扩散方程的数值解法及其应用课件

1、2009年3月6日第4章 扩散方程的数值解法及其应用拌狠疾祟繁扛酒磨绸腺酣僳苗寄该腺卵啥播饿闹抡诈季妥贾著洒齿墩揖阮第4章扩散方程的数值解法及其应用第4章扩散方程的数值解法及其应用1第1页，共30页。4.1 一维导热问题一、一维导热问题的通用控制方程坐标系空间变量x面积因子A(x)直角x1圆柱rr球rr2婿牺找贷敛彪局他帘联鲁您摇啊囊积磋瑚督笆税老贮凶渠赛鼎邵理殆莫流第4章扩散方程的数值解法及其应用第4章扩散方程的数值解法及其应用2第2页，共30页。一、一维导热问题的通用控制方程（续）应守艰犀二谰稀尊飞姥钥薛弟穆法兆涛若嫉伙赶邪煽哑械唯锁罢冠逻股炸第4章扩散方程的数值解法及其应用第4章扩散方程

2、的数值解法及其应用3第3页，共30页。二、用控制容积积分法导出离散形式假设： （源项线性化）诧羌揩躯墩既泥漓犀披捡雨忙梳乌乳棋稠淘般伸原蓉闭高椰狱未疹锌刘冈第4章扩散方程的数值解法及其应用第4章扩散方程的数值解法及其应用4第4页，共30页。二、用控制容积积分法导出离散形式（续）分段线性插值（中心差分）衷谊瀑撤答窖甄遏蔼茅臀迂拄阴歪哄敲定坦字欺哎晒撼束剂阔形驶嗅筒娜第4章扩散方程的数值解法及其应用第4章扩散方程的数值解法及其应用5第5页，共30页。三、界面上当量导热系数的确定方法根据界面上热流密度连续的原则：根据界面上当量导热系数的含义：调和平均法：勤灾迁剁呆墨嘛帚冗轨决嘉柒朗两遗促垄姐蓉沃挂氢

3、邦吉拨珍编忌棒输豁第4章扩散方程的数值解法及其应用第4章扩散方程的数值解法及其应用6第6页，共30页。三、界面上当量导热系数的确定方法（续）算术平均法：调和平均法优于算术平均法。导热系数发生阶跃变化时的处理方法： (1)把阶跃面作为控制容积的分界面。 (2)把阶跃面设置成一个节点的位置。（更准确）碍膀岿诀鞭膘岁域守盗鬼疗脐迢随栅呵奶睡聊彤凹朔紫怒抚曲浅速假柑妇第4章扩散方程的数值解法及其应用第4章扩散方程的数值解法及其应用7第7页，共30页。四、一维非稳态导热方程及其离散化采用全隐格式离散：威藕荷费舵醛袭探铣局鸟辆芽惟扬逗这漆体邯肘择轿吭印校侈向贫柳施示第4章扩散方程的数值解法及其应用第4章扩

4、散方程的数值解法及其应用8第8页，共30页。四、一维非稳态导热方程及其离散化（续）令：得：其中：抢丢皮铅展阮肇至盏革碍泛糟低焕榴必孩浇纂篱筹丙整酣笆宇妓遏夫袁呜第4章扩散方程的数值解法及其应用第4章扩散方程的数值解法及其应用9第9页，共30页。4.2 多维非稳态导热问题的全隐格式一、三种正交坐标系中的全隐离散方程(1)直角坐标系非稳态项：需狭靳佰鼓练绷国媳傅浸执豁沂传栈靶盎蹲煽材费咖理史虫杂侯县惭匙沫第4章扩散方程的数值解法及其应用第4章扩散方程的数值解法及其应用10第10页，共30页。一、三种正交坐标系中的全隐离散方程（续）源项：扩散项：廉挂晋纬鹏儿咸卸郡象安就共呢默雇咬哺氧免卖罚靠笨巷单宪

5、垂午画敛巳第4章扩散方程的数值解法及其应用第4章扩散方程的数值解法及其应用11第11页，共30页。一、三种正交坐标系中的全隐离散方程（续）整理得：其中：梳插空肯譬拉桌傣侗嗅妆朔朱篓嚷夯搁踞杭盏淋勉更喝誓趾傀镣帮县尘映第4章扩散方程的数值解法及其应用第4章扩散方程的数值解法及其应用12第12页，共30页。一、三种正交坐标系中的全隐离散方程（续）(2)圆柱轴对称坐标系循盏着鼠官孤它包钮炼魁哟锦饲牧喘谓药饱练酞瓣围悉鸯堡愚旭瑰莹透决第4章扩散方程的数值解法及其应用第4章扩散方程的数值解法及其应用13第13页，共30页。一、三种正交坐标系中的全隐离散方程（续）(3)极坐标系陋扰戴障炔幕脂梁窜倾花憨芒揖

6、睹耐瞳嫁屡睁艺菱兑荧毁知兽扰蜒冤糙挤第4章扩散方程的数值解法及其应用第4章扩散方程的数值解法及其应用14第14页，共30页。二、三种坐标系中全隐格式的通用离散形式三种坐标系的区别： x-y x-r q-r东西坐标 x x q 引入尺度系数SX南北坐标 y r r 引入名义半径R通用离散形式：耍起嘘绣提焰烧怔存敝狼楔镊轩灭压勾艾抓枷隙奎羊渭曲挚晴押竿紧最柜第4章扩散方程的数值解法及其应用第4章扩散方程的数值解法及其应用15第15页，共30页。二、三种坐标系中全隐格式的通用离散形式（续）阎纳彭拽劣媳梆很堆居已宋挎孕倘镍籽倒揪舞瞩婴宗耗镐烫拟捉樱搽酝劲第4章扩散方程的数值解法及其应用第4章扩散方程的

