高等代数矩阵.课件

1、一、基本概念和重要结果 1.Binet-Cauchy公式 设矩阵Amn Bnm =Cmm ，则(1) 当mn时，|C|=0(2) 当m=n时，|C|=|A|B|(3) 当mm-r X必为非高矩阵。7.相似矩阵 (1)相似矩阵有相同的特征多项式，特征根及相同的迹，相似矩阵的行列式相等，秩相等。 (2) 矩阵相似于对角形的条件： b. A有n个不同的特征根，则A相似于对角形。 a. A有n个线性无关的特征向量 A相似于对角形 c.设n阶矩阵A有s个不同的特征根 ,A的属于 的线性无关特征向量的个数为ni， A相似于对角形。 f.A的最后一个不变因子是不同的一次因式的乘积，则A相似于对角形。 d.A

2、的初等因子都是一次因式 A相似于对角形. e.A的最小多项式无重根 A相似于对角形。 g. A是实对称矩阵，则A正交相似于对角形。 h. Am=I，则A相似于对角形。 i. A2=A，则A相似于对角形。 j. A正定，C是实对称矩阵，则AC相似于对角形。 (3) A与B是同一线性变换在不同基下的矩阵，则A与B相似。 k. A有n个不同的特征根, A与B可换,则B相似于对角形. l. 若A相似于对角形, f是多项式,则f(A)相似于对角形. (4) 矩阵A与B相似 8. 矩阵的分解 b. 利用若当标准形:对任意矩阵A，存在可逆矩阵P,使P-1AP=J，其中J为若当标准形。 c. 对矩阵的阶数用数

3、学归纳法。 d. 利用矩阵运算。 (1) 分解矩阵的方法： a. 初等变换法：设r(A)=r,则存在可逆矩阵P,Q使 e. 利用不变子空间对矩阵分解。 (2)常见的矩阵分解： a. 若r(A)=r，则 ，其中r(Bi)=1. b. 对任意n阶方阵A，有A=B+C，其中BT=B,CT=-C. c. 若A为mn阶矩阵且r(A)=1，则A=Bm1C 1n,且r(B)=r(C)=1. d. 若r(A)=r,则Amn =BmrC rn,其中r(B)=r(C)=r. e.若r(A)=r,则 f. A=TBT-1,其中B是上三角形矩阵且对角线上的元素是A的特征根。 g. 若r(A)=r,则A=PR，R是上三

4、角形的矩阵，其主对角线上前r个元素为1，后n-r个元素为0而|P|0. h. A=BC,其中BT=B,CT=-C. i. 对任意n阶矩阵A有A=BU，其中B是半正定矩阵，U为酉矩阵。 j. A是实矩阵且|A|0，则A=BT，其中B是正定矩阵，T是正交矩阵。 k. A是实方阵且|A|0，则A=TQ ，其中T是正交矩阵，Q是上三角正线矩阵。 l. A是实对称矩阵,则A=BT,其中B为半正定矩阵,T为正交矩阵。 n. 对任意n阶方阵A，有A=B+C，其中B相似于对角形矩阵，C为幂零矩阵且BC=CB. m. A是正定矩阵，则A=Bk，其中B为正定矩阵。A是正定矩阵 A=CTC,其中|C|0. A=T，

5、其中是正线上三角形矩阵。 9. 矩阵的特征多项式及特征根 若存在非零向量X,使AX= X, 则 称为A的特征根, X称为A的属于特征根 的特征向量, 称为A的特征多项式，A的特征根是 的根, A的属于 的特征向量是方程组 的所有非零解. (1) n阶方阵A的特征多项式其中特别地， (2) 若Ai是ni阶方阵，则 (3) 设 是矩阵A的特征多项式，则f(A)=0. (4)设A,B是n阶方阵，则AB与BA有相同的特征多项式，从而有相同的特征根。 (5)设 是A的最小多项式， 是A的特征多项式，则 与 有相同的不可约因式，从而有相同的根， 是 的最后一个不变因子，若 满足h(A)=0，则 (6)若A

