【张量分析ppt课件】张量分析课件第三章3 二阶张量特征值与特征方向

1、3.4 二阶张量特征值、特征方向二阶张量A实现 V到V的线性变换（这种变换通过二阶张量与矢量的点乘实现）。对给定的二阶张量A , V中是否存在这样的矢量u使得A点乘u所得到的矢量 A u方向与 u相同， 而大小发生变化。这类问题称为二阶张量的特征值问题。设A为给定的二阶张量。那么A的特征值问题归结为u V，使得： （3.4-1） （3.4-2） 若（3.4-1）的u存在，则称u是 A的右特征矢量； 是 A的右特征值；若（3.4-2）的u存在，则称u是 A的左特征矢量； 是 A的左特征值。编辑课件设V中标准正交坐标系为 i1, i2, i3 。则二阶张量 A和矢量 u可表示为： 可分别写成：或

2、（3.4-3） （3.4-4） （3.3-3）和（3.3-4）是关于 u1, u2, u3的齐次线性代数方程。方程有非零解的充要条件是方程组的系数行列式为零。或者说A有非零的右特征矢量和左特征矢量的充要条件是： 编辑课件 (a)、(b)两式是关于的三次相同的代数方程。也就是说 A的右特征值和左特征值相同。由 (a)式或 (b)式得： 令 ： 编辑课件（3.4-5） 将该式代入(c)式得： （3.4-6） 该式称为二阶张量 A 的特征方程。且由特征方程可确定特征值1, 2, 3。式中 I1(A) , I2(A) , I3(A)称 A的第一、第二、第三不变量。由(c)式及行列式的定义可知det(A

3、- I)表达式中的矢量a、b、c的取值只要满足 ，则 a、b、 c 的取值不改变行列式 det ( A- I ) 的值。因此 A的三个不变量I1(A) , I2(A) , I3(A)与a、b、c的选取无关。 由（3.4-6）可知，对给定的二阶张量A 。特征方程的系数是不变的，且特征值1, 2, 3由不变量 I1(A) , I2(A) , I3( I3 (A) 唯一确定。对特征值问题，由特征方程确定了特征特征值后，将特征值 1, 2, 3代入特征问题的（3.4-3）、（3.4-4）式中可确定是否存在特征矢量。编辑课件例15： 试求二阶张量 的特征值。并确定A是否存在右和左特征矢量。如果存在试求出

4、特征矢量。 解：由det (A- I )得： 解之得：显然2, 3代入（3.4-3）和（3.4-4）式中所确定的u1, u2, u3是复数。即 u = ui ii是复矢量。因此二阶张量A不存在与特征值2 = i , 3 = -i 对应的右和左实特征矢量。与1 = 1对应的右和左特征矢量如果存在，则应当满足（3.4-3）和（3.4-4）式。即：（1） 编辑课件和 （2） （1）式和（2）式关于u1, u2, u3的系数行列式的值分别均为0。因此 u1, u2, u3 有非零解。也就是说与特征值 1 = 1对应的左、右特征矢量都存在。 右特征矢量： ; （a是任意实数） 是方程组（1）的非零解。因

5、此 u = a i2是 A的1 = 1特征值对应的右特征矢量。 左特征矢量： ; （a是任意实数）编辑课件是方程组（2）的非零解。因此： 是 A的1 = 1特征值对应的右特征矢量。由该例可以看出二阶张量 A 的同一特征值对应的右和左特征矢量是不相同的。且与复特征值对应的实特征矢量不存在。但特征方程（3.4-6）至少有一个实特征值。因此可以肯定二阶张量至少有一个右特征矢量和一个左特征矢量。 编辑课件以下对(实)正交二阶张量、(实)对称二阶张量和(实)反对称二阶张量的特征值问题进行分析。 一、正交二阶张量特征值问题由特征方程（3.4-6）可知，实A的三个特征值至少有一个是实数，另外两个或是实数或是

6、一对共轭复数。对正交二阶张量这里只讨论存在的实特征值和其对应的特征矢量。 设Q是正交二阶张量；r、 是Q的右特征矢量和实特征值。 若det Q =1，则： 因此得出结论：正交二阶张量 Q，当det Q =1时存在右特征矢量 r。其对应的特征值 = 1。且： 编辑课件（3.4-7） 若det Q = -1 ，则： 因此得结论：正交二阶张量Q，当det Q = -1时存在右特征矢量 r 。其对应的特征值 = -1。且： （3.4-8） 综合（3.4-7）和（3.4-8）式有：（3.4-9） 二、反对称二阶张量特征值问题设 编辑课件该式表明反对称二阶张量或有一个零特征值和二个复特征值；或三个特征值为

7、零。即反对称二阶张量至少有一个零特征值( = 0)，那么： 即存在一个单位矢量 r 使得： 由于反对称二阶张量 A无非零实特征值。因此 A是退化二阶张量( det A = 0 ) 。退化二阶张量本质上已不是二阶张量。对反对称（退化）二阶张量可与一矢量对应。按矢量空间到矢量空间的变换，对任意aV ，反对称二阶张量A通乘将A变换到 A aV。同时对任意给定二阶反对称二阶张量 A ，存在矢量使得： （3.4-10） 当定义三阶张量： （3.4-11） 则： （3.4-12） 编辑课件由运算可得：由（3.4-12）定义的矢量称为二阶反对称张量A的轴矢量。且对每一个反对称二阶张量 A都对应一个轴矢量 。

