操作与计数技巧第讲竞赛班教师版

1、操作与计数技巧如今各类操作类问题与计数类问题由于其灵活性和本身的趣味性，非常受出题和供题者青睐,数学竞赛的出题越来越趋向于新奇和趣味化，因此操作类问题和计数问题在竞赛中的比重将会加大。鉴于操作类问题和计数问题没有一般性的算法或解题通式，本讲将以近年来各类竞赛以及小升初考试中的出现过的真题为例，引导学生发现关键并解决问题。常见操作类问题计数技巧与操作(1)常见操作类问题J【例1】（2006年小学生数学报读报竞赛）把一张正方形的餐巾纸先上下对折，再左右对折（如右图），然后用剪刀将所得的小正方形沿直线剪一刀。问能把餐巾纸：剪成2块吗？剪成3块吗？剪成4块吗？剪成5块吗？如果你认为能剪成，请在下面图中

2、各画出一种你的剪法；如果你认为不能，那么只需回答“不行”即可。【分析】剪开成两块，如下图:剪开成3块，如下图:剪开成5块，如下图:【巩固】（2008年华杯赛）将等边三角形纸片按图所示的步骤折迭3次（图中的虚线是三边中点的连线）,将剩下的纸片展开、铺平，得到的图形是（将剩下的纸片展开、铺平，得到的图形是（(A)(E)(C)【分析】折迭3次，纸片的厚度为4，所以剪去的面积即应等于4倍小三角形的面积，所以答案是A。【例2】A、B、C、D四个盒子中依次放有6，4，5，3个球。第1个小朋友找到放球最少的盒子，从其他盒子中各取一个球放入这个盒子；然后第2个小朋友找到放球最少的盒子，从其他盒子中合取一个球放

3、入这个盒子；如此进行下去，。求当34位小朋友放完后，B盒子中放有球多少个？【分析】盒子ABCD初始状态6453第1人放过后5346第2人放过后4635第3人放过后3564第4人放过后6453第5人放过后5346由此可知：每经过4人，四个盒子中球的情青况重复出现一次，因为3八4=81川1|2，所以第34次后的情况与第2次后的情况相同，即B盒子中有球6个。【例3】（2006年十一届“华罗庚金杯”数学邀请赛）有5个黑色和白色棋子围成一圈，规定：将同色且相邻的两个棋子之间放入一个白色棋子，在异色且相邻的两个棋子之间放入一个黑色棋子，然后将原来的5个棋子拿掉。如果第一幅图的初始状态开始依照上述规定操作下

4、去，对于圆圈上呈现5个棋子的情况，圆圈上黑子最多能有个。【分析】首先圆圈上是不可能有5个黑子的，因为如果最后一步操作能使圆圈上的棋子都变成黑子，那么该操作之前，圆圈上的棋子颜色情况是黑白相邻，但圆圈上一共有奇数个棋子，无法达成黑白相邻的情况，所以黑子最多有4个。实际操作得到：【拓展】经过2008次操作后，圆圈上的棋子颜色情况是怎样的?【分析】如图进行操作，当第7此操作时，圆圈上的棋子颜色情况与第一次操作后的相同。所以第2008【例4】50位同学围成一圈，从某同学开始顺时针报数第一位同学报1，跳过一人第三位同学报2,跳过两人第六位同学报3,这样下去，报到2008为止报2008的同学第一次报的是【

5、分析】将这些学生按报数方向依次编号；1、2、3、49、50、512008，每一个人的编号不唯一，例如编号为2001、1951101、51的和编号为1的为同一个人，这样第n次报数的人的编号为nn1,报2008的同学的编号为2017036,他的最小编号为36,我们知道236=12345678，所以报2008的同学第一次报8。【例5】（2008年“数学解题能力展示”读者评选活动）在纸上写着一列自然数I,2,，98,99。一次操作是指将这列数中最前面的三个数划去，然后把这三个数的和写在数列的最后面。例如第一次操作后得到4,5,，98,99,6;而第二次操作后得到乙8,，98,99,6,15。这样不断进

6、行下去，最后将只剩下一个数，最初的99个数连同后面写下的数。纸上出现的所有数的总和是。【分析】每一次操作都少了3个数，所以只剩下一个数的话，要经过49步操作，即后面要写49个数，注意到每一次操作后数和不变。前33步操作将99个数3个3个加和放在后边，和等于123994950,接着11步操作将写的33个数3个3个加和在后边,和等于123川99=4950,这11个数分别是129=45,101118=126,192027=207,9192川99=855。相邻两个相差99=81,之后还有5个数，第一个数是45126-207=378。最后一个数=12994950,而之间三个数的和等于最后一个数即4950

