点集拓扑学的基本概念

1、点集拓扑学点集拓扑学(Point Set Topology)，有时也被称为一般拓扑学(General Topology)，是数学的拓 扑学的一个分支。它研究拓扑空间以及定义在其上的数学结构的基本性质。这一分支起源于以下 几个领域：对实数轴上点集的细致研究，流形的概念，度量空间的概念，以及早期的泛函分析。它的表述形式大概在1940年左右就已经成文化了。通过这种可以为所有数学分支适用的表述形式， 点集拓扑学基本上抓住了所有的对连续性的直观认识。具体地说，在点集拓扑学的定义和定理的证明中使用了一些基本术语，诸如：开集和闭集开核和闭包邻域和邻近性紧致空间连续函数数列的极限，网络，以及滤子分离公理度量空

2、间在数学中，度量空间是一个集合，在其中可以定义在这个集合的元素之间的距离(叫做度量)的 概念。度量空间中最符合我们对于现实直观理解的是三维欧几里得空间。事实上，“度量”的概念就是 对从欧几里得距离的四个周知的性质引发的欧几里得度量的推广。欧几里得度量定义了在两个点 之间的距离为连接它们的直线的长度。空间的几何性质依赖于所选择的度量，通过使用不同的度量我们可以构造有趣的非欧几里得几何， 比如在广义相对论中用到的几何。度量空间还引发拓扑性质如开集和闭集，这导致了对更抽象的拓扑空间的研究。【性质】度量空间是元组(M,d)，这里的M是集合而d是在M上的度量(metric)，就是函数d : Af x A

3、f R使得d(x, y) 0 (非负性)d(x, y) = 0当且仅当x =(不可区分者的同一性d(x, y) = d(y, x)(对称均d(x, z) 0)的关于x的开球为集合 E ：、：厂苗 V .。这些开球生成在M上的拓扑，使它成为拓扑空间。明显的，M的子集被称为开集，如果它是(有 限或无限多)开球的并集。开集的补集被称为闭集。以这种方式从度量空间引发的拓扑空间叫做可 度量化空间因为度量空间是拓扑空间，在度量空间之间有连续函数的概念。这个定义等价于平常的连续性的 -6定义(它不提及拓扑)，并可以使用序列的极限直接定义。开集在拓扑学和相关的数学领域中，集合U被称为开集，如果在直觉上说，从U

4、中任何一点x开始你 可以在任何方向上稍微移动一下而仍处在集合U中。换句话说，在U中任何点x与U的边界之间 的距离总是大于零。例如，实数线上的由不等式W 规定的集合称为开区间，是开集。这时候的边界为实数轴 上的点2和5,如由不等式-%，或者一：5规定的区间由于包含其边界，因此不能 称之为开集。开集是指不包含自己边界点的集合。或者说，开集把它所包含的任何一点的充分小的邻域也包含 在其自身之中。开集的概念一般与拓扑概念是紧密联系着的，通常先公理化开集，然后通过其定 义边界的概念。满足X2 + y2 = r2的点（x,y）着蓝色。满足X2 + y2 0使得，如 果给定任何Rn中点y，有着从X到它的欧几

5、里得距离小于，则y也属于U。等价的说，U是开集， 如果所有U中的点有包含在U中的邻域。一度量空间度量空间（M,d）的子集U是开集，如果给定任何U中的点X，存在一个实数 0使得，如果给 定任何M中的点y，有d（X,y） 0，存在y属于S，且d(x, y) 1) = z in C : |z| 1。在任意欧几里得空间，任意有限集合的内部是空集。在实数集上，除了标准拓扑，还可以使用其他的拓扑结构。若X = R，且R有下限拓扑，则int(0, 1) = 0, 1)。若考虑R中所有集合都是开集的拓扑，则int(0, 1) = (0, 1)。若考虑R中只有空集和R自身是开集的拓扑，则int(0, 1)是空集

6、。上述示例中集合的内部取决于背景空间的拓扑。接下来给出的两个示例比较特殊。在任意离散空间中，由于所有集合都是开集，所以所有集合都等于其内部。在任意不可分空间X中，由于只有空集和X自身是开集，所以int(X) = X且对X的所有真子 集A，int(A)是空集。闭包数学上，集合S的闭包包含了所有靠近S”的点。S的闭包中的点称为S的闭包点。闭包的概念和 内部的概念对偶。【定义】闭包点对欧几里得空间的子集S，若所有以x为中心的开球都包含S的点(这个点也可以是x)，x是S 的闭包点。这个定义可以推广到度量空间X的任意子集S。具体地说，对具有度量d的度量空间X，x是S的 闭包点，若对所有r 0，存在y属于

