常微分方程第三章测试卷及答案

1、常微分方程第三章测试卷班级姓名学号得分一、 填空题(30 分)1，则称函数为在R 上关于y 满足利普希兹条件。2， 存在唯一性定理中近似值与真正解在区间x x0 h 内的误差估计式为3，由解关于初值的对称性，若方程满足初始条件y(x0) y0的解是唯一的，记为y(x,x0,y0),则成立关系式在解的存在范围内。4， 若函数f(x,y)以及f 都在区域G 内连续，则方程的解y(x,x0,y0)y作为x, x0, y0的函数在它的存在范围内的。5，若函数f(x,y)在区域 G 内连续，且关于y满足局部利普希兹条件，则 方 程 的 解 y(x,x0,y0) 作 为x,x0,y0 的 函 数 在 它

2、的 存 在 范 围 内的。6, 微分方程的奇解是指二、解答题(50 分)1，求曲线 xcosa ysin a p 0的奇解。这里 a是参数，p为固定常数。2，求 y1 y2 的奇解y 13，求初值问题dy x2 y2及 y( 1) 0； R: x 1 1, y 1的解的存在dx区间，并求第二次近似解，给出在解的存在区间的误差估计。4，讨论ddyxy22 1 分别过点（0，0） ， （ ln 2, 3）的解的存在区间。5，利用克莱洛方程求y xp 1 的奇解，p dypdx三 、证明题(20 分)假设函数f(x,y)于 (x0,y0) 的邻域内是y的不增函数，试证方程dy f(x,y)满足条件y

3、(x0) y0的解于x x 0一侧最多只有一个。y2 ， 对 于 所 有Min(a,Mb)1 ， 若 存 在 常 数 L 0。 使 得 不 等 式f (x, y1 ) f (x, y2) L(x, y1), (x, y2) R都成立N2，n(x)(x) ML hn 1。n(n 1)!3， y0(x0 , x, y)4，连续可微的。5,连续的6, 一条不属于积分曲线族的特殊积分曲线，且满足积分曲线上的每一点都有积分曲线族中的一条曲线和它在此点相切；1 解：由 xcosa ysin a p 0 xsin a ycosa 0得到 x2y2p2故所求奇解为x2y2 p22 解：易解得其通解为：y si

4、n( x c)fy又y 1 y2令 f 则有 y 1y3 解： a 1, b 1M Max f (x, y) 4,f 2y 2 L y故 n (x)(x)MLN hn1=1(n 1)!244 解：显然2 (x)47x xx11;9 186342又f y在唯一性定理和延拓定理的条件。易知方程的解为1、2、11 在整个平面上是连续y21y ，所以 f （ x, y） y 1 满足局部利普希兹条件，从而满足解的存2过（ 0，x(1 y1故此方程解的存在区间为0）的解为x ce及xy1），xe与y xece1 不相交，过（ ln 2, 3）的解为：yx ex ex e e x 有意义，又由解的唯一性知： ex ex ex 0, y故方程 的解向左只能延拓到x0。1 ex又 y e x 与 y 1 不相交1e故方程的解的存在区间为(0,) 。5，解：由xp 1 与 xp0 可得：4xy(x0)y0 的解于x x0有两个y1 (x) ， y2(x)则 y1 (x0)= y0 y2 (x0 )= y0令 (x)= y1(x)- y2(x)( x) 0y1(x) 与 y2(x)为连续函数。不妨假设在(x0, x1 上 y1 (x) y2(x)于是 (x) 0,x (x0,x1 d (x)