7、,所以这些数的总和等于49504950495037849504950二25128。【前铺】将前100个正整数顺次写下得到多位数123456H99100,从首位起将这些数位从1开始编号,然后划去编号是奇数的数位上的数字，这样便形成一个位数较少的多位数，重复上述这种划去数字操作，直至得到一个三位数，则这个三位是。【分析】第一次操作后，剩下的全都是偶数位的数字第二次操作后，剩下的全是4的倍数位上的数字；直到第六次操作后，剩下的全是64的倍数位上的数字，原多位数一共有92903二192位，所以此时剩下的是第64位、128位和192位上的数字。64-9=55,552=27川|1，所以第64位上的是“37

8、”的3：2丄岛,119亠2=59川|1，所以第128位上的是“69”的6“”所以剩下的三位数是360。【例6】有一叠300张卡片，从上到下依次编号为1300,从最上面的一张开始按如下的顺序进行操作：把最上面的第一张卡片拿掉，把下一张卡片放在这一叠卡片的最下面；再把最上面的依次重复这样做，直到手中剩下一张卡片。那么剩下的这张卡片是原来300张卡片的第几张？【分析】88张。当有256=28（张）卡片时，第一轮过后剩下的是2的倍数号卡片，第二轮过后剩下的是22的倍数号卡片第8轮过后，剩下的是28的倍数号卡片，即就剩下1张卡片，是第256号卡片。现在有300张卡片，如果拿掉300256=44（张）卡片

9、，剩下256张卡片，那么就变为上述的情况了。拿掉的第44张卡片是编号为442-1=87（号）的卡片，此时剩下256张卡片，下一个要拿掉的是第89号卡片，第88号是最后一张。所以，剩下的这张卡片是原来的第88张。【点评】关键是从模型2n中找到规律，这种规律的前提是2n个数，这就要考量怎么转换条件的问题。【拓展】（奥数网小学员论文）猫捉耗子是一个有名的游戏，一只猫让N个老鼠围成一圈报数，每次吃掉报单数的老鼠，有一只老鼠总不被吃掉，问这个老鼠站在哪个位置？数学中称这类问题为猫捉耗子问题。对这类问题通常的做法是从特殊情况出发，逐步发现规律，然后给出求解公式。老师在课堂上介绍了公式以及推导过程，但我认为

10、推导过程较为复杂，不好理解。根据反复试验和观察，本文给出了一种容易理解的求解这类问题的方法。方法和例子这里列举这类问题的两种情形。对于每种情形都首先考虑特殊情况，然后从中发现规律。这两种情形都是基于如下前提：从1到N编号的N个老鼠顺时针围成一圈，从1开始报数。并规定游戏一开始的第一个生存者是1号老鼠。设老鼠的总个数为N，最后幸存的老鼠编号为X。情形1:1号老鼠生存下来，2号老鼠被猫吃掉；3号老鼠生存下来，4号老鼠被猫吃掉就这样，这只猫每隔一只老鼠，就吃掉另一只老鼠，那么最后唯一幸存的那只老鼠是几号呢?2号，1号为最后的幸存者；当有三先考虑简单的情况。当有两只老鼠围成一圈时，猫吃掉了只老鼠围成一

11、圈时，猫先吃掉了2号，然后是1号，最后的幸存者是3号，依次类推，可发现如下规律:对于这种情只老鼠中吃掉一只N234567891011121314151617181920况，每次猫都是从两X1313571357911131513579老鼠，可认为2只为一个周期，用m=2表示；用n表示每个周期内吃掉的老鼠数目，这里是n=1。情形2:1号老鼠生存下来，2号、3号老鼠被猫吃掉；4号老鼠生存下来，5号、6号老鼠被猫吃掉就这样，这只猫每隔一只老鼠，就吃掉另两只老鼠，依次下去，最后唯一幸存的那只老鼠是几号呢？先考虑简单的情况。当有三只老鼠围成一圈时，猫吃掉了2号和3号，1号为最后的幸存者;当五只老鼠围成一圈

12、时，猫先吃掉了2号和3号，然后是5号和1号，最后的幸存者是4号.，依次类推，可发现如下规律:N3579111315171921232527293133.8183X1471471013161922251471014对于这种情况，每次猫都是从三只老鼠中吃掉两只，可认为3只为一个周期，即m=3;每3只中吃掉两只，因此，n=2。结论通过对上述两种情形的运算结果的观察，发现N的所有可能的取值按照一定的顺序排列后，构成了一个等差数列A。该数列的首项a1=m，公差d=n（m和n都是正整数）。而与N对应的X的取值则构成了若干个等差数列B1,B2,Bk。这些等差数列的公差都为m，首项都为1。还发现，构成的这些等