7、S，使得距离d(x, y) 1) = z 属于 C : |z| 1。若S为欧几里得空间的有限子集，则cl(S)= S。(在一般拓扑空间，这个性质和公理等 价。)在实数集上，除了标准拓扑，还可以使用其他的拓扑结构。若X = R，且R有下限拓扑，则cl(0, 1) = 0, 1。若考虑R中所有集合都是开(闭)集的拓扑，则cl(0, 1) = (0, 1)。若考虑R中只有空集和R自身是开(闭)集的拓扑，则cl(0, 1) = R。上述示例中集合的闭包取决于背景空间的拓扑。接下来给出的两个示例比较特殊。在任意离散空间中，由于所有集合都是开(闭)集，所以所有集合都等于其闭包。在任意不可分空间X中，由于只

8、有空集和X自身是开(闭)集，所以空集的闭包是空集， 对X中的非空集A，cl(A) = X。也就是说，所有非离散空间中的非空集都是稠密的。集合的闭包也取决于背景空间。例如：若X是有理数集合，具有从欧几里得空间R中得到的子空 间拓扑，且S = q属于Q : q2 2，则S是Q中的闭集，且S在Q中的闭包是S。相应的，S在欧几 里得空间R中的闭包是所有大于等于的实数组成的集合。邻域在拓扑学和相关的数学领域中，邻域是拓扑空间中的基本概念。直觉上说，一个点的邻域是包含 这个点的集合，你可以稍微“抖动”一下这个点而不离开这个集合。这个概念密切关联于开集和内部的概念。【定义】矩形不是它的任何一角的邻域如果X是

9、拓扑空间而p是X中的一个点，p的邻域是集合，它包含了包含p的开集 puc V 注意，自身不必须是开集。如果，是开集则它被称为开邻域。某些作者要求邻域是开集，所以注 意约定是很重要的。一个点的所有邻域的集合叫做在这点上的邻域系统。如果S是X的子集，S的邻域是集合，它包含了包含S的开集U。可得出集合V是S的邻域，当 且仅当它是在S中的所有点的邻域。一在度量空间中在度量空间M = (X,d)中，集合V是点p的邻域，如果存在以p为中心和半径为r的开球，Bt(P)= B(p- r) = 壬 E X I p) 0集合S的r-邻域S是X中与S的距离小于r的所有点的集合(或等价的说S是以S中一个 点为中心半径

10、为r的所有开球的并集)。可直接得出r-邻域是一致邻域，并且一个集合是一致邻域当且仅当它包含对某个r值的r-邻域。给定实数集合R带有平常的欧几里得度量和如下定义的子集，则，是自然数集合N的邻域，但是不是这个集合的一致邻域。紧空间在数学中，欧几里得空间Rn的子集是紧致的，如果它是闭合的并且是有界的。例如，在R中，闭 合单位区间0, 1是紧致的，但整数集合Z不是（它不是有界的），半开区间0, 1）也不是（它不是闭 合的）。更现代的方式是称一个拓扑空间为紧致的，如果它的开覆盖都有有限子覆盖。海涅-博雷尔定理证 明了这个定义对欧几里得空间子集等价于闭合且有界”。注意：某些作者如布尔巴基使用术语预紧致”，

11、并把紧致”保留给是豪斯多夫空间并且预紧致”的 拓扑空间。一个单一的紧致集合有时称为紧统（compactum）。【历史和动机】术语“紧致”是莫里斯弗雷歇在1906年介入的。很久以来就认识到了像紧致性这样的性质对于证明很多有用的定理是必需的。最初“紧致”意味着 “序列紧致”（所有序列都有收敛子序列）。这是在研究主要的度量空间的时候。“覆盖紧致”定义已经 变得更加突出，因为它允许我们考虑更一般的拓扑空间，并且关于度量空间的很多已有结果可以 推广到这种设置。这种推广在研究函数空间的时候特别有用，它们很多都不是度量空间。研究紧致空间的主要原因之一是因为它们以某种方式类似于有限集合:有很多结果易于对有限集

12、合 证明，其证明可以通过极小的变动就转移到紧致空间上。常说“紧致性是在有限性之后最好的事 情”。例如：假设X是豪斯多夫空间，我们有一个X中的点x和不包含x的X的有限子集A。则我们可 以通过邻域来分离x和&对于每个A中的a，设U(x)和V(a)分别是包含x和a的不相交的 邻域系统。则所有U(x)的交集和所有V(a)的并集就是要求的x和A的邻域。注意如果A是无限的，则证明失败，因为任意多个x的邻域的交集可能不是x的邻域。但这个证 明是可以挽救的，如果A是紧致的:我们可以简单的选取A的覆盖V(a)的有限子覆盖。在这种方 式下，我们看到在豪斯多夫空间中，任何点都可以通过不包含它的任何紧致集合的邻域来分

13、离。 事实上，重复这个论证证明了在豪斯多夫空间中任何两个不相交紧致集合可以通过领域来分离- 注意这正好就是我们在豪斯多夫分离公理中把“点”(就是单元素集合)替代为“紧致集合”所得到的。 涉及紧致空间的很多论证很结果都服从这个模式。在度量空间中，所有的有限集都有最大与最小元素。一般而言，无限集可能不存在最大或最小元 素(比如R中的(0, 1)，但R中的非空紧子集都有最大和最小元素。在很多情况下，对有限集成 立的证明可以扩展到紧集。一个简单的例子是对以下性质的证明：定义在紧集上的连续实值函数 是一致连续的。【定义】一欧几里得空间中的紧致性对于欧几里得空间Rn的子集，下列四个条件是等价的：所有开覆盖

