高等数学课后习题答案

1、1求图621中各画斜线部分的面积 解 画斜线部分在x轴上的投影区间为0 1所求的面积为A 0(a x)dx |x2 |x20 .x轴上的投影区间为0 1所求的面积为解法二 画斜线部分在y轴上的投影区间为1 e所求的面积为解 画斜线部分在x轴上的投影区间为3 1所求的面积为解 画斜线部分在x轴上的投影区间为1 3所求的面积为2.求由下列各曲线所围成的图形的面积y ；x2与x2y28(两部分都要计算)解y 1与直线yx及x2 xyex yex与直线x1解所求的面积为(4)y=ln x, y 轴与直线 y=ln a, y=ln b (ba0).解所求的面积为3求抛物线yx24x3及其在点(0 3)和

2、(3 0)处的切线所围成的图形的面积 解y2 x4过点(0, 3粒的切线白斜率为4切线方程为y4(x3)过点(3, 0粒的切线白斜率为2切线方程为y2x6两切线的交点为母3)所求的面积为4求抛物线y2=2px及其在点(孝r)处的法线所围成的图形的面积解2yy2p在点(2,p)处y 次,p) 1法线的斜率k1法线的方程为y p (x手)即x 3P y求得法线与抛物线的两个交点为(2,p)和(2 p, 3p)法线与抛物线所围成的图形的面积为5求由下列各曲线所围成的图形的面积(1)2acos解F尸2所口曰)所求的面积为A 1 2 (2acos )2d 4a2 ,cos2 d a2220(2)xaco

3、S3t, yasin3t;解(3)=2a(2+cos)解所求的面积为6求由摆线xa(tsin t) ya(1cos t)的一拱(0t2)与横轴所围成的图形的面积 解x=u(r xin，)、mfl cts /)所求的面积为7求对数螺线ae()及射线所围成的图形面积 解所求的面积为8求下列各曲线所围成图形的公共部分的面积（1）3cos 及 1cos解b（2,-）由对称性所求的面积为曲线3cos与1cos交点的极坐标为A（3 ,-）2 3 V2sin 及 2 cos2加日面积的焦点的曲线/sin与2 cos2的交点M的极坐标为M （字噂）所求的面积为9求位于曲线丫=6、下方该曲线过原点的切线的左方以

4、及x轴上方之间的图形的面积解设直线ykx与曲线yex相切于A（x（）y0）点则有 求得 xoi yoe ke所求面积为10求由抛物线y24ax与过焦点的弦所围成的图形的最小值解 设弦的倾角为 由图可以看出 抛物线与过 弦所围成的图形的面积为显然当2时A10当 万时A10因此 抛物线与过焦点的弦所围成的图形的面积的最小值为11把抛物线y24ax及直线xx)(x00)所围成的图形绕x轴旋转 计算所得旋转体的体积转计计算所解所得旋转体的体积为12由yx3x2 y0所围成的图形 分别绕x轴及y轴旋算所得两个旋转体的体积解绕x轴旋转所得旋转体的体积为绕y轴旋转所得旋转体的体积为13把星形线x2/3 y2

5、/3 a2/3所围成的图形 绕x轴旋转的轴旋得旋转体的体积解由对称性所求旋转体的体积为14用积分方法证明图中球缺的体积为v h2(r H)RR证明 Vx2(y)dy(R2 y2)dyR HR H15求下列已知曲线所围成的图形 按指定 转所产生的旋转体的体积y x2 x y2绕y轴解 V1ydy0(y2)2dy(Jy2 ：y5)0 磊2510a解 V 0 y2(x)dxy ach : x0 xa y0 绕 x 轴a2ch2xdx x au a3 ch2udu0 a0 x2 (y 5)2 16 绕 x 轴4 4解 V (5 16 x2)2dx(5 .16 x2)2dx44y2a转体的摆线xa(ts

6、in t) ya(1cost)的一拱 y0绕直线解 V12a (2a)2dx12a (2a y)2dx16求圆盘x2 y2 a2绕xb(ba0)旋转所成旋体积a a,V (b , a2 y2)2dy(b .、a2 y2)2dyaa17设有一截锥体 其高为h上、下底均为椭圆的轴长分别为2a、2b和2A、2B求这截锥体解 建立坐标系如图 过y轴上y点作垂直于 平面则平面与截锥体的截面为椭圆易得其长短 分别为截面的面积为(A A-ay) (B B-by) hh于是截锥体的体积为18计算底面是半径为R的圆 而垂直于底面上一条固定直径的所有截面都是等边三角形的立体体积由已积其解 设过点x且垂直于x轴的截