13、差数列有这样一个规律：每逢N的值为mk时（m和k都是正整数），对应X的取值就是1。也就是说，当N的取值范围从mk到m1-n之间时，对应的X的取值就构成了一个d=m,ai=1的等差数列，项数就是从N=mk到N=mk*n之间数的个数（包括mk和mk1_n这两个数）。那么现在来看看一般情形：如果猫要从m个老鼠中吃掉n个老鼠，那么最后幸存的老鼠是几号呢？由上面的结论，可以得出这样的求解步骤：1、首先找到小于N的一个最大的数mk（k是正整数，并假设N=mk）；2、这样就构成一个首项amk，末项a.二N，公差d=n的等差数列A，利用公式求出项数kb；（即，b=1N-m-：-n）3、因为X的每个取值也构成了

14、一个与A对应的等差数列Bk，其中，公差为m，首项为1，项数为b。利用等差数列求末项公式，求出末项an；（即，an=1亠jb-1m）4、an就是与N对应的X的值，也就是最后唯一幸存老鼠的编号。【例7】（2008年“数学解题能力展示”读者评选活动）国际象棋中“马”的走法如图【例7】（2008年“数学解题能力展示”读者评选活动）国际象棋中“马”的走法如图1所示，位于O位置的“马”只能走到标有X的格中，类似于中国象棋中的“马走日。如果“马”在88的国际象棋棋盘中位于第一行第二列（图2中标有的位置），要走到第八行第五列（图2中标有图1图F图1图FA【分析】通过标数法可以得到最短的路线有12种。【例8】方

15、格纸上有一只小虫，从直线AB上的一点O出发，沿方格纸上的横线或竖线爬行。方格纸上每小段的长为1厘米.小虫爬过若干小段后仍然在直线AB上，但不一定回到O点.如果小虫一共爬过2厘米,那么小虫的爬行路线有种；如果小虫一共爬过3厘米，那么小虫爬行的路线有种.【分析】为了方便，下面叙述省去“上、下、左、右”4个字前面的“向”.小虫爬过2厘米，可有以下6种路线，分别是：左，右；右，左；上，下；下，上；左，左；右，右.（以上前4种路线均回到0点）小虫爬过3厘米，可有20种路线，分别是：上，左，下；上，右，下；下，左，上；下，右，上；上，下，左；上，下，右；下，上，左；下，上，右。（以上8种都是先“上”或先“

16、下”。）如果第一步为左”或右”，那么转化为第题，各有6种路线，一共是862=20（种）。【点评】注意前面的结论，可以在后面应用。一般而言，前后相关的两个问题，前面是一种“引桥”或者说是一架“梯子”。在较难的问题中，有时少了这么一个过程，题目就显得非常之难。本题主要是分类枚举思想的运用。【例9】（2008年走近美妙数学花园）如右图所示，每个小正三角形边长为1，小虫每步走过长度为1，从A出发，恰走4步回到A的路有条。（途中可以回A）【分析】因为小虫走完第一步到的点一定是以A为中心的六边形的六个顶点，根据一定的规则进行计数，同样的最后一步走之前，即第三步走完时小虫所在的点也是以A为中心的六边形的六个

17、顶点。第一步与第三步是同一个点的情况有：66=36（种）第一步与第三步相隔一段的情况有：46=24（种）第一步与第三步相隔两段的情况有：46=24（种）第一步与第三步相隔三段的情况有：6种一共有：3624246=90（条）【拓展】如果要求途中不再回A右图所示，每个小正三角形边长为1，小虫每步走过1，从A出发，恰走4步回到A的路有条。【分析】第一步与第三步是同一个点的情况有：65=30（种）；第一步与第三步不是同一个点的情况有：46=24（种）；所以共有3024=54（种）。【例10】（2008年“走近美妙数学花园”）齐王与大将田忌赛马每人有四匹马，分为四等田忌知道齐王这次比赛马的出场顺序依次为

18、一等，二等，三等，四等，而且还知道这八匹马跑的最快的是齐王的一等马，接着依次为自己的一等，齐王的二等，自己的二等，齐王的三等，自己的三等，齐王的四等，自己的四等.田忌有种方法安排自己的马的出场顺序，保证自己至少能赢两场比赛.【分析】枚举法，用四位数来表示田忌的出场顺序，可以枚举出所有方法有：1423、2143、2413、3124、3142、3412、3421、4123、4132、4231、4312、4321。所以田忌一共有12种方法安排自己的马的出场顺序。【例11】10个三角形最多将平面分成几个部分？【分析】设n个三角形最多将平面分成an个部分。n=1时，a2；n=2时，第二个三角形的每一条边