14、都有有限子覆盖。这是最常用的定义。所有在这个集合中的序列都有收敛子序列，它的极限点属于这个集合。这个集合的所有无限子集有在这个集合中聚集点。这个集合是闭合与有界的。这是最容易验证的定义，例如闭区间或闭n维球。在其他空间中，这些条件等价与否依赖于这个空间的性质。注意尽管紧致性是集合自身(和它的拓扑)的性质，闭合性是相对于它所在的空间的；上面的“闭合” 是在闭合于Rn中的意义上使用的。比如闭合在Qn中的集合典型的不闭合在Rn中，因此不是紧致 的。一拓扑空间中的紧致性上段中的“有限子覆盖”性质要比“闭合并有界”更加抽象，但是它在用于Rn的子集的子空间拓扑时 有明显的好处，省去了使用度量或周围(amb

15、ient)空间的需要。因此紧致性是个拓扑性质。闭区间 0,1在某种意义上是本质上紧致性的，不过它是如何嵌入R或Rn中的。拓扑空间X被定义为紧致的，如果它的所有开覆盖有有限子覆盖。在形式上，这意味着U Ua D X-：使得有着有限子集；使得对于所有X的开子集的构成的集族Uu淑x-。经常使用的等价定义依据了有限交集性质:如果任何满足有限交集性质的闭集的搜集有非空交集， 则空间是紧致的。这个定义对偶于使用开集的定义。某些作者要求紧致空间还是豪斯多夫的，并把非豪斯多夫的紧致性叫做预紧致。一度量空间中的紧致性在度量空间内，紧集还可以定义为满足以下任一条件的集合：任意序列有收敛子序列且该子序列的极限点属于

16、该集合（自列紧集）。具备波尔查诺-魏尔施特拉斯性质。完备且完全有界。其他形式的紧致性列紧集：每个有界序列都有收敛的子序列。可数紧集：每个可数的开覆盖都有一个有限的子覆盖。伪紧：所有的实值连续函数都是有界的。弱可数紧致：每个无穷子集都有极限点。在度量空间中，以上概念均等价于紧集。以下概念通常弱于紧集：相对紧致：如果一个子空间Y在母空间X中的闭包是紧致的，则称Y是相对紧致于X。预紧集：若空间X的子空间Y中的所有序列都有一个收敛的子序列，则称Y是X中的预紧 集。局部紧致空间：如果空间中的每个点都有个由紧致邻域组成的局部基，则称这个空间是局 部紧致空间。【性质】紧集具有以下性质：紧集必然是有界的闭集，

17、但反之不一定成立。紧集在连续函数下的像仍是紧集。 豪斯多夫空间的紧子集是闭集。实数空间的非空紧子集有最大元素和最小元素。在丽内，一个集合是紧集当且仅当它是闭集并且有界。（海涅-博雷尔定理）定义在紧集上的连续实值函数有界且有最大值和最小值。定义在紧集上的连续实值函数一致连续。连续函数在数学中，连续是函数的一种属性。直观上来说，连续的函数就是当输入值的变化足够小的时候， 输出的变化也会随之足够小的函数。如果输入值的某种微小的变化会产生输出值的一个突然的跳 跃甚至无法定义，则这个函数被称为是不连续的函数(或者说具有不连续性)。【实值连续函数】最基本也是最常见的连续函数是定义域为实数集的某个子集、取值

18、也是实数的连续函数。这类函 数的连续性可以用直角坐标系中的图像来表示。一个这样的函数是连续的，如果粗略地说，它的 图像为一个单一的不破的曲线，并且没有间断、跳跃或无限逼近的振荡。严格来说，设f是一个从实数集的子集1 三射到J 上的函数： IJ。f在I中的某个点C处是连续的当且仅当以下的两个条件满足：f在点C上有定义。c是1中的一个聚点，并且无论自变量x在I中以什么方式接近c，f(x)的极限都存在且等 于 f(c)。我们称函数到处连续或处处连续，或者简单的称为连续，如果它在其定义域中的任意一点处都连 续。更一般地，当一个函数在定义域中的某个子集的每一点处都连续时，就说这个函数在这个子 集上是连续的。A定义不用极限的概念，也可以用下面所谓的： 广方法来定义实值函数的连续性。仍然考虑函数： IJ。假设C是f的定义域中的元素。函数f被称为是在C点连续当且仅当以下条件成立：对于任意的正实数顼，存在一个正实数60使得对于任意定义域中的匚I，只要x满足C 8 x c + 6，就有，一，.m 成立。更直观地，函数f是连续的当且仅当任意取一个J中的点f(c)的邻域Q，都可以在其定义域I中选 取点x的足够小的