高考数学复习导数中的隐零点问题

1、衢州三中微专题系列之导数中的隐零点问题衢州三中李娜知识要点求解导数题时，经常会碰到导函数存在零点但求解比较繁杂甚至无法求解的情形，我 们将这类问题称为“隐零点”问题。这类问题我们一般采用设而不求，通过整体代换和过 渡，再结合其他条件，从而使问题得到解决。解隐零点问题的一般策略：第一步：用零点存在性定理(或用二分法进一步缩小零点的范围)判断导函数零点的存在 性。列出零点方f (x0) = 0,并结合f(x)的单调性得到零点的范围。第一步：将零点万程f (xo) = 0适当变形，整体代入最值式子中进行化简证明、求最值、 解不等式等。典例分析【类型一】不含参函数的隐零点问题(构造关于隐零点的单一函数

2、进行求解)已知不含参函数 f(x),导函数方程f(x) 0的根存在，却无法求出，设方程f(x) 0的根为x0,则有关系式 f(x0) 0成立，注意确定 x0的合适范围.例1已知函数f (x) = (aex-a-x) ex (a0, e=2.718，e为自然对数的底数)，若 f (x) 0对于xC R恒成立.(1)求实数a的值；(2)证明：f (x)存在唯一极大值点 x。，且【解答】(1) a=1,证明略;(2)证明：由(1) f (x) =ex (ex x1),故 f (x) =ex (2ex-x-2)，令 h (x) =2ex - x - 2, h (x) =2ex - 1,所以h (x)在

3、in 单调递减，在(In, +)单调递增, 22h (0) =0, h (In ) =2eln - - In - - 2=ln2 - 10,. h (2) h (In 工)2 0由零点存在定理及h (x)的单调性知,方程 h ( x) =0 在(-2,In卷)有唯一根,x0设为xo且2e - xo- 2=0,从而h （x）有两个互点 x。和0,所以f（x）在（-8,x。）单调递增，在（xo,0）单调递减，在（0,+8）单调递增,从而f (x)存在唯一的极大值点x0即证，由 2ex xO 2=0 得 ex0=耳；2 , xw 1, TOC o 1-5 h z f(xo)=ex(ex xo1)=-

4、5 ( xo1)=3-( xo)( 2+xo) 2244(土巴)2=,44取等不成立，所以f (xo) 工得证， 4又,一 2xo f ( 2) =e 2e 2 ( 2) - 1=e - 4+e - 2e- 20 得证,从而0v f (x0) v L成立.4例2已知函数/付-2 +G（口氏）（1）讨论的最值；f(x) -Jl2 + -(2)若求证：2 H（1）依题意，得Oy 当。时，,所以/3在r上单调 递减，故“）不存在最大值和最小 值；当 心0时，由广二得，x = hi上当工变化时，/。）与/ 的变化情况如X(-* ac f - In a)一In a(一 In u, + r )0+fM极小

5、值z卜表由上表可知I FO)在(一1n勾上单调递城，在(-111珥上单调递增，故当x=Tn时，取 得极小值,也是最小值，最小值为人-旧口)= 口一口加口，不存在最大值,综上，当”口时“门不存在 最大值,01小值3当口0时,”对的最小值为一、,不存在最大值.当口 = 0, /3=1,设以工2+5，,则父一，设个)=5+工，由(x) = d+l,可知 F(至)在R上单调递增.因为/*_ 11 A1丁，使得4(/)=(-) = n=+-0(-8 .)(小，+8 )小)一0十g极小值/上 在上，.,所以存在唯一的.当工变化时， 仁与工)的变化情况如下表:由上表可知，且(工)在(一*维)上单调递减，在(

6、/+*)上单调递增，故当=%时，g(x)取得极小值,也是最小值，即 -一队/+/一 .由或不)=。可得I 251e 与=x 贝/)=:巾 +/一丁0 w(，D色所以 28 .又 2,所以,、1 15 11 2 1 5 n),；n-xt-)+-ro 所以四)次%)0 即T 255 X + -y (X) X + -” ,所以不等式? X成立.来源:Zxxk.Com【类型二】含参函数的隐零点问题对于含参数的隐零点问题，在整体代换时，需要利用零点方程得出参数与零点的关系，将参数用零点表示，再结合具体问题进行求解、已知含参函数 f(x, a),其中a为参数，导函数方程 f(x,a) 0的根存在，却无法求

7、出， 设方程f(x) 0的根为x0 ,则有关系式 f(x0) 0成立，该关系式给出了 x0,a的关系, 注意确定x0的合适范围，往往和 a的范围有关.例 3 已知函数 f (x) ex+m x3, g x In x 12 .(i)若曲线 y f x在点0, f 0处的切线斜率为1,求实数 m的值；(n)当 m 1 时，证明：f x g(x) x3. TOC o 1-5 h z 解：(I)因为 f (x) ex+m x3,所以 f (x) ex+m 3x2 1分因为曲线y f x在点0, f 0 处的切线斜率为1,所以f 0em 1,解得m 0. 2分(n)x+mx+m 1设 hx e In x

8、 12,则 hx e .x 1x+m 1x+m 1仅 p x e ，则 p x e 2 0 x 1x 11.所以函数p(x) h x ex+m 在-1 ,+ 上单调递增. 6分x 1m1 e m +mm m 1 e mm因为 m 1,所以 h 1 e e e e e 10, h 0 e 10.所以函数h x ex+m 在-1 ,+上有唯一零点x0,且刈 1 em,0 .x 18分1 一 因为 h x00,所以 e,即 ln x0 1x m . 9分x0 1当 x0,x0 时，h x 0;当 xx0,时，h x 0.所以当x x0时，h x取得最小值 h Xo . 10分1所以 h x h x0