19、与第一个三角形最多有2个交点，三条边与第一个三角形最多有23=6（个）交点。这6个交点将第二个三角形的周边分成了6段，这6段中的每一段都将原来的每一个部分分成2个部分，从而平面也增加了6个部分，即a2223。n=3时，第三个三角形与前面两个三角形最多有43=12（个）交点，从而平面也增加了12个部分，即：a3=22343。一般地，第n个三角形与前面n1个三角形最多有2n一13个交点，从而平面也增加2n13个部分，故an=22343（|2n13=2川24川2n1：3=3n23n2特别地，当n=10时，aw=3102310*2=272，即10个三角形最多把平面分成272个部分。【前铺】一条直线分一

20、个平面为两个部分，二条直线最多分这个平面为4部分，设五条直线最多分这个平面为m部分，则m等于多少？【分析】如果已有k条直线，再增加一条直线，这条直线与前k直线的交点至多k个，因而至多被分成k1个部分。于是3条直线至多将平面分为43=7个部分，四条直线至多将平面分为74=11个部分，5条直线至多将平面分为11*5=16个部分，一般的，k条kfk+1直线至多将平面分为112k1个部分。2如下图，表示五条直线可以分平面为16个部分。【巩固】长方形内有1996个点，连同长方形的4个顶点在内，共有2000个点。在这2000个点中，任意3个点都不在同一条直线上，以这2000个点为顶点，可作出个互不重叠的三

21、角形。【分析】长方形中加上一个点以后，就会有4个三角形，以后每增加1个点就会增加2个三角形，增加1996-1=1995个点，共有三角形41996-12=3994个。【例12】一个圆周上有12个点：A1,A,A11,A12。以它们为顶点连三角形，使每个点恰是一个三角形的顶点，且各个三角形的扁豆不相交。问：有多少中连法？【分析】如果圆上只有3个点；那么只有1种连法。如果圆上有6个点，我们以A为基点，考虑A点可能所在的三角形。再计算其他点可以连成多少个满足条件的三角形。由于要求所得三角形的边不能相交，除A1点所在三角形的三顶点外，剩下的3个点一定只能在A所在三角形的一条边所对应的圆弧上，显然的共有3

22、种连法。如果圆上有9个点，考虑A可能所在的三角形，此时，其余的6个点可能分布在：A1所在三角形的一个边所对的弧上；也可能3个点在一个边所对应的弧上，另3个点在另一边所对的弧上。通过分类讨论可以得出符合条件的连法有12种。最后考虑圆周上有12个点，同样考虑A所在的三角形，剩下的9个点的分部：每3个点在一个A1所在三角形的边对应的弧上；有6个点是在一段弧上，另3点在另一段弧上；9个点都在同一段弧上。应用的讨论，分别计算除种情况的连法，得到表，表中用“+”号分开，表示点分布在不A所在三角形余下点数种数AA2Ab912AAA3+63AA2A96+33AA2A12912AA5A63+63AA5A93+3

23、+31AA5A23+63AA8A93+63AAjA126+33AA11AI2912同的弧上。故共有55种不同的连法。【例13】（2006年北京市“数学解题能力展示”大赛）有6个木箱，编号为1、2、3、6，每个箱子有一把钥匙，6把钥匙各不相同，每个箱子放进一把钥匙锁好：先挖开1,2号箱子,可以取出钥匙去开箱子上的锁，如果最终能把6把锁都打开，则说这是一种放钥匙的“好”的种。【分析】（A）120（B）180（C）2161，2号箱中恰好放的就是1,2号箱的钥匙，显然不是“好”种情况：1，2号箱的钥匙恰有1把在1，2号箱中，另一箱装的是1，2号箱的钥匙都不在1,2号箱中。（D）240的方法，所以“好”

24、的方法有两3-6箱的钥匙。方法，那么“好”的方法共对于，从1，2号箱的钥匙中选1把，从36号箱的钥匙中选1把，共有24=8（种）选法，每一种选法放入1,2号箱各有2种放法，共有82=16（种）放法。不妨设1,3号箱的钥匙放入了1,2号箱，此时3号箱不能装2号箱的钥匙，有3种选法依次类推，不同的放法有321=6（种）所以，第种情况有“好”的方法166=96（种）对于，从36号箱的钥匙中选2把放入1,2号箱，有43=12（种）放法。不妨设3,4号箱的钥匙放入了1,2号箱，此时如果3,4号箱放的是5,6号箱的钥匙，那么1,2号箱的钥匙在5，6号箱中，有22=4种放法；如果3,4号箱放的是5,1号箱的