8、 A和一一对应。 编辑课件例16： 试证明对任意 a 都有 ：证： 又 显然是A的右特征矢量。同理可得 是A的左特征矢量。例17： 试证明： 证：由第二章例6 e 恒等式得： 编辑课件例18： 已知A是反对称二阶张量， 是其轴矢量。试证明： 1 2 3 证： 1 2 由于a、b、c 的任意性，对V 中的标准正交基底, i2, i3 取 编辑课件 a = i1, b = i2, c = i3 , 则： 又 3 编辑课件三、对称二阶张量特征值问题对称二阶张量是物理量中重要的一类二阶量。如惯性张量 J、应力张量 、应变张量等。因此对称二阶张量的分析是二阶张量分析的一个重要内容。对称二阶张量的特征值问

9、题主要从两个方面讨论：一是对称二阶张量的特征值和特征矢量的性质；二是对称二阶张量的谱表示。 定理： 实对称二阶张量的特征值为实数。且不同实特征值对应的特征矢量相互正交。 证：设 。由特征方程（3.4-1） (a)A是实对称二阶张量，若二阶张量的复共轭取为： 而矢量的复共轭取为：编辑课件又 (b)用 左点乘(a)式；u左点乘 (b)式，然后两式相减得： 该式表明对称实二阶张量 A 的特征值（与非零特征矢量对应的）是实数。对实对称二阶张量A，设其三个特征值分别为 1、2、3,与其对应的特征矢量分别为u、v、w ，则： 当123时： 两式分别左点乘 u、v相减得： 编辑课件 由于12 ，因此上式要求

10、： 同理可有：最后得12 3 时：因此对二阶实对称张量A，若 A的三个特征值互不相等，则A有三个相互正交的特征矢量。且称三个特征矢量方向为A主向或主方向。 当12= 3时： 取 另取与i1正交的单位矢量 r2、 r3 。且r2 r3。则 i1、 r2、 r3 是矢量空间V中的一组标准正交基底。二阶对称张量在这一组基底上可表示为：编辑课件 同理有： 最后得二阶张量A在基底i1、 r2、 r3上的表示为： 二阶对称张量A的特征方程为： 该方程是关于 的分量 的齐次线性代数方程。 的不全为零解（非零解）的充分必要条件为： 或 显然若要 ，则： 编辑课件 设：是r2、 r3平面内的任意两个相互正交的矢

11、量(a b) ，则： 以上分析表明：若对称二阶张量 A的特征值满足 则与 。 对应的特征矢量是 A的主向。且所有与 征矢量正交的矢量也都是A的主向。 对应的特编辑课件当1=2=3时：在 12 3中令 1=2=3，则二阶对称张量 A 可表示为： 因为i1、 r2、 r3是相互正交的单位矢量，所以 是单位二阶张量。因此： 显然对任意矢量 u有： 这表明二阶对称张量A的三个特征值相等时，任意方向均是主向。编辑课件例19： 已知 试求A的特征值和主向（单位特征矢量）。 解：解之得： 设1、2、3对应的特征矢量为 u1、v2、w3。且取： 当1=3时： 编辑课件 关于 u1、u2、u3 的三个代数方程只

12、有两个是独的。也就是说关于 u1、u2、u3 两个独的线性代数方程只能给出这三个未知量的两组关系。这里的二组关系取为用u1表示的u2(u1)和u3(u1)（用u2表示的u1(u2)和u3(u2) ; 用u3表示的u1(u3)和u2(u3) 。但必须注意不能用为零 ui表示另两个 u的分量。如当u1=0时只能用u2或 u3去表示 u1、u3或 u1、u2 ）。由方程解得：当2=3时： 编辑课件由方程解得：当3= -1时：由方程解得：编辑课件以上确定了A的特征值：及对应的特征矢量但应当注意如果u是A的特征矢量，由 A u=u可-u也是 A的特征矢量。因此对此题中A的单位特征矢量取为： 编辑课件由实

13、对称二阶张量的特征值和特征矢量分析可知，任意实对称二阶张量 A 至少存在三个相互正交的特征矢量。若取三个相互正交的单位特征矢量为r1、r2、r3。那么在矢量空间V中可取标准正交坐标系 o ; r1, r2, r3 。与基矢量r1、r2、r3对应的坐标轴称为坐标主轴。关于给定对称实二阶张量A的表示有：定理： 对任意给定二阶实对称张量 A。存在一组标准正交基底，每一基矢量都是 A 的单位特征矢量 (r1, r2, r3) 。同时与基矢量r1, r2, r3相对应的特征值 1, 2, 3是 A在基底 r1, r2, r3 构成的二阶张量基底 ri rj ( i , j = 1 , 2 , 3 )上全

