立恰当的坐标系；解法二虽然避免了建系，但 要选点、平移、作辅助线、解三角形.【例3】如下图，直棱柱ABCAiBiCi的底面 ABC 中，CA=CB=1, / BCA=90 ,棱AAi=2, M、N分别是AiBi、AiA的

9、中点.M1(1)求bn的长;A M1),BN=(1 0)2 (0 1) fE, B (1 0)2 = 3 .解：A1 (1, 0, 2), B (0, 1, 0), C(0, 0, 0), B1 (0, 1 , 2),，而=(1)1)2)函=(0)1)2), 函函=3)丽 | =J6 , | CB； I =套./. COS BA1CB1 =当雪=_2 .IBA1IICB1I 10(3)证明：C1 (0, 0, 2), M6，2), A1B= (1, 1, 2), CM = (1, g, 0),.A1b 丽=0,AB_LC1M.深化拓展根据本题条件，还可以求直线AC1与平面A1ABB1所成的角.

10、(答案是arcsin噜)【例4】如下图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点.D1C1(1)ADXD1F;AB；(2)求AE与D1F所成的角;(3)证明面AED上面A1D1F.解：取D为原点，DA、DC、DDi为x轴、 y轴、z轴建立直角坐标系，取正方体棱长为 2, 则 A (2, 0, 0)、Ai (2, 0, 2)、Di (0, 0, 2)、 E (2, 2, 1)、F (0, 1 , 0).;DA .#=(2, 0, 0)-(0, 1, 2) =0, /. ADXD1F. AE - dF= (0, 2, 1)-(0, 1 2) 二0,AELD1F,即AE与D1F成90角.; De - D1F= (2, 2, 1)-(0, 1, 2) 二0,/.DEXD1F. /AED1F, /. D1J面 AED. D1F 呈面 A1D1F,，面 AEDL面 A1D1F.思考讨论本题是高考题，标准答案的解法较为复杂， 而运用代数向量求解则轻而易举，充分显示出代 数化方法研究几何图形的优越性，这应作为立体 几何复习的一个重点去掌握.通过坐标法计算数 量积去证垂直，求夹角、距离，是高考的重点.【知识方法总结】立体几何中的平行与垂直的