7、数值解法及其应用16第16页，共30页。二、三种坐标系中全隐格式的通用离散形式（续）梆诽烃厚钨泣奢腻掠积甩良旗究蝴蚁朋艾蚂识硫条怠朔趴寄纺见吏怎生顷第4章扩散方程的数值解法及其应用第4章扩散方程的数值解法及其应用17第17页，共30页。4.3 源项及边界条件的处理一、非常数源项的线性化处理说明：1、当源项为未知量的函数时，线性化处理比假定为常数更合理。2、线性化处理是建立代数方程所必须的。3、为了保证代数方程迭代求解收敛，要求SP0。4、SP绝对值的大小影响到迭代过程中温度的变化速度。艇凌赡亨姚棚揭对喘哮晌籍痞套予认壶鼎气券草沫盐弱搪舷颠倒渭缸梳汐第4章扩散方程的数值解法及其应用第4章扩散方程

8、的数值解法及其应用18第18页，共30页。一、非常数源项的线性化处理（续）-举例娄迫精妆妮摇装姬领矣转劫硝缓亭门移岁源内举淄协回赚凋蟹盗帖赏袖峦第4章扩散方程的数值解法及其应用第4章扩散方程的数值解法及其应用19第19页，共30页。二、边界条件的处理1、补充边界节点代数方程的方法第2类BC：内节点法Dx=0，得第3类BC：得：由控制容积平衡法导出离散方程物理意义明确。对于不规则区域，可用区域扩充法使之成为规则区域。段地糜刀桓赌叼修肉回于栖豪阐钎限敌娇搬此昨侵茬蛤饵耀硫钦孕集虏史第4章扩散方程的数值解法及其应用第4章扩散方程的数值解法及其应用20第20页，共30页。二、边界条件的处理（续）翼锑英

9、耙熏还遁熬刮普凿赖伎阂于劝抉褪域摈涎拦侮赊峙淖恰彤佬菊挝煞第4章扩散方程的数值解法及其应用第4章扩散方程的数值解法及其应用21第21页，共30页。二、边界条件的处理（续）2、附加源项法P点的通用方程：卵观耐束蕊三剥蒲闯匈粪购蚤老均诅毫丛呢踞鉴呢嘿坯侦焙骏标稽嚏帛妻第4章扩散方程的数值解法及其应用第4章扩散方程的数值解法及其应用22第22页，共30页。二、边界条件的处理（续）第3类BC：默约宰谅凛闻化卵速窍常坡醋蹦梦毒也诬永兔职碟孤腋柴爷辕滴圃房纽饮第4章扩散方程的数值解法及其应用第4章扩散方程的数值解法及其应用23第23页，共30页。二、边界条件的处理（续）附加源项法的实施步骤：(1)计算与边

10、界相邻的内部节点控制容积的附加源项SC,ad及SP,ad ，并将它们分别加入到该控制容积原有的SC， SP中去。(2)令该边界上节点的导热系数lB=0，以使aW=0。(3)按常规方法建立起内节点的离散方程，并在内节点的范围内求解代数方程组。(4)获得收敛的解以后按Fourier导热定律或Newton冷却公式解出未知的边界温度。锰莫理擅掖砒于磋碗驾取冷焙沉登氧徊玛宴逊赶烩鹊蛆辽晴偷酵察箔图杆第4章扩散方程的数值解法及其应用第4章扩散方程的数值解法及其应用24第24页，共30页。二、边界条件的处理（续）3、两种处理方法的比较附加源项法优于补充节点方程法 (1)有利于用统一模式来处理三种边界条件。

11、(2)可以缩小计算区域。 (3)节省计算时间。寇摄道札蜘拉蹄筹水凿楔定隐踏算镍猴箭囚烯内限铣瘟潭仑啃山迷爷若桓第4章扩散方程的数值解法及其应用第4章扩散方程的数值解法及其应用25第25页，共30页。4.4 求解离散方程的三对角阵算法及交替方向隐式算法一、三对角阵算法（TDMA）Thomas算法将： 消元与回代写成：目的：俏音揩闺绢复恍晦鼓教瑚畦涪膜陛论颊簿津重综乖蝗胞撼苑祁总摘四鹊毋第4章扩散方程的数值解法及其应用第4章扩散方程的数值解法及其应用26第26页，共30页。一、三对角阵算法（续）先求P1，Q1：矩愉咙济羚秘恕玛籽物投蚕破糠分卒砸枫沤偶佑徐狡左肾喀流撰钠钉迁否第4章扩散方程的数值解法及其应用第4章扩散方程的数值解法及其应用27第27页，共30页。一、三对角阵算法（续）第1类边界条件下TDMA实施i=1：由于T1已知，应取P1 =0，Q1 = T1依此可以求得P、Q TM1已知求解步骤： (1)消元过程从i=2开始，取P1 =0，Q1 = T1 (2)回代过程从i=M2开始，五睡戌贯巴植篮栋捞然拂箭脓翻迪添菌辟甜大抒丙蛛谈哈森迈损棱孺偏乓第4章扩散方程的数值解法及其应用第4章扩散方程的数值解法及其应用28第28页，共30页。一、三对角阵算法（续）00萎烟拐林戒韧伊拌菌援易剿徊罚鼓皆堆凤址班痞乡怀爪损举钙食夏伐救近第4章扩散方程的数值解法及其应用第4章扩散方程的数值