6、i是方阵，则A的最小多项式等于Ai的最小多项式的最小公倍式。 (7) 若 是A的特征根，则 是 的特征根（ 是任一多项式）。 (8)属于不同特征根的特征向量线性无关。 (9)X是A的属于 的特征向量,则X是 的属于 的特征向量。 (10)X是A的属于 的特征向量且|A|0，则X是A-1的属于 的特征向量。 (11) 属于A的同一特征根 的特征向量加上零向量构成的线性空间的维数小于等于 的重数。 注： 2.构造分块矩阵是证明有关矩阵秩的结论的一种常用的、有效的方法。 3. 如果已知条件中出现A*，一般地，都要用到AA*=A*A=|A|E这一结论。二、基本方法 1.若A可逆, 求A-1一般有两种方

7、法(当A具体给出时): (1)伴随矩阵的方法，A-1=A*/|A|. (2)初等变换方法，(A,E)（初等行变换）(E,A-1). 4. A,BPnn,AB=E,则A,B可逆且A-1=B是求A-1的一种常用方法。 5. 求n阶矩阵A的最小多项式的方法： (1) A的最小多项式是A的特征多项式 的因式，且与 有相同的一次因式(可能重数不同),这样可以确定A的最小多项式的范围。 (2) 将 化成标准形, 就是A的最小多项式. (3) 如果A是分块对角矩阵 Ai的最小多项式是gi(x),i=1,s，则A的最小多项式是g1(x),g2(x),gs(x). 6.求方阵A的Jordan标准形： (1) 先

8、求n阶矩阵A的全部初等因子： （其中 可能相同，指数r1,r2,rs也可能相同）则A的Jordan标准形由s个Jordan块构成：一个初等因子 对应一个Jordan块Ji , (2) 利用特征向量的方法求A的Jordan标准形。 APnn,如果 是A的单特征值，则对应一阶Jordan块Ji=( )，如果 是A的ri(ri1)重特征值，属于 有k个线性无关的特征向量，则有k个以 为对角元素的Jordan块，这些Jordan块的阶数之和等于 ri. 例如，5是3阶矩阵A的3重特征值,如果r(5E-A)=0，则A5E.如果r(5E-A)=1,则AJ1,如果r(5E-A)=2,则AJ2，其中： 例如，

9、5是4阶矩阵A的4重特征值，如果r(5E-A)=2,则A的Jordan标准形由两个Jordan块组成，如果(5E-A)2=0,则AJ1,如果 (5E-A) 3=0,则AJ2，其中： 7.求n阶矩阵A的初等因子的方法： (1)将 E-A用初等变换化成标准形，求出A的所有不变因子，然后将每个次数大于零的不变因子分解成互不相同的一次因子方幂的积，所有这些一次因子式的方幂（相同的必须按出现的次数计算）就是A的所有初等因子。 (2)先求出A的所有行列式因子 .利用 求出A的不变因子 .然后如(1)求出A的所有初等因子. (3)用初等变换将 化成对角形，用相应结论求出A的所有初等因子。 8.证明n阶复数矩

10、阵A与对角矩阵相似的方法： (1)A有n个线性无关的特征向量； (2)A的最小多项式没有重根； (3)A的初等因子都是一次的。 9. n阶矩阵A的不变因子，行列式因子，初等因子三者之间的关系：(1)(2) (3) 利用初等因子求不变因子； 在A的全部初等因子中,将同一个一次因子 ,(i=1, 2, , s)的方幂的那些初等因子按降幂排列，当这些初等因子的个数不足n时，就在后面补上适当个数的1，凑成n个。 (j=1,2,s),(rnjrn-1jr1j), 于是 (4)A的所有初等因子的乘积等于A的所有不变因子的乘积,等于 .三、例题 解答:答案是“1620”. 1.(天津大学,2004年)设3阶

11、方阵A的特征值为 ,方阵B与A相似,设B*是B的伴随矩阵,则行列式 .一.填空题 解答:答案是“3”. 2.(大连理工大学,2004年) 设 是三维列向量, 是 的转置矩阵,若则 = . 3.(大连理工大学,2005年)设 均为n维列向量: ,则A=I+ 可逆,A-1= . 解答:答案是“ ”. 4.(东南大学,2003年) 设 设 ,其中 表示 的转置,则An= . 解答:答案是“ ”.那么其中 注：若秩 , 则 可分解为两个矩阵的乘积，有 之规律，从而 .以3阶为例： 解答:答案是“0”,“1”. 解答:答案是“ ”. 5.(同济大学,2002年)设 其中 表示 的转置,则|A|= ,秩(

