热力学与统计物理-第09章系综理论习题解ok1

1、第九章系综理论习题证明在正则分布中熵可表为SkIn其中丄e是系统sssZs处在s态的概率。证：熵的统计表达式是Sk(InZ(1)多粒子配分函数1eEs1ZeEs,ZsZseEs(2)由(2)知EeEkkeEk(E)eEkk十Z(3)eEsZs(4)1EInZInE.nZIn.ssss(5)(4)X(5)代至(3)得InZs1.nZ1InInZss1In；sss于是SkInZ型kInss证明2：准备工作SkInkss1eEZs1eEsEZssk(eEZs1e化IneZs1EsZ(EInZ)s1e化InZsInZ)keEZke化skkInsInZkeZklnZkInZk(lnZInZ-)习题试2用

2、正则分布求单原子分子理想气体的物态方程，内能和熵证：ZesE丄2mil2p2pixiyiz符号dpdpdpdpdqixiyizdxidyiN!h3NVN:-eiBlN!h3Np2P?dpiyiz-VNeN!h3N2m(PXpy叱)dpdpxNdpyzVN2mn/2NT时=U叱丄In卸N/2上In3N/23NkTTOC o 1-5 h zN!h3N2In1Vn!mn/211pInInVnNkTVVN!h3NVInZVn2mN/2Sk(InZ)k(InZU)kIn.N!h3NvN2m/23kInkInN!Nkh3N2V2m“3NkInkNInNkN-Nkh32NkInM：25NkNh22h2习题试

3、根据正则分布导出实际气体分子的速度分布。解:实际气体的能量表达式为E丄2p2p22mixiyizi1(r)iji1)由正则分布，系统处在s态的概率是丄es，sZ也就是说，第1,2,N个粒子的动量分别处在dp1dpdp,dpdpdp,dpdpdp,位置分别处在1y1z2x2y2zNxNyNzdqdqdq,dqdqdq1x1y1z2x2y2z,dqdqdq范围内的概率是NxNyNz(p,q)dpdq1eN!h3N1?p2p2(r.)2mUdpdqeN!h3Np2p2(r.)2mxyzj.dpdq对于任意1个分子比如第m个分子，位置处在体积V内，动量处在dpdpdpmxmymz范围内的概率是将上式对

4、除pdpdpdp以外的变量dpdq进行积分mmxmymz(p)dpdplh(p,q)dpdpdpdpdpdqdqdqmmm12m,1mlN12N丄?.p2pl(r)dp!i2m少i.lJdpdpdpdpdpdqdqdqm12mm,1N12N2m*i:x*亠izi/丄PlPl(r.)ydpdq丄p2p2dpJmixiyizdpdpdpdpm12m.1i:xiyiz丄2加ildpi.mNp2p2dp(r”)dqdqdq12NdpdpdpeUU2mpmxypmzmxmymz丄22mmilp2p2mxmymzdpdpdp血e2m2m即mxmymzmxmymzm3dvdvdvmxmmzv2v2mxmym

5、zdvdvdvmxmymzm.亠購(p)dpe2kTmm.2kT由此可见，实际气体分子也遵从麦氏速度分布。习题9.1用2巨正则分布导出单原子分子理想气体的物态方程，内能，熵和化学势。解：巨配分函数的定义是enes(1)NS上式可改写为eneesenZ(T,V)N(2)NSN其中ZN(T,V)是个粒子的正则配分函数( )Z(T,V)eMEseNlSl222p2p2p22mi&dpE1N!h3NVNP2p2p22mixiyizihdpdqN!h3NVn2mn/2.N!h3N代入（2）求得巨配分函数为VNImeNN!h3N1,2mn/2enVnN!h2NexpV-h22m./2巨配分函数对数是系统的

6、平均粒子数为由此定出一(p2p2.p2)xyzdpdpdpze2mN!h3N2yzx3）N/21enN!N1VN!N0.,2mPIneV.h2(5),2m门,2m匚：叩西=e叩阿In(6)In紅曾Nh2(7)由进一步得粒子的化学势为V,2m“/kTkTIn.Nh2系统的内能( )33-一NkT22mpIneVVVh22mJ/21h2VkTpVNkT系统的熵是Sk(lnInIn)=k(InNU)将(6)(7)的结果代入(12)得S=k(NNU)kJnNInt23NkTNh22NkInV普：T3Nk!n工5h22h2h23V2mkJ5-NkInTNkInNkn2Nh22习题利用巨正则分布导出玻耳兹曼分布。解：巨正则分布为1enesNs巨配分函数是eNEs(10)(11)(12)(13)(1)(2)2m./22mIPUIn.eV=eVIIh2Ih22上式的计算用到式(6)的结果。气体的物态方程是( #)NS假设系统只含一种近独立粒子，粒子的能级为l(l1,2,)，当粒子在各能级的分布为J,.寸，系统的粒子数和能量为lNaEa(3),(2)式对N,S的求和可以变换为对一切可能的分布求和，并乘上一个分布所对应的系统的微观状态数。在粒子不可分辨且满足叫1,口1的情况下，一个分布所对应的系统的微观状态数( )iaiM,BiN!a!i( #)i巨配分函数是可以表示为ail