9、e ln x0 1 2x0 m 2Xo 11 x0 1 m3 0 . Xo 1综上可知，当m 1时，f x g(x) x3. 12分例4已知函数f (x) =ex+a- lnx (其中e=2.71828，是自然对数的底数).(I)当a=0时，求函数a=0的图象在(1, f (1)处的切线方程；(n)求证：当时，f (x) e+1.e【解答】(I)解：= a=0 时，Fy - e= (e1) (x 1),.f (1) =e, f ( 1) =e T ,，函数f (x)的图象在(1, f (1)处的切线方程:即(e 1) x - y+1=0;(n)证明：二干上&q),设g (x) =f (x),则

10、(工)二已宜依得。,.g (x)是增函数，当 x e a时，f ( x) 0;若 0vxv1? ex+avea+1,由 对, R. .当 0v xv min1 , e a、时，f (x) x。时，f (x) 0, f (x)递增；二 二产 产岂1门不， TOC o 1-5 h z 而(工。)二丁口凶、二U=二1=s=TnK/小, 又口XO记 h (x) =lnx+x ,贝U f(x0)=-lnx0=h(), SOKoal !-? -a亏，. hL) h(q)F+l .综上，当31 -L 时，f (x) e+1. e巩固练习/(r) = x2 +-,X(OJ.已知函数工.(1)求，。)的极值点；

11、证明：.已知函数 f (x) =x2 (a2) x - alnx (aCR).(I)求函数y=f (x)的单调区间;(n)当 a=1 时，证明：对任意的 x0, f (x) +exx2+x+2.一 Q户- f(y)=二/*十*10 V.已知函数/)的导函数为,/U),且 2 (1)求函数，(上)的极值. 若AeZ,且1)对任意的黑都成立，求发的最大值.已知函数,二上1 -珞 x(I)当a=2时，(i)求曲线y=f (x)在点(1, f (1)处的切线方程；(ii )求函数f (x)的单调区间；(n)若 1vav2,求证：f (x) 1.参考答案1.【解析】/网5T.y(力。，解得“阿当-7时，

12、小)叫此时/叫J 0,此时,0)单调递增斤以J3有极小值点 V2,不存在极大值点.rfI4丁一网-2设仪、)=工)-6,工(，贝u-一*一不一玄_2?t = ijx4工*一() -2 = 4r -/ -2 = 0 FwfOl) L设则方程 1/在区间I ,内恰有一个实根0%与时，(x)0,此时/(k)单调递增.所以 TOC o 1-5 h z x)L,=/)氏(?)+：-；&+, 人。40-04 + ?工在(上是减函数知，耳，2.%42.1 4/(x)L，W妗上/()+】骨.与KCT .2.【解答】(I)函数 f (x)的定义域是(0, +8),f ( x) =2x- ( a - 2)-三=(

13、k+1 ) (2ra) (2 分) XX当aw 0时，f ( X) 0对任意x C (0, +8)恒成立，所以，函数f (x)在区间(0, +8)单调递增；(4分)当 a0 时，由 f (*)0得*且，由 (x)x2+x+2,只需证明 ex - lnx - 20,设 g (x) =ex - lnx -2,则问题转化为证明对任意的x0, g (x) 0,令 gz ( x) =ex - -=0,得 ex=j容易知道该方程有唯一解，不妨设为x0,则x0满足ex0=,Kn当x变化时，g ( x)和g (x)变化情况如下表(x0, 8)+递增x(0, x(0)x0g (x)-0g (x)递减g (x)

14、min=g (x0)=ex0 - lnx 0-2=-+x()- 2, 飞因为 x00,且 xw 1,所以 g (x) min2|/T - 2=0,因此不等式得证.3.【解析】/工）=一/（1）十I十始工（1）2,腑J即r所-Him/r（r） = 2 + In x 令八jt） = 2 + 1hh = 0 ,解得F砌当了乞他白，）时，尸。”。，当工工3招时,/A 0.所以国翻在电/）上单调递减在（/，网单调递棋所以国数 X）2 2处取得极小值P没有极大值.k I)x-In，一 2（x-厅.令/心）二犬-1口工3,1）,则1 X -1h（x） = I _01工 X，所以函数 可工）在（L+H）上为增

15、函数，因为 戕3）二1一访340 ,所以方程力a）=（）存在唯一实根“。，且1升;，卜.故当1*/时*）0 所以函数孤山在闻上单调递减，在（玉产）上单调递增，所以卜飞飞w（3,4）又攵应7g（Onin =飘/） =- =： = /&T .%T,所以故女的最大值为3.4.【解答】（I）当 a=2时，f（#/n，T 2靠,定义域为（。，+）, x7 、.2T口/ 6 2-lnx_2 xf (x)- - =j一f ( 1) =- 1-2=-3,f 1 1) =2- 2=0;所以切点坐标为(1, - 3),切线斜率为0所以切线方程为y=-3;.2，1. 一 一(| )令 g (x) =2- lnx - 2x , g (x)二4K0 即 f (x) 0所以当 x ( 1, +8)时，g (x) V 0 即 f (x) V 0综上所述，f (x)的单调递增区间是(0, 1),单调递减区间是(1, +8)(n)证明：f (x) v 1,即X2设h(0=ai-”+iao), h,(山二中一；