12、A)= . 6.(中南大学,2003年) 设3阶方阵A的行列式|A|=1/2, A-1为A的逆矩阵, A*为A的伴随矩阵,则 = . 解答:答案是“Pij”. 解答:答案是“ ”. 7.(中南大学,2003年)设A为n阶可逆矩阵,如果交换A的第i行与第j行得到B,则BA-1= . 8.(中南大学,2004年) 已知n阶方阵A满足A2+2A-3I=0,则(A+4I)-1= . 9.(中南大学,2004年) 假设A是n阶方阵,满足AAT=I, |A|2), 试求(A*)*(用A表示, 这里A*表示A的古典伴随方阵, 即A*的(i, j)位元素是A的(j, i)位元素的代数余子式). 考点点拨: 主

13、要是对初等矩阵的定义和性质, 矩阵之间的运算, 矩阵与行列式计算的关系,以及矩阵的伴随和逆的求出及性质的考查.解: 若A可逆, 则A*A=|A|In, 于是A*(A*)*=(|A|In)*=|A|n-1In,而A*=|A|A-1，代入可解得(A*)*=|A|n-2A () 若A不可逆,则存在可逆矩阵P,Q,st: 对于矩阵 , 注意到它的阶n2, 那么由它的伴随的秩12,则A2=0. 解: (1)注意到矩阵A的特征多项式为|xI-A|=x2-(a+d)x+ad-bc.那么由Hamilton-Cayley定理，显然矩阵A满足方程x2-(a+d)x+ad-bc=0. (2)设矩阵的最小多项式为 ，

14、由Ak=0,k2,可知： ，而由A为2阶矩阵，显然有 的次数不超过2，则 .于是有A2=0. 例4.1.7 (华中科技大学，2005年)证明：任一n阶方阵可以表示成一个数量矩阵(具有kI形式的矩阵)与一个迹为0的矩阵之和。 证明：对于任意n阶矩阵A，不妨设tr(A)=a,令k=(a/n)，那么有A=kI+(A-kI).只要证明A-kI是一个迹为0的矩阵即可.tr(A-kI)=tr(A)-tr(kI)=a-n(a/n)=0. 注：矩阵的迹的定义和性质： (1)设A=(aij)nn，那么A的主对角线上的元素之和a11+a22+ann称为矩阵A的迹，记为tr(A). (2)若A,B都是n阶矩阵，k为

15、某个常数，那么有tr(A+B)=tr(A)+tr(B),tr(kA)=ktr(A),tr(AB)=tr(BA). (3)对于n阶矩阵A,它的迹tr(A)是它的所有特征值之和。 (4)注意到tr(P-1AP)=tr(PP-1A)=tr(A)，显然，相似的矩阵有着相同的迹。 例4.1.8 (华中科技大学，2007年)设A为二阶方阵，若有方阵B, 使得AB-BA=A,证明：A2=0. 注意到|A|=-(a2+bc).显然要证A2=0,只需证|A|=0即可，用反证法。 证明：由条件AB-BA=A,两边同时取迹，有tr(A)=tr(AB-BA)=tr(AB)-tr(BA)=0.注意到A是二阶矩阵，于是可

16、令 那么有 若|A|0, 则由AB-BA=A有AB=BA+A=(B+I)A, 两边取行列式并约去|A|可得: |B|=|B+I|. 同样由AB-BA=A可得: BA=AB-A=A(B-I), 两边取行列式并约去|A|可得|B|=|B-I|.于是有|B|=|B-I|=|B+I|.那么若令 代入上面的等式可得b1+b4=1且b1+b4=-1.这显然矛盾. 于是有|A|=0,即A2=0. 例4.1.9 (西安交通大学，2005年)设A为可逆阵,u,v为n维列向量，证明：当满足条件1+vTA-1u0时，矩阵A+uvT必可逆，(其中，vT表示v的转置) 证明：对下面矩阵 作分块矩阵的第三类初等变换，注意

17、到第三类初等变换不改变矩阵的行列式值 即有: |A+uvT|=(1+vTA-1u)|A|.注意到A可逆,那么|A|0,又由题目条件1+vTA-1u0 ,可知|A+uvT|0 ，即A+uvT可逆。 那么有： 例4.1.10 (北京航空航天大学，2003年)设A,B都是n阶实矩阵，秩(A)(n/2),秩(B)(n/2), 证明：对任意实数a，行列式|A+aB|=0. 那么有|A+aB|=10 。这说明题目的条件出了问题，将条件改为r(A)(n/2), r(B)(n/2). 若记方程组(A+aB)x=0的解空间为W,注意到若xU,xV,那么有Ax=0且aBx=0,相加得(A+aB)x=0.即有xW,