7、面面积为A(x) 知条件知它是边长为Jr2 x的等边三角形的面 值为所以 V R J3(R2 x2)dx 心 R3R 、，319证明由平面图形0axb 0yf(x)绕y轴旋转所成的旋转体的体积为证明 如图 在x处取一宽为dx的小曲边梯形 小曲边梯形绕y轴旋转所得的旋转体的体积近似为2xf(x)dx这就是体积元dV2xf(x)dx于是平面图形绕y轴旋转所成的旋转体的体积为20利用题19和结论 计算曲线ysin x(0 x)和素即x轴所围成的图形绕y轴旋转所得旋转体的体积解 V 2 0 xsinxdx 2 0 xd cosx 2 ( xcosx sinx)0 2 221计算曲线yln x上相应于&

8、 x a的一段弧的长度8.8882解 s 3、1 y (x)dx 3、,1 (x)dx飞 x dx令 Ji x2 t 即 x Jt2 1 贝U J? 22计算曲线y 罟(3 x)上相应于1x33弧的长度.xy11 x2x 2的一段所求弧长为23计算半立方抛物线y2 2(x 1)3被抛物线y2微截得的一段弧的长度 33y2 2(x 1)33得两曲线的交点的坐标为2 所求弧长为s 21,1 y 2dx因为所以y2dy使细的渐24计算抛物线y 、 3纵坐标 y a(1 cos) |a2Px从顶点到这曲线上的一点 M(xy)的弧长:x2(y)dy ； 1 (P)2dy 1PoyJp225计算星形线x

9、acoS3t y asin2t的全长解 用参数方程的弧长公式26将绕在圆(半径为a)上的细线放开拉直 线与圆周始终相切细线端点画出的轨迹叫做圆 伸线它的方程为 计算这曲线上相应于t从0变到的一段弧的长度解由参数方程弧长公式27在摆线xa(tsin t) ya(1cost)上求分摆线第一拱成1 3的点的坐标解设t从0变化到t0时摆线第一拱上对应的弧长为s(t0)则当t02时 得第一拱弧长s(2)8a为求分摆线第一拱为1 3的点为A(xy)令解得t。2-因而分点的坐标为3横坐标 x a(2- sin2-) (233故所求分点的坐标为吟28求对数螺线ea相应于自0到的一段弧长解用极坐标的弧长公式29

10、求曲线1相应于自3至4的一段弧长43解按极坐标公式可得所求的弧长30求心形线a(1cos的全长解用极坐标的弧长公式 习题631由实验知道 弹簧在拉伸过程中 需要的力F(单位N)与伸长量s(单位cm)成正比 即Fks(k为比例常数)如果把弹簧由原长拉伸6cm计算所作的功解将弹簧一端固定于A另一端在自由长度时的点 O为坐标原点 建立坐 标系功元素为dWksds所求功为66，一.W o ksds 2ks20 18k(牛厘米)2直径为20cm、高80cm的圆柱体内充满压强为10N/cm2的蒸汽 设温度 保持不变要使蒸汽体积缩小一半问需要作多少功？解由玻马定律知设蒸气在圆柱体内变化时底面积不变高度减小x

11、厘米时压强 为P(x)牛/厘米2则功元素为 dW ( 102)P(x)dx所求功为40 40W ( 102) -800-dx 80000-dx 800 ln2(J)0800 80(1)证明 把质量为m的物体从地球表面升高到h处所作的功是其中g是地面上的重力加速度 R是地球的半径(2)一颗人造地球卫星的质量为173kg在高于地面630km处进入轨道问把这颗卫星从地面送到630的高空处 克服地球引力要作多少功？已知g98m/s2 地球半径 R6370km证明(1)取地球中心为坐标原点把质量为m的物体升高的功元素为所求的功为(2)W 6.67 1011 173 5.98 1024 630 103 9

12、.75 105 (kJ)()6370 103(6370 630) 103一物体按规律x ct3作直线运动 媒质的阻力与速度的平方成正比 计算物体由x0移至xa时 克服媒质阻力所作的功解因为x ct3所以2v x(t) 3cx2 阻力 fkv29kc2t4 而 t (x/ 所以c功元素dWf(x)dx所求之功为5用铁锤将一铁钉击入木板 设木板对铁钉的阻力与铁钉击入木板的深度成正比 在击第一次时 将铁钉击入木板1cm如果铁锤每次打击铁钉所做的功相等问锤击第二次时铁钉又击入多少？解设锤击第二次时铁钉又击入hcm因木板对铁钉的阻力f与铁钉击入木板的深度x(cm)成正比 即fkx功元素dWf dxkxd