14、部的非零分量。即：（3.4-14） 并称实对称二阶张量的这种表示为谱表示。 1, 2, 3称为二阶张量A的谱。 编辑课件证： 设二阶实对称张量 A在标准正交坐标系 o ; r1, r2, r3 中表示为： 用r1, r2, r3分别点乘以上三式得： 因此 A 可表示为： 当 时： 当 时： （3.4-15） （3.4-16） 编辑课件例20： 试求 的谱表示。 解：显然u3为任意实数时都是方程组的解；而 u1、 u2则必须满足方程：该方程关于 u1、 u2无非零解。因此最后得： 编辑课件该方程组的第三个方程：要求v3=0。而关于v1 、 v2的两个方程为： ； 编辑课件该方程组的第三个方程：要

15、求w3=0。而关于w1 、 w2的两个方程为： ； 最后得：其中： 编辑课件3.5 各向同性张量在很多的物理问题中，用以描述某一确定物理性质的数学量张量（零阶的标量、一阶的矢量等）必须能够反应该物理性质的方向性。若某一物理性质因方向的不同而发生变化（如木材在顺纹方向和与顺纹方向正交方向的力学性能的差异、复合或层合板在板面的方向与板正交方向的力学性能的差异等），则称该物理性质是各向异性的。显然对名向异性物理性质进行描述的数学量张量也必须反映这种依赖方向而变化的物理性质。在数学上，张量的这种对方向的依赖性质通过用以表示张量的坐标系正交变换实现。 编辑课件设o ; i1, i2, i3 是矢量空间

16、V 中的标准正交坐标系。则 r 阶张量A可表示为： 当o ; i1, i2, i3 在正交二阶张量 Q作用下变换为 o ; Qi1, Qi2, Qi3 标准正交坐标系时， r 阶张量A有可表示为： （3.5-1） 显然一般情况下：（3.5-2） 如果（3.5-2）的3 r个式子中有一个是左右两边不相等，则表明A至少在正交变换Q作用于标准正交坐标系 o ; i1, i2, i3时依赖于坐标变换，这时称 r 阶张量 A是各向异性的。如果所有正交变换 Q作用于标准正交坐标系 o ; i1, i2, i3 时，（3.5-2）式的 3 r个式子左右两边均相等。则称 r 阶张量 A 或者说对所有正交坐标变

17、换，张量 A的 3 r 个分量都保持不变时， r 阶张量 A称各向同性张量。 编辑课件例21 已知矢量 ；二阶张量 。试求当o ; i1, i2, i3 标准正交坐标系在正交二阶张量： 1 2 的变换下矢量u和二阶张量 A的表达式。 解：1 显然 。因此 u是一阶各向异性张量(各向异性矢量) 。 但必须注意，尽管 ，但这并不说明A是各向 编辑课件同性的。A只有对所有正交坐标变换（即对所有正交二阶张量Q作用在o ; i1, i2, i3 的变换）都有： 时，A才是各向同性的二阶张量。 2 显然 。因此 u 是各向异性矢量。 显然 ，其余的 因此 A 是各向异性二阶张量。 编辑课件由例20可以看出

18、二阶张量 A 在第一个正交变换下保持分量不变 ；而在第二个正交变换下其分量发生了变化。对一般 r阶张量（并不是所有的r阶张量）在某些特定的正变换时， 当这些特定的正交二阶张量作用在r阶张量上时，张量的分量保持不变 。因此各向异性的张量能够按某些正交二阶张量分类。 设 r 阶张量 A在矢量空间V 中给定的标准正交坐标系o ; i1, i2, i3 下表示为： 对给定的正交二阶张量Q，坐标系o ; i1, i2, i3 在Q作用下变换为： A在 坐标系下表示为： 编辑课件1横观各向异性： 若A在正交二阶张量： （3.5-3） 的变换下（对任意的取值），的分量保持不变，则 A称为 r 阶横观各向异性

19、张量。 2正交各向异性： 若A在正交二阶张量： （3.5-4） 分别作用的变换下，A的分量均保持不变。则 A称为r 阶正阶正交各向异性张量。 3半各向同性： 若A在所有满足： （3.5-5） 正交二阶张量Q ( Q称为真正交二阶张量。或称旋转正交二编辑课件阶张量)变换下，其分量保持不变。则称 A是 r阶半各向同性张量。或称为各向同性伪张量。 例22： 试求横观各向异性二阶张量A的表达式。 解：编辑课件编辑课件由 得： 编辑课件由于第一组的四个方程对任意都必须满足。由第二组的四个方程可得：当 时，/，/得： 显然只有当 最后得横观各向异性二阶张量可表示为： 时，以上两个表达成立。因此编辑课件以上按正交二阶张量所表示的不同坐标变换对各向异性张量进行了分类。由此引入了横观各向异性张量和正交各向异性张量。这两类各向异性张量在各向异性理论和复合材料力学中描述了材料性模量与方向的依赖关系。在连续介质力学（包括弹性力学和流体力学等）各向同性是重要的概念。下面给出描述各向同性物理性质的各向同性张量的定理。 定理：对零阶、一阶、二阶、四阶张量有：1零阶张量（数量）是各向异同性张量。 2零矢量是各向同性一阶张量；