18、于是有UV W . 那么dim(UV )dim(W),注意到: dim(U)+dim(V)-dim(UV )=dim(U+V)n 那么有dim(W)dim(UV ) dim(U)+dim(V)-n(n/2)+(n/2)-n=0.从而由dim(W)=n-r(A+aB)0可得r(A+aB)1,都有：Ak=Ak-1=A. 两边同时取行列式,并利用条件AC=CA,易得 证明:首先不妨设A可逆，对矩阵 作分块矩阵的初等行变换,有： 例4.1.12 (东北大学，2002年)设A,B,C,D均为n阶方阵,且AC=CA,证明: 两边同时对tn取极限,注意到两边都是关于变量tn的多项式,显然连续,有 对于一般情

19、形,设 =tI+A,那么显然使得|tI+A|=0成立的t值只有有限个,于是可取到一列tn,使得 tn=0,且tnI+A可逆,显然tnI+A与C可交换,那么有:考点2：分块矩阵的运算、乘积、行列式、伴随与逆 例4.2.1 (清华大学，2006年)设A为mn矩阵, B为nm矩阵,证明: 存在mn矩阵C, 使得A=ABC当且仅当r(A)=r(AB). 证明: (1)必要性: 若存在mn矩阵C使得A=ABC,那么有r(A)=r(ABC) r(AB) r(A),显然有: r(A)= r(AB). 考点点拨:主要对分块矩阵及矩阵乘积和原矩阵的秩之间的关系，矩阵相抵标准形的形式和灵活变换,以及矩阵的分块初等

20、变换和秩之间的联系的考查. (2)充分性： 若r(A)= r(AB),那么设矩阵A的列向量张成的线性空间为U,记 有 显然AB的每个列向量都是A的列向量的线性组合,若记AB的列向量张成的线性空间为V.那么有: 注意到矩阵的秩等于它的列秩,那么由r(A)= r(AB)可知:dim(U)=dim(V).于是有:U=V. 令C=(cij)mn,那么显然有A=ABC. . 则有: 设矩阵 这就意味着矩阵A的列向量与矩阵AB的列向量互相等价,也就有矩阵A的列向量可由矩阵AB的列向量线性表出. 证明: 注意矩阵左乘右乘可逆阵都不会改变其秩, 由I=B-1B=BB-1, 代入等式r(I-AB)+r(I+BA

21、)=n, 并令C=B-1易得r(A+C)+r(A-C)=n. (这里注意对任意矩阵S,有r(-S)=r(S).)即有(n-r(A+C)+(n-r(A-C)=n.那么dimker(A+C)+dimker(A-C)=n. 例4.2.2 (上海交通大学，2005年)对于n阶方阵A及n阶可逆矩阵B,假设r(I-AB)+r(I+BA)=n.求证r(A)=n. 由上可知A+C的核空间与A-C的核空间的直和就是全空间Rn,于是 ,有x=x1+x2,使得(A+C)x1=0,(A-C)x2=0.那么利用这两个等式有 0=Ax=A(x1+x2)=C(x2-x1) x2=x1. 若 ker(A+C)ker(A-C)

22、 ,则有可得 ,由C可逆知 . 由于是直和,而x1=x2ker(A+C)ker(A-C)，所以有x2=x1=0,于是有x=0.也即有r(A)=n. 证明: 显然有r(AB)r(B),下面证明r(B)r(AB). 作矩阵C=Q-1(In,0)P-1,即有:CA=In. 例4.2.3 (北京航空航天大学,2004年)设A和B分别为mn,ns矩阵.证明:若A的秩为n,则秩(AB)=秩(B). 由题知r(A)=n,于是存在两个可逆矩阵P,Q使得 于是有r(B)=r(InB)=r(CAB)r(AB),那么有r(B)=r(AB). 例4.2.4 (东南大学,2002年)设A为n阶矩阵.试证:A2=A的充要