13、x击第一次作功为击第二次作功为因为Wi %所以有解得 h 2 1(cm)6设一锥形贮水池 深15m 口径20m盛满水 今以唧筒将水吸尽 问要作多少功？解 在水深x处 水平截面半径为r 10 |x功元素为 3所求功为1875(吨米)57785.7(kJ)尺寸如图所示当水箱装满水7有一闸门 它的形状和尺寸如图 水面超过门顶2m求闸门上所受的水 压力解建立x轴方向向下原点在水面水压力元素为闸门上所受的水压力为c5.P 22xdx x22 21(吨)=205 8(kN)8洒水车上的水箱是一个横放的椭圆柱体时 计算水箱的一个端面所受的压力解 建立坐标系如图 则椭圆的方程为压力元素为 所求压力为4 02c

14、os2tdx 卷(吨)17.3(kN)(提示积分中所作的变换为x: 4加)9有一等腰梯形闸门 它的两条底边各长10m和6m高为20m较长的底 边与水面相齐 计算闸门的一侧所受的水压力幽5）1rV解建立坐标系如图直线AB的方程为压力元素为所求压力为20P x(10 1x)dx 146705，（吨）14388（千牛）10 一底为8cm、高为6cm的等腰三角形片 铅直地沉没在水中 顶在上 底在下且与水面平行而顶离水面3cm试求它每面所受的压力解建立坐标系如图腰AC的方程为y 2x压力元素为3所求压力为M也6P 4x(x 3)dx 4(1x3 3x20 33 321 x C(6,4)168（克）（牛）

15、11设有一长度为1、线密度为的均匀细直棒在与棒的一端垂直距离为a单位处有一质量为m的质点M试求这细棒对质点M的引力解建立坐标系如图在细直棒上取一小段dy引力元素为dF在x轴方向和y轴方向上的分力分别为12设有一半径为R、中心角为的圆弧其线密度为常数 在圆心处有一质量为m的求这细棒对质点M的引力形细棒质点F试ds-Rd 6解根据对称性Fy0引力的大小为2Gm sin-方向自M点R 2弧中点总习题六yR x起指向圆1 一金属棒长3m离棒左端xm处的线密度为(x) -4（kg/m）问x为何值时0 x一段的质量为全棒质量的一半x3斛x应满足0彳7dt 50；0dtdt g2/F70 1因为 o1 dt

16、 2, t 1 c)2 ,x 1 2 二、t1 L 20,t 1所以 2x 1 2 1x 4(m)且当x0 12求由曲线asin a(cossin)0)所围图形公共部分的面积解S 2 (|)2 1 ; a2(cossin )2d3设抛物线y ax2 bx c通过点(0 0)时y0试确定a、b、c的值使得抛物线ax2 bx c与直线x1 y0所围图形的面积使该图形绕x轴旋转而成的旋转体的体积最小解 因为抛物线y ax2 bx c通过点(0 0)所以c0从而抛物线y ax2 bx与直线x1 y0所围图形的面积为令a b 4得b中3 2 99该图形绕x轴旋转而成的旋转体的体积为令普 U 12得2(8

17、 12a) 0得a 5于是b2 d 53811b334求由曲线y x，与直线x4 x轴所围图形绕y轴旋转而成的旋转体的体积 解所求旋转体的体积为5求圆盘(x 2)2 y2 1绕y轴旋转而成的旋转体的体积 3解 V 2 2 x 1 (x 2)2dx6抛物线y 1x2被圆x2 y2 3所需截下的有限部分的弧长x2 y2 3解由 1 2解得抛物线与圆的两个交点为（72,1） （72,1）于是所求 y -x 2 2的弧长为7半径为r的球沉入水中 球的上部与水面相切 球的比重与水相同 现将 球从水中取出需作多少功解 建立坐标系如图 将球从水中取出时 球的各点上升的高度均为2r在 x处取一厚度为dx的薄片 在将球从水中取出的过程中薄片在水下上升的高度为rx在水上上升的高度为rx在水下对薄片所做的功为零在水上对薄片所做的功为 对球所做的功为8边长为a和b的矩形薄板 与液面成角斜沉于液体内 长边平行于液面 而位于深h处 设ab液体的比重为 试求薄