25、钥匙，则5号箱放6号箱钥匙，6号箱放2号箱钥匙，有21=2种放法；同理，3，4号箱放5,2或6,1或6，2号箱的钥匙，也各有2种放法。所以，第种情况有“好”的方法124222，2i=144（种）“好”的方法共有9614240（种）。【例14】在一个西瓜上切6刀，最多能将瓜皮切成多少片？【分析】将西瓜看做一个球体，球体上任意一个切割面都是圆形，所以球面上的切割线是封闭的圆周，考虑每一次切割能增加多少瓜皮片。当切1刀时，瓜皮被切成两份，当切第2刀时，由于切割线相交,所以瓜皮被切成4分，切第n次时，新增加的切割线与原来的切割线最多有2n_1个交点。这些交点将第n条切割线分成2n_1段，也就是说新增加

26、的切割线使瓜皮数量增加了2n_1，所以在西瓜上切6刀，最多能将瓜皮切成片。【例15】在一大块面包上切6刀最多能将面包切成多少块。（注：面包是一个立体几何图形，切面可以是任何方向）【分析】题目相当于6个平面能将空间划分为多少个部分。通过找规律来寻找递推关系，显然的1个平面能将空间划分成2块，2个平面能将空间划分成4块，3个平面能将空间划分成8个平面，当增加到第四个平面时，第四个平面这能将原来空间中的8个部分中的其中几个划分。如图：注意到第四个平面与其他三个平面相交形成3条直线，这三条直线将第四个平面分割成7个部分，而每一部分将原来三个平面划分的8个空间中的7个划分成两份，所以4个平面能将空间划分

27、成87=15个部分。同样的第五个平面与前四个平面分别相交成4条直线，这四条直线能将第5个平面分割成11234=11个部分，每一部分都划分原空间中的某一区域，所以第五个平面能使空间中的区域增加到1511=26个部分。当增加到6个平面时，第六个平面共被划分成112345=：16个部分，所以第6个平面能将空间中的区块数增加到26*16=42个部分。所以6刀能将面包切成42块。1.一个长方形把平面分成两部分，那么三个长方形最多把平面分成部分。【分析】一个长方形把平面分成两部分。第二个长方形的每一条边至多把第一个长方形的内部分成2，这样第一个长方形的内部至多被第二个长方形分成五部分。同理，第二个长方形的

28、内部至多被第一个长方形分成五部分。同理，第二个长方形的内部至多被第一个长方形分成五部分。加上外部区域，两个长方形至多把平面分成10部分。第三个长方形的每一条边至多与前两个长方形中的每一个的两条边相交，故每一条边被隔成五条小线段，其中间的三条小线段都把前两个长方形内部的某一部分一分为二，所以至多增加34=12个部分。而第三个长方形的四个顶点都在前两个长方形的外面，至多能增加4个部分，所以三个长方形至多把平面分成101226个部分。2.先写出一个两位数62，接着在62右端写这两个数字的和8，得到的和10,得到62810，用上述方法得到一个有2006位的整数：628101123|628，再写末两位数

29、字则这个整数的数字之和是。【分析】这个2006位整数的前若干位如下：62810丨1123581347丨11从第6位起，每10位数字循环出现一次，这10位数字之和为1123581347=35。2006-5“10=200（川（|1,这个整数的数字之和是62810352001=7018。3.在正五边形ABCDE上，一只青蛙从A点开始跳动，它每次可以随意跳到相邻两个顶点中的一个上，一旦跳到D点上就停止跳动。青蛙在6次之内（含6次）跳到D点有种不同跳法。【分析】顺时针到达D需要偶数跳，逆时针到达D需要奇数跳。按跳动次数枚举如下4.A：A；A；A；A-；AA-A-AA-BCDBrA;E-；A：E-E-；E-；A；BrA；B-C-B_C-B-BA-AErA-C-；B-；B-：C-；B-C-；BrBEBrA-A-AErEA-A-；一共12种。黑板上写着1,平均数，最后黑板上只剩下一个自然数，这个数最大是。【分析】由于平均数不会大于原来较大的数，所以该数不可能大于200，又因为一开始只有一个E-;A：E-;A；E-;2，3,4,200各一个，小明每次擦去两个奇偶性相同的数，再写上它们的所以平均数肯定比200小。如果擦去1和3，写上2再擦去2和2，仍写上2，