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1、二、高阶导数的运算法则第三节一、高阶导数的概念机动 目录 上页 下页 返回 结束 高阶导数 第二章 一、高阶导数的概念机动 目录 上页 下页 返回 结束 即记为或记为定义:若函数的导数在点处可导,即存在,则称此极限为函数在点处的二阶导数,或机动 目录 上页 下页 返回 结束 或类似地 , 二阶导数的导数称为三阶导数 ,阶导数的导数称为 n 阶导数 ,或依次类推 ,分别记作这里设求例1.机动 目录 上页 下页 返回 结束 设求例2.解:解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 例3 证:满足证明:例4. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 设求解:依次类推 ,可得特别有:机动 目录 上页 下页 返
2、回 结束 例5. 求的 n 阶导数。和解: 一般地 ,类似可证:机动 目录 上页 下页 返回 结束 一般地机动 目录 上页 下页 返回 结束 设求补:解:例6. 求的 n 阶导数。解:规定 0 ! = 1机动 目录 上页 下页 返回 结束 即例7. 求的 n 阶导数。机动 目录 上页 下页 返回 结束 证明:特别地,当时设求解:依次类推 ,例8.可得机动 目录 上页 下页 返回 结束 例9. 设求解:特别有:机动 目录 上页 下页 返回 结束 例10. 设求使存在的最高分析: 但是不存在 .2又阶数机动 目录 上页 下页 返回 结束 推导 目录 上页 下页 返回 结束 二、函数乘积的 阶导数的
3、莱布尼兹公式都有 n 阶导数 , 则及设函数用数学归纳法可证莱布尼兹公式成立 .即比较二项式定理展开式:( 形式完全一样 )例11. 求解: 设则代入莱布尼兹公式 , 得机动 目录 上页 下页 返回 结束 求解: 设则代入莱布尼兹公式 , 得练:例12. 设求解:即用莱布尼兹公式求 n 阶导数令得由得即由得机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习1. 如何求下列函数的 n 阶导数?解: 解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 (3)提示: 令原式原式机动 目录 上页 下页 返回 结束 解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. (填空题) (1) 设则提示:各项均含因子 ( x 2 )(2) 已知任意阶可导, 且时,提示:则当机动 目录 上页 下页 返回 结束 3. 试从 导出解:同样可求(见 P103 题4 )第四节 目录 上页 下页 返回 结束 作业P101 1 (11)(12) 3 10 (2)第
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