23、条件为r(A)+r(I-A)=n. 证明:注意到作分块矩阵的初等变换不改变矩阵的秩,那么由 于是有: r(A)+r(I-A)=r(A-A2)+n. 于是r(A)+r(I-A)=n的充要条件是r(A-A2)=0,也即A2=A. 知 证明: (1)考查以下矩阵 对它作分块矩阵的初等变换有: 例4.2.5 (北京理工大学，2003年)设A,B,C分别为nm,mp,pq矩阵.(1)证明：秩(AB)+秩(BC)秩(B)+秩(ABC);(2)证明：若存在自然数N,使得方阵G满足:秩(GN)=秩(GN+1),则有:秩(GN)=秩(GN+1)=秩(GN+2)= 于是有: 其中那个不等号的得出如下：比较矩阵 和

24、 ，取出矩阵AB的行向量中的一个极大线性无关组(它的个数为r(AB),那么这组向量的伸长组对应于矩阵(AB,0)的行向量必然也是线性无关的.然后取出矩阵BC的行向量中的一个极大线性无关组(它的个数为r(BC),那么这组向量的伸长组对应于矩阵(B,BC)的行向量必然也是线性无关的.这两组伸长组合在一起显然也线性无关. 看矩阵 的行向量,显然它至少有r(AB)+r(BC)个线性无关的行向量. 可得: (2)考查矩阵G的Jordan标准形. 不妨设 其中矩阵J代表不为零的特征值所对应的Jordan块,于是有: 注意到J是个满秩的方阵,所以J任何次方的秩都等于它自己. 显然若要r(GN)=r(GN+1

25、),必然有 由于零矩阵乘以任何矩阵都为零矩阵,于是有: 例4.2.6 (上海大学，2005年)设A是n阶矩阵,C是nm矩阵,r(B)=r(C)=m,求证：A2=A的充要条件是A=CB且BC=I. 证明: (1)充分性： 若A=CB且BC=I,那么显然有: A2=(CB)(CB)=C(BC)B=CB=A (2)必要性： 若A2=A,那么我们需要从A=CB推出BC=I. 将A=CB代入A2=A可得CBCB=CB (I) 于是可取D=Q-1(Im,0)mnP-1. 注意到r(C)=m,那么一定可以找到n阶可逆矩阵P和m阶可逆矩阵Q使得 有:DC=Im.同理可取矩阵F使得BF=Im.将等式(I)两边同

26、时左乘D并右乘F即得BC=I. 考点3： 矩阵的标准形,矩阵相似的条件 例4.3.1 (清华大学，2003年)设方阵A在实数域R上是否相似于对角形（即有实方阵P使 P-1AP为对角形）?在复数域C上呢？给出证明. 考点点拨:对 矩阵的标准形的求出,以及如何判定两个矩阵之间是否相似的考查. 解：A的特征多项式为 ,显然A的最小多项式 为 .那么在实数域上A的初等因子组为 ，显然不是一次因子的乘积，那么在实数域上A不可能相似于对角矩阵. 而若在复数域上，显然A的初等因子组为 ,都为一次因子,那么矩阵A必有完全的特征向量系,显然相似于对角矩阵. 例4.3.2 (浙江大学，2006年)三阶矩阵A,B,

27、C,D具有相同的特征多项式,证明其中必有两个矩阵相似. 证明:三阶矩阵的特征多项式的形式有: 其中a,b,c为互不相等的常数. 若四个矩阵A,B,C,D的特征多项式都为 ,那么对应于 的不变因子组只能为以下三种： 那么A,B,C,D必有两个矩阵有相同的不变因子组,所以必有两个矩阵相似. 若四个矩阵A,B,C,D的特征多项式都为 ,那么对应于 的不变因子组只能为以下两种： 仍然A,B,C,D必有两个矩阵有相同的不变因子组,所以必有两个矩阵相似. 这时显然A,B,C,D都相似. 若四个矩阵A,B,C,D的特征多项式都为 ,那么对应于 的不变因子组只能为以下一种： 综上所述,不论何种情况,四个矩阵A,B,C,D中都必有两个矩阵相似. 考点4: 行列式因子、不变因子、初等因子与矩阵的Jordan标准形，矩阵的有理标准形考点点拨:对矩阵的行列式因子、不变因子、初等因子,利用初等因子求出矩阵的Jordan标准形，以及利用不变因子求出矩阵的有理标准形的考查,其中包